数学A 第1章場合の数 — 資源配分

5本の鉛筆(区別しない)を3人の人に配る場合(鉛筆をもらわない人はいないとする)、配り方には何通りの方法があるだろうか。このような問題は、鉛筆を区別しないボール、人を区別する箱として、ボールと箱のモデルで考えることができる。

ボール・箱	単射	写像全て	全射
あり・あり	順列	重複順列	部屋割り
なし・あり	組合せ	重複組合せ	資源配分
あり・なし		（右枠の和）	部屋割り（区別なし）
なし・なし		（右枠の和）	資源配分（区別なし）

資源配分の数

ボールと箱のモデル6

では、このボールと箱のモデルを使って

「区別しない5個のボールを、区別する3個の箱に最低1個は配る場合の総数」

を求めてみよう。

準備として、ボールは区別しないので、それを $○,○,○,○,○$ とし、箱は区別するので番号をつけ、それを

1、2、3の番号がそれぞれ下に付けられた、3つの空の四角い箱がカンマで区切られて横一列に並んでいる。

としておく。

次の図は、

に1個、

に2個、

に2個のボールを配った場合を表したものである。このような、ボールの配り方をすべて書き出すと

1, 2, 3の番号がついた3つの箱へ5個のボールを配る全6通りの配置が並んでいる。ボールの個数がそれぞれ(3, 1, 1)となる場合が3通りと、(2, 2, 1)となる場合が3通り示されている。

の6通りの場合があるのがわかる。

これを、計算で求めるには次のように考えるとよい。

横に並んだ5個のボールから1、2、3の番号がついた3つの箱へ矢印が伸びており、その下には、箱1に1個、箱2に2個、箱3に2個のボールが入った状態が示されている。まず、区別しない5個のボールを並べて、ボールの間にある4つの“すきま”について考える。

この4つの“すきま”から2つ選んで、その2ヶ所に“しきり” $|$ を入れ、5個のボールを3つの部分に分ける。

こうしておいてから、この3つの部分の左、真中、右にあるボールの個数をそれぞれ3つの箱、

下にそれぞれ1、2、3の番号が付いた3つの四角い箱が、カンマで区切られて横一列に並んでいる。

に入れるボールの個数に対応させる。

このように考えると、結局

「区別しない5個のボールを、区別する3個の箱に最低1個は配る場合の総数」

は、4つの“すきま”から2つの“すきま”の選び方の総数となり、組合せで計算することができる。つまり、 $4C2=4・3/2・1=6$ 通りと計算できる。

横一列に並んだ5個のボールの間の4箇所のすきまを矢印で示し、そのうち2箇所に仕切りを入れて1個、2個、2個に分け、1、2、3の番号がついた3つの箱にそれぞれ入れている。

定義1資源配分の数 $resource(n,r)$ の定義

「区別しないn個のボールを、区別するr個の箱に最低1個は配る場合の数」を、 $FTEXT$ では $resource(n,r)$ と表す。

この例では

$resource(5, 3)= 4C2=6$

である。

資源配分の数 $resource(n,r)$ の計算

区別しない $n$ 個のボールを、区別する $r$ 個の箱に最低1個は配る場合の総数 $resource(n,r)$ も、先程の例と同じように考えることができる。

まず、区別しない $n$ 個のボールを並べて、ボールの間にある $n-1$ 個の“すきま”について考える。

この $n-1$ 個の“すきま”から $r-1$ 個選んで、その $r-1$ ヶ所に“しきり” $|$ を入れ、 $n$ 個のボールを $r$ 個の部分に分ける。

こうしておいてから、この $r$ 個の部分を左から順に、 $r$ 個の箱、

下に1、2、…、r とそれぞれ番号が付けられた空の四角い枠が、カンマや省略記号を挟んで左から順に横一列に並んでいる。

に入れるボールの個数に対応させる。

このとき、“しきり”を入れられるのはボールとボールの間だけで、両端には入れず、また同じ“すきま”に2つの“しきり”が入ることもない。そのため、分けられた $r$ 個の部分はどれも必ず1個以上のボールを含み、どの箱にも最低1個は配られることになる。

$↑$ 空の箱があってもよい重複組合せ $nHr$ のボールと箱のモデルとの違いは、ここにある

横一列に並んだ n 個のボールと、ボールの間を指す上向きの矢印が描かれている。矢印はボールの間にある n-1 個の「すきま」を示している。このように考えると、結局

「区別しない $n$ 個のボールを、区別する $r$ 個の箱に最低1個は配る場合の数」

は、 $n-1$ 個の“すきま”から $r-1$ 個の“すきま”の選び方の総数となり、組合せで計算することができ

$resource(n, r)= n-1Cr-1$

となる。

まとめておこう。

1、2、…、r の番号が下についた r 個の長方形の枠が横一列に並んでいる。それぞれの枠の中には丸と三点リーダーが入っており、枠と枠の間にも三点リーダーが置かれている。

