数学A 第1章場合の数 — 重複組合せ

順列で順序を考慮しなければ組合せなるように、重複順列で順序を考慮しなければ重複組合せになる。ここでは、この重複組合せの計算についてみていこう。

ボール・箱	単射	写像全て	全射
あり・あり	順列	重複順列	部屋割り
なし・あり	組合せ	重複組合せ	資源配分
あり・なし		（右枠の和）	部屋割り（区別なし）
なし・なし		（右枠の和）	資源配分（区別なし）

重複組合せについて

重複組合せ $nHr$ の定義

正三角形の中に数字の1が書かれたもの、2が書かれたもの、3が書かれたもの、4が書かれたものの4つが、カンマで区切られて横一列に並んでいる。

の目が描いてある正四面体のさいころを2回振って，出た目の組（順番は考えない）をすべて書き出すと

1から4の数字が入った三角形のマークを使い、{1, 1}、{1, 2}、{1, 3}、{1, 4}、{2, 2}、{2, 3}、{2, 4}、{3, 3}、{3, 4}、{4, 4}の10通りの組が並んでいる。

の10通りとなる．これは，『同じものを含む順列』の考え方を利用し，次のように計算することができる．

まず，各組は

1、2、3、4の数字がそれぞれ中央に書かれた4つの三角形の枠が、左から1、2、3、4の順にカンマで区切られて横一列に並んでいる。

の順に並べて表すことにする．例えば，

を1個，

を1個使って作られる組は

中に1が書かれた三角形のマークと、中に2が書かれた三角形のマークが、左から順に横に並んでいる。

と表す．この組に対して，さいころの目を表す2個の $○$ と，異なる4文字の“しきり”を表す $(4-1)=3$ 個の $|$ からなる順列を，次の図のように対応させる．

1が入った△と2が入った△から、3本の仕切り | を挟んだ並びを経て、2個の○と3本の仕切り | の並びへの対応が矢印で描かれ、仕切りによる4つの領域がそれぞれ1から4が入った△の数を表している。

つまり，3つの“しきり” $|$ で4つの場所ができるので，その場所にある $○$ の個数が，それぞれさいころの

中に1、2、3、4と書かれた4つの三角形の記号が、カンマで区切られて左から順に横一列に並んでいる。正四面体のさいころの4つの目を表す。

の個数を表すものとするのである．

例えば，上の10組のうちの，

波括弧の中に、中に数字の1が書かれた三角形のマークが2つ、カンマで区切られて並んでいる。

や

波括弧の中に、中に数字の1が書かれた三角形と、中に数字の3が書かれた三角形の2つの記号が、カンマで区切られて並んでいる。

や

波括弧の中に、内部に2と書かれた三角形のマークと、内部に4と書かれた三角形のマークがカンマで区切られて並び、集合の形式で表されている。

などは， $○$ と $|$ の順列で次の図のように表すことができる．

数字の書かれた三角形2つの組が、丸と縦線の並びに対応付けられている。上から順に、1と1は〇〇|||、1と3は〇||〇|、2と4は|〇||〇と並んでいる。

こうすると，結局，区別しない2個の $○$ と区別しない3個の $|$ の計5個のものを並べたときの順列を計算すればよいから，『同じものを含む順列』より

$C(2,3)=5!/2!3!=10$ 通り

と数えることができる．

ここで， $n$ 個のものから，繰り返し用いることを許して， $r$ 個とって作る組について定義しておこう．

定義1重複組合せ $nHr$ の定義

「区別する $n$ 個のものから，繰り返し用いることを許して， $r$ 個取り出して作った組」のことを $n-r$ 重複組合せ(combination with repetitions)（ちょうふく）といい，その組の総数を $nHr$ と表す．

この例では

$4H2=C(2, 3)=5!/2!3!=10$

である．

重複組合せ $nHr$ の計算

区別する $n$ 個のものから，繰り返し用いることを許して， $r$ 個取り出して作る組の総数 $nHr$ も，先程の例と同じように考えることができる．

まず， $r$ 個の $○$ と，（ $n$ 個の入る場所を作るための） $n-1$ 個の“しきり” $|$ を並べる．こうしておいてから，区別しない $r$ 個の $○$ と区別しない $n-1$ 個の $|$ の計 $r+n-1$ 個のものを並べたときの『同じものを含む順列』を計算すればよいので

$nHr=C(r, n-1)= r+n-1Cr$

となる．普通 $nHr$ を計算するには，このように $○$ と $|$ の並べ方を考えて $r+n-1Cr$ に帰着してから計算するとよい．

さて，ここでさらに $r+n-1Cr$ の計算をすすめてみると

$個の積個の積 r+n-1Cr = (r+n-1)!/(n-1)!r! = (r+n-1)(r+n-2)\dotsn^r個の積(n-1)\dots2・1(n-1)\dots2・1・r! = n(n+1)\dots(n+r-2)(n+r-1)^r個の積r(r-1)\dots2・1$

