加法定理と排反事象の練習問題

Question 1

2個のさいころ A,B を同時に投げるとする． さいころ A で3の目が出るか，またはさいころ B で3の目が出る確率を求めよ．

Accepted Answer

A ：「 A のさいころで3の目が出る」
B ：「 B のさいころで3の目が出る」
とすると，求める確率は P(A∪B) である．
いま， P(A),P(B) は
P(A)=P(B)=1/6
である．
また，2つのさいころの目の出方は 6² 通りあり， このうちともに3の目となるのは1通りであるから， P(A∩B) は
P(A∩B)=1/36
となる．
以上より
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=1/6+1/6-1/36=11/36
加法定理

Question 2

ジョーカーを含まない52枚のトランプの中から1枚のカードを引く．
事象 A,B,C,D を
A ： のカードを引く B ： のカードを引く
C ： 3のカードを引く D ： 10以上のカードを引く
とする．次のうち，排反事象となるものをすべて選べ．
(1) A と B
(2) B と C
(3) C と D
(4) D と A

Accepted Answer

(1) であり， であるトランプ存在しない，つまり同時に起こりえないので， A と B は排反である．
(2) であり，3であるカードは存在する（ の3），つまり同時に起こりえるので， B と C は排反ではない．
(3) 3であり，10以上であるカードは存在しない，つまり同時に起こりえないので， C と D は排反である．
(4) 10以上であり， であるカードは存在する（例えば の11），つまり同時に起こりえるので， D と A は排反ではない．
以上より，排反事象となるのは1. と3. である．

Question 3

10本のくじの中に当りくじが3本ある．この中から4本のくじを同時に引くとき， 少なくとも2本の当りくじを引く確率を求めよ．

Accepted Answer

少なくとも2本の当りくじを引くのは，2本の当りくじを引く場合と，3本の当りくじを引く場合があり，
これらは排反な事象である．
まず，10本のくじの中から4本のくじを引く組合せの 10C4=210 通りは，どれも同様に確からしい．
このうち，2本の当りくじと2本のはずれくじを引く場合は
3C2・\ 7C2=63 通り
あり，3本の当りくじと1本のはずれくじを引く場合は
3C3・\ 7C1=7 通り
ある.
よって，求める確率は
63/210+7/210=1/3

Question 4

3つのさいころを同時に振るとき，少なくとも1つのさいころで3の倍数の目が出る確率を求めよ．

Accepted Answer

事象 A を
A ：「3つのさいころで3の倍数の目が出ない」
とおくと，求める確率は P(A) である．
3つのさいころの目の重複順列 6Π3=6³=216 通りは，どれも同様に確からしい．
このうち，3の倍数の目がまったく出ないのは（3の倍数でない目が1，2，4，5と4つあるので）
4Π3=4³=64 通り
よって，3の倍数の目が出ない確率 P(A) は
P(A)=64/216=8/27
求める確率は P(A) なので
P(A)=1-P(A)=1-8/27=19/27
となる．

数学A 第2章確率 — 加法定理と排反事象

和事象と積事象

和事象と積事象について

加法定理と排反事象について

加法定理

排反事象

余事象とその確率

余事象

余事象の確率

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数学A 第2章 確率 — 加法定理と排反事象