確率とは何かの練習問題（全4問・解答つき）

この解答は

間違っている

2枚の硬貨をきちんと区別して、表と裏についてまとめると

表裏 表（表,表）（裏,表） 裏（表,裏）（裏,裏）

の4通りがあり、これらは同様に確からしい。

この表の（裏、表）と（表、裏）をまとめて (1,1) と1通りで表しているA君の解答では、 例えば (2,0) と (1,1) は同様に確からしいとはいえず、間違った確率を計算している。正しい解答は 1/4 である.

正四面体のさいころを2回振ったときの目の出方の重複順列 4² 通りは、同様に確からしい。

このうち、1回目と2回目の目の積が3の倍数となるのは

1234 11,12,13,14,1 21,22,23,24,2 31,32,33,34,3 41,42,43,44,4

表の太字の7通り。

積が3の倍数となるのは、1回目か2回目のどちらかが3の目のときであるから、 3の列と3の行を合わせて 4+4-1=7 通り、と数えてもよい。

よって、求める確率は 7/4²=7/16 となる。

1から4の数字が書かれたカードから2枚引くときの組合せ 4C2 通りは、同様に確からしい。

このうち、1枚目と2枚目の数字の積が3の倍数となるのは

1234 1―――― 21,2――― 31,32,3―― 41,42,43,4―

表の太字の3通り。

積が3の倍数となるのは、引いた2枚のうちの1枚が3のカードのときであるから、 もう1枚の選び方を数えて3通り、と数えてもよい。

よって、求める確率は 3 4C2=1/2 となる。

以下は、表でまとめた場合の解答である。樹形図についてまとめた場合には、それぞれの図を参照のこと。

1. 正四面体のさいころを2回振ったときの目の出方の重複順列 4² 通りは、同様に確からしい。

   このうち、2つの目の和が5となるのは、下の表の太字の部分を数えて4通り。よって、求める確率は 4/4²=1/4 となる。

   1234 11,12,13,14,1 21,22,23,24,2 31,32,33,34,3 41,42,43,44,4

   

   【注意】

   組合せでまとめた下の表では、同様に確からしくないので、確率を求めることはできない。

   1234 11,1――― 21,22,2―― 31,32,33,3― 41,42,43,44,4

   例えば、1の目と2の目が出る場合は、2回の振り方まで考えると (1,2),(2,1) の2通りにあたるが、1の目が2回出る場合は (1,1) の1通りしかない。 つまり前者は後者の2倍起こりやすいので、この表や下の樹形図の10通りのうち、和が5になる太字の2通りを数えて 2/10 としてはいけない。

   

2. 4枚のカードの中から2枚引いたときの順列 4P2 通りは、同様に確からしい。

   このうち、はじめに引いたカードの数の方が、あとに引いたカードより小さくなるのは、下の表の太字の部分を数えて6通り。よって、求める確率は 6 4P2=1/2 となる。

   1234 1―2,13,14,1 21,2―3,24,2 31,32,3―4,3 41,42,43,4―

   

   《別解》

   4枚のカードの中から2枚引いたときの大小関係は

   （1枚目のカード） > （2枚目のカード） または

   （1枚目のカード） < （2枚目のカード）

   のどちらかであり、これら2通りは同様に確からしい。よって、求める確率は 1/2 となる。

3. 4枚のカードの中から2枚引いたときの組合せ 4C2 通りは、同様に確からしい。

   このうち、カードの数の和が5以上となるのは、下の表の太字の部分を数えて4通り。よって、求める確率は 4 4C2=2/3 となる。

   1234 1―――― 21,2――― 31,32,3―― 41,42,43,4―

   

   《別解：順列で考える》

   4枚のカードの中から2枚引いたときの順列 4P2 通りは、同様に確からしい。

   このうち、カードの数の和が5以上となるのは、下の表の太字の部分を数えて8通り。よって、求める確率は 8 4P2=2/3 となる。

   1234 1―2,13,14,1 21,2―3,24,2 31,32,3―4,3 41,42,43,4―