つまり

$個の積 nHr=n(n+1)\dots(n+r-2)(n+r-1)^r個の積r(r-1)\dots2・1$

と計算することもできる．この式は， $nCr$ と比較すると覚えやすい．例えば

$下がっていく上がっていく 6C3=下がっていく6・5・43・2・1, 6H3=上がっていく6・7・83・2・1$

である．

以上，まとめると

定理2重複組合せ $nHr$ の計算

区別する $n$ 個のものから，繰り返し用いることを許して， $r$ 個取り出して作る組の総数 $nHr$ は，同じものを含む順列の考え方で計算でき

$個の積 nHr= C(r,n-1) = r+n-1Cr = n(n+1)\dots(n+r-2)(n+r-1)^r個の積r(r-1)\dots2・1$

となる．

問題1重複組合せの計算練習

次の値を求めよ．

$7H2$
$4H3$
$5H3$
$3H5$

解答を見る

$7H2= 7+2-1C2=8・7/2・1=28$

$↑ 7H2=7・8/2・1$ と計算してもよい
$4H3= 4+3-1C3=6・5・4/3・2・1=20$

$↑ 4H3=4・5・6/3・2・1$ と計算してもよい
$5H3= 5+3-1C3=7・6・5/3・2・1=35$

$↑ 5H3=5・6・7/3・2・1$ と計算してもよい
$3H5= 3+5-1C5=7・6・5・4・3/5・4・3・2・1=21$

$↑ 3H5=3・4・5・6・7/5・4・3・2・1$ と計算してもよい

ボールと箱のモデル5

例えば， $5H3$ の定義は

「区別する5個のものから，繰り返し用いることを許して，3個とりだしてつくる組の総数」

であったが，これはボールと箱のモデルを使って

「区別しない3個のボールを，区別する5個の箱に配る(何個でもよい)場合の総数」

といいかえることができる．それには，次のように考えるとよい．

準備として，ボールは区別しないので，それを $○,○,○$ とし，箱は区別するので番号をつけ，それを

横一列に並んだ5つの空の四角い枠がカンマで区切られており、それぞれの枠の下に、左から順に1から5までの番号が書かれている。

としておく．

例えば，区別しない3個のボールを，区別する5個の箱に，次の図のように配ったとする．

3個のボールのうち2個が2の箱へ、1個が5の箱へ配られ、2の箱に2個、5の箱に1個のボールが入る様子と、それが組{2, 2, 5}に対応することが描かれている。

このときは，5−3重複組合せのうちの ${2,2,5}$ と対応すると考えることができる．

また逆に，5−3重複組合せのうちの ${2,2,5}$ は，上の図のようなボールの配り方に対応すると考えることができる．

これ以外の5−3重複組合せも，ボールの箱への配り方と1対1に対応するので，結局，ボールの箱への配り方の総数は $5H3$ と一致するといえる．

一般に，次のようにまとめることができる．

定理3重複組合せ $nHr$ のボールと箱のモデル

重複組合せ $nHr$ はボールと箱のモデルを用いて

「区別しない $r$ 個のボールを，区別する $n$ 個の箱に配る(何個でもよい)場合の総数」

と考えることができる．

問題2重複組合せ

3種類の果物，りんご，かき，なしを使って，7個入りの果物かごを作る．1つも入らない種類があってもよいとすると，何通りの果物かごができるか求めよ．
1. で，3種類の果物を最低1個は入れるものとすると，何通りの果物かごができるか求めよ．

解答を見る

【解1：重複組合せで考える】

区別する3種類のものを，重複を許して7つ取り出し組を作ればよいので

$3H7= 3+7-1C7= 9C7= 9C2=9・8/2・1=36$ 通り

$↑ 3H7=3・4・5・6・7・8・9/7・6・5・4・3・2・1$ と計算してもよい

【解2：同じものを含む順列に帰着させる】

7個のものを $○$ を使って

と表すことにする．

これらを2つの“しきり” $|$ によって，3つの区間に分け，左から順にりんご，かき，なしと対応させる．こうすると，例えば

$○|○○|○○○○$

は，りんご1個，かき2個，なし4個を表し

$○○○||○○○○$

は，りんご3個，かき0個，なし4個を表す．

7個の $○$ と2個の $|$ の計9個のものを1列に並べる並べ方の数が，考える果物かごの数である．よって

$C(7,2)= 7+2C2=9・8/2・1=36$ 通り

$↑$ 同じものを含む順列
【解1：重複組合せで考える】

まず，りんご，かき，なしから1つずつ計3個取り出しておく．残りの4つについて，重複を許して組を作ればよいので

$3H4= 3+4-1C4= 6C4= 6C2=6・5/2・1=15$ 通り

$↑ 3H4=3・4・5・6/4・3・2・1$ と計算してもよい

【解2：『資源配分』に帰着させる】

$↑$ この解法について詳しくは，次の資源配分を参照のこと

1. と同様に，7個のものを $○$ を使って

と表すことにする．

りんご，かき，なしそれぞれから，最低1個はとりだすので，今度は2つの“しきり” $|$ を6ヶ所ある $○$ の“すきま”にいれ，3つの区間に分け，左から順にりんご，かき，なしと対応させる．こうすると，例えば

$○|○○|○○○○$

は，りんご1個，かき2個，なし4個を表し

$○○○○|○|○○$

は，りんご4個，かき1個，なし2個を表す．

7個の $○$ によって作られる，6ヶ所の“すきま”から2個の $|$ の入る場所を選ぶ選び方の数が，考える果物かごの数である．よって

$6C2=6・5/2・1=15$ 通り

最終更新: 2026-08-12

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数学A 第1章 場合の数 — 重複組合せ

重複組合せについて

重複組合せnHrの定義

定義1重複組合せ nHr の定義

重複組合せnHrの計算

定理2重複組合せ nHr の計算