数学A 第1章 場合の数 — 重複順列

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カード引きでは、1回目に引く場合と2回目に引く場合では状況が異なるが、さいころ投げでは1回目に出る目と2回目に出る目に全体として変化が無い。このように同じものを何度でも取ってよいとき、順序をつけて並べたものが、この節で扱う重複順列である。

重複順列について

重複順列nΠrの定義

例えば、

の目が描いてある正四面体のさいころを2回振って、出た目を順に 1列に並べる場合の数は次のように求めることができる。

まず、1回目のさいころの目の出方は4通りある。

そして、2回目のさいころの目の出方も4通りある。

つまり、1回目の目の出方4通りに対して、2回目の目の出方も4通りに定まるから、さいころを2回振ったときの目の出方は積の法則より

4×4=16通り

となる。

次の図は、さいころを2回振ったときの目の出方16通りを樹形図を用いて表したものである。

ここで、 n 個のものから、繰り返し用いることを許して、 r 個とって並べる場合の順列を定義しておこう。

重複順列nΠrの計算

区別する n 個のものから、繰り返し用いることを許して、 r 個取り出して1列に並べる順列の数 nΠr も、先程の例と同じように考えることができる。

まず、1番目のものの取り方は n 通りあり、2番目のものの取り方もそのそれぞれに対して n 通りあり、 3番目のものの取り方もそのそれぞれに対して n 通りあり、 … 、 r 番目のものの取り方もそのそれぞれに対して n 通りある。

したがって、積の法則より

nΠr=n×n×…×nr個の積=n^r

と計算できることがわかる。

ボールと箱のモデル2

例えば、 5Π3 の定義は

「区別する5個のものから、繰り返し用いることを許して、3個とりだして1列に並べるときの並べ方の総数」

であったが、これはボールと箱のモデルを使って

「区別する3個のボールを、区別する5個の箱に配る（何個でもよい）場合の総数」

といいかえることができる。それには、次のように考えるとよい。

準備として、ボールは区別するので番号をつけ、それを①、②、③とし、 箱も区別するので番号をつけ、それを

としておく。

まず、ボール①を箱に配ることを考えると、箱は5つあるので5通りの場合がある。

次に、ボール②を箱に配ることを考えると、箱には何個でもボールを入れてよいので、このときも5通りの場合がある。

さらに、ボール③を箱に配ることを考えると、同じように5通りの場合がある。

以上から、ボールの箱への配り方は 5×5×5 通りあり、これは 5Π3 と一致する。

一般に、次のようにまとめることができる。

最終更新: 2026-08-20