定理2資源配分の数 $resource(n,r)$ の計算

資源配分の数 $resource(n,r)$ は

$resource(n,r)= n-1Cr-1$

と計算できる。

問題1資源配分の計算練習

次の値を求めよ。

$resource(5,2)$
$resource(7,6)$
$resource(10,4)$
$resource(20,18)$

解答を見る

$resource(5,2)= 4C1=4$
$resource(7,6)= 6C5= 6C1=6$
$resource(10,4)= 9C3=(9・ 8・ 7)/(3・ 2・ 1)=84$
$resource(20,18)= 19C17= 19C2 = (19・ 18)/(2・ 1)=171$

問題2資源配分〜その1〜

8個の区別しないアメを3人の子供に分けるとき、次の問に答えよ。

子供は皆最低1個はアメをもらう場合、何通り分け方があるか。
1個もアメをもらえない子供がいてもよい場合、何通りの分け方があるか。

解答を見る

8個のアメを8個の白丸

$○○○○○○○○$

であらわし、これによってできる7ヶ所の“すきま”から2ヶ所選んで“しきり”を入れ、3つの部分に分け、左にある $○$ の数を1番目の子供に与えるアメの数、中央にある $○$ の数を2番目の子供に与えるアメの数、右にある $○$ の数を3番目の子供に与えるアメの数とすればよい。

$↑$ 例えば $○|○○○○|○○○$ では、アメを子供にそれぞれ1個、4個、3個与えることに対応する

よって

$resource(8,3)= 7C2=(7・ 6)/(2・ 1)=21$ 通り
1個ももらえない子供がいてもよいので、こちらは重複組合せになる。

$↑$ 重複組合せ $nHr$ のボールと箱のモデル参照

3人の子供を区別する3個の箱、8個のアメを区別しない8個のボールとみて

$3H8= 3+8-1C8= 10C8= 10C2=(10・ 9)/(2・ 1)=45$ 通り

問題3資源配分〜その2〜

$x+y+z+w=15$ を満たす自然数の組 $(x,y,z,w)$ の数を求めよ。
$x+y+z+w=15$ を満たす0以上の整数の組 $(x,y,z,w)$ の数を求めよ。

解答を見る

15という数を15個の白丸

$○○○○○○○○○○○○○○○$

であらわし、これによってできる14ヶ所の“すきま”から3ヶ所選んで“しきり”を入れ、4つの部分に分け、一番左にある $○$ の数を $x$ の値、左から2番目にある $○$ の数を $y$ の値、右から2番目にある $○$ の数を $z$ の値、一番右にある $○$ の数を $w$ の値とすればよい。

$↑$ 例えば $○○○|○|○○○○○○○○○|○○$ では、 $(x,y,z,w)=(3,1,9,2)$ に対応する

よって

$通り resource(15,4)= 14C3=(14・ 13・ 12)/(3・ 2・ 1) = 364通り$
$x, y, z, w$ は0でもよいので、こちらは重複組合せになる。

$↑$ 重複組合せ $nHr$ のボールと箱のモデル参照

$x, y, z, w$ の4つを区別する4個の箱、15を区別しない15個のボールとみて

$4H15= 4+15-1C15= 18C15= 18C3=(18・ 17・ 16)/(3・ 2・ 1)=816$ 通り

問題4資源配分と重複組合せ

$resource(n,r)$ と $rHn-r$ は等しいことを説明せよ。

解答を見る

$resource(n,r)$ の定義は、「区別しない $n$ 個のボールを、区別する $r$ 個の箱に最低1個は配る場合の数」である。

$↑$ 資源配分の数 $resource(n,r)$ の定義参照

また、 $rHn-r$ はボールと箱のモデルでは、「区別しない $n-r$ 個のボールを、区別する $r$ 個の箱に配る(何個でもよい)場合の数」である。

$↑$ 重複組合せ $nHr$ のボールと箱のモデル参照

$resource(n,r)$ について考える。この「最低1個は配る」について、はじめに $r$ 個の箱に1個ずつボールを配っておき、その後残った $n-r$ 個のボールを $r$ 個の箱に配る(何個でもよい)と考えてもよく、これは、 $rHn-r$ と一致する。

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学A 第1章 場合の数 — 資源配分

資源配分の数

ボールと箱のモデル6

定義1資源配分の数 resource(n,r) の定義

資源配分の数resource(n,r)の計算

定理2資源配分の数 resource(n,r) の計算

問題1資源配分の計算練習

問題2資源配分〜その1〜

問題3資源配分〜その2〜

問題4資源配分と重複組合せ

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数学A 第1章場合の数 — 資源配分

定義1資源配分の数 $resource(n,r)$ の定義

資源配分の数 $resource(n,r)$ の計算

定理2資源配分の数 $resource(n,r)$ の計算