数学A 第1章 場合の数 — 資源配分（配分先に区別が無い場合）

1. 求めるのは「区別しない5個のボールを、区別しない1個の箱に最低1個は配る場合の数」であり、これは次の図のような 1 通りである。

   

2. 求めるのは「区別しない5個のボールを、区別しない2個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり、これは次の図のような 2 通りである。

   

3. 求めるのは「区別しない5個のボールを、区別しない3個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり、これは次の図のような 2 通りである。

   

4. 求めるのは「区別しない5個のボールを、区別しない4個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり、これは次の図のような 1 通りである。

   

5. 求めるのは「区別しない5個のボールを、区別しない5個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり、これは次の図のような 1 通りである。

   

まず、ボールを区別せず、箱を区別する(a箱、b箱、c箱と名付ける) 場合について考える。

このとき、9個のボールを3つの箱に分ける方法は、並べた9個のボールの“すきま”8ヶ所に“しきり”を2ヶ所いれ、左から順にa箱、b箱、c箱に入れるボールの数と対応させればよい。 つまり、 8C2=28 通りある。

a箱、b箱、c箱にはいるボールの数がそれぞれ l,m,n のとき、 (l,m,n) と表す。

1. 28通りのうち3つの箱とも入るボールの数が等しくなるのは

   (3,3,3)

   の1通り。

2. a箱、b箱に入るボールの数が等しいのは、3箱とも入るボールの数が同じ場合を除くと

   (1,1,7),(2,2,5),(3,3,3)^これは除く,(4,4,1)

   の3通りある。3つの箱のうち、どの2つの箱に入るボールの数が等しくなるかは 3C2 通りあるので、 2つの箱に入るボールの数が等しいのは 3C2×3=9 通り。

3. 3つの箱に入るボールの数がばらばらであるのは、 28−(1+9)=18 通り。

よって、箱の区別をなくすと

1+9/3+18/3!=7 通り

↑ p(9,3)

7通りの内訳は次のようになる。

1. Aに a 個、Bに b 個、Cに c 個入れるとして

   a+b+c=n を満たす0以上の整数の組 (a,b,c) が何組あるかと対応する。

   ↑ 資源配分〜その2〜の例題を参照のこと

   よって

   3Hn= n+2Cn= n+2C2 =(n+2)(n+1)/2通り

2. 1. の (n+2)(n+1)/2 通りのうち

   (i) 3箱に入るボールの数がすべて違うものが p 通り

   (ii) 3箱に入るボールの数が2箱については同じものが q 通り

   (iii) 3箱に入るボールの数がすべて同じものが r 通り

   あるとすれば、求める値は、箱の区別を無くすため、それぞれ 3!,3,1 で割って p/3!+q/3+r 通りとなる。

   まず、 r は明らかに1である。

   次に、 q を求める。どの2つの箱に入るボールの数が等しくなるかで 3C2 通りある。 例えば a と b が等しい場合

   (a,b,c)=(k,k,6m-2k) (k=0,1,…,3m)

   なので、 3m+1 通りあるが、3箱に入るボールの数がすべて同じになる場合である (a,b,c)=(2m,2m,2m) の1通りを引いて、 3m 通りある。よって

   q= 3C2・3m=9m

   最後に、 p は全体から q,r を引くことにより求まり

   p= (n+2)(n+1)/2-9m-1 = (6m+2)(6m+1)/2-9m-1 = 18m²

   以上より

   18m²/3!+9m/3+1=3m²+3m+1 通り

資源配分 (配分先に区別が無い場合)の解答より、

空の箱が1つも無い場合には7通りであった。

2つの箱が空箱になるのは、1通り。 1つの箱が空箱になるのは(数えて)4通り。よって

1+4+7=12 通り

↑ p(9,1)+p(9,2)+p(9,3)

この例題からわかるように、空の箱があってもよい場合のボール の配り方は、 p(n,r) の和となる。 ボールと箱のモデルでまとめると、次のようになる。