数学A 第1章場合の数 — 組合せ

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順列では、ものを取り出したときの順番の違いを考えに入れていたが、順番は区別せず取り出したものの区別だけを考えたいことがあり、これを組合せという。順列と同じように、組合せも数が多くなると樹形図を書くのが大変になる。ここでは、組合せの数を計算で求める方法について考えよう。

ボール・箱	単射	写像全て	全射
あり・あり	順列	重複順列	部屋割り
なし・あり	組合せ	重複組合せ	資源配分
あり・なし		（右枠の和）	部屋割り（区別なし）
なし・なし		（右枠の和）	資源配分（区別なし）

組合せについて

組合せ $nCr$ の定義

4枚のカード $［A］$ , $［B］$ , $［C］$ , $［D］$ から 2枚のカードの(順序は考えずに)組をつくる場合の数は、すべて書き出すと

${［A］,［B］},{［A］,［C］},{［A］,［D］} ,{［B］,［C］},{［B］,［D］},{［C］,［D］}$

の6通りとなる。これは、順列の考え方を利用し、次のように計算することもできる。

まず、4枚のカードから2枚引いて順列を作ると、樹形図を書くと分かるように、その総数は $4P2=4\times3=12$ 通りである。

しかし、2枚のカードの組を作る場合には、例えば $［A］［B］$ と $［B］［A］$ は並ぶ順が異なるだけなので、これらは2つで1通りと数えなければならない。これら以外の順列にも同様のことがいえるので、 2枚のカードの組の総数は、順列の総数 $4P2$ を2で割ることにより

$4P22=12/2=6$

∴6通り

として計算できる。

このようにいくつかの組をつくる場合の数を定義しておこう。

定義1組合せ $nCr$ の定義

「区別する $n$ 個のものから $r$ 個取り出して作った組」のことを $n-r$ 組合せ(combination)

といい、その組の総数を $nCr$ と表す。

この例では、 $4C2=4\times3/2=6$ である。

組合せ $nCr$ の計算

区別する $n$ 個のものから $r$ 個取り出して作る組の総数 $nCr$ も、先程の例と同じように考えることができる。

まず、 $n$ 枚のカードから $r$ 枚引いて順列を作ると、その総数は $nPr$ 通りある。

順列ではなく、 $r$ 枚のカードの組を作る場合には、同じ $r$ 枚から作られる順列が、その $r$ 枚の並べ方の数だけ、すなわち $r!$ 通りずつある。これらは $r!$ 通りで1通りと数えなければならないので、順列の総数 $nPr$ を $r!$ で割ることにより

$個の積 nCr=nPrr!= n(n-1)\dots(n-r+1)^r個の積r(r-1)\dots2・1 = n!/(n-r)!r!$

以上、まとめると

定理2組合せ $nCr$ の計算

組合せ $nCr$ は

$nCr=nPrr!= n(n-1)\dots(n-r+1)/r(r-1)\dots2・1 = n!/(n-r)!r!$

と計算できる。

問題1組合せの計算練習

次の値を求めよ。

$5C2$
$4C4$
$10C3$
$20C2$

解答を見る

$5C2=(5・ 4)/(2・ 1)=10$
$4C4=(4・ 3・ 2・ 1)/(4・ 3・ 2・ 1)=1$
$10C3=(10・ 9・ 8)/(3・ 2・ 1)=120$
$20C2=(20・ 19)/(2・ 1)=190$

問題2組合せ〜その1〜

男子が5人、女子が5人いる中で、4人を選ぶ場合の数について以下の問に答えよ。

男女関係無く選ぶときの場合の数は何通りか。
男子から2人、女子から2人選ぶときの場合の数は何通りか。
男子から3人、女子から1人選ぶときの場合の数は何通りか。

解答を見る

$10C4=(10・ 9・ 8・ 7)/(4・ 3・ 2・ 1)=210$ 通り
男子2人の組合せそれぞれに対して、女子2人の組合せが決められるので

$5C2・ 5C2=(5・ 4)/(2・ 1)・ (5・ 4)/(2・ 1)=100$ 通り
男子3人の組合せそれぞれに対して、女子1人の組合せが決められるので

$5C3・ 5C1=(5・ 4・ 3)/(3・ 2・ 1)・ 5/1=50$ 通り

問題3組合せ〜その2〜

図のように、横に4本、縦に7本の直行する平行線が引かれている。この中に長方形はいくつあるか求めよ。
正十角形の対角線の本数を求めよ。

横に4本、縦に7本の平行線が互いに直交して交わり、縦に3個、横に6個並んだ合計18個の小長方形からなる格子が描かれている。

解答を見る

横4本の平行線のうちから2本、縦7本の平行線のうちから2本をそれぞれ選べば、1個の長方形が定まる。

よって

$4C2・ 7C2=126$ 個
10個の頂点のうち2個を選べば、1本の対角線または辺が定まる。辺の数は10本であるから、これを除いて

$10C2-10=45-10=35$ 本

問題4組み分け

10人を次のように分ける方法は何通りあるか。

7人、3人に分ける。
5人、5人に分ける。
4人、3人、3人に分ける。
2人、2人、2人、2人、2人に分ける。

解答を見る

10人から3人を選びグループとし、残った7人をもうひとつのグループにすればよい。よって

$10C3・ 7C7=(10・ 9・ 8)/(3・ 2・ 1)・1=120$ 通り
10人から5人を選びグループとし、残った5人をもうひとつのグループにすればよい。

しかし、10人を $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$ とすると、例えばはじめに $a,b,c,d,e$ の5人を選んだ場合と、はじめに $f,g,h,i,j$ を選んだ場合では、どちらも

$(a,b,c,d,e)(f,g,h,i,j)$

という2つのグループに分かれるという点では同じである。つまり、これらは2つで1通りと数えなければならない。

他の選び方でも同様のことがいえるので、2で割ることにより重複の分を修正して

$通り 10C5・ 5C52 =(10・ 9・ 8・ 7・ 6)/(5・ 4・ 3・ 2・ 1)・1・1/2 =126通り$
最初に4人選びグループとし、残った6人から3,3人のグループをつくればよい。ただし、3人のグループが2つあるので、2. と同じように重複した分は修正する必要がある。

$10C4・ 6C3・ 3C32 = (10・ 9・ 8・ 7)/(4・ 3・ 2・ 1)・ (6・ 5・ 4)/(3・ 2・ 1)・ 1/2 = 2100$

∴2100通り
2人ずつ選んでいって、重複を修正すると

$10C2・ 8C2・ 6C2・ 4C2・ 2C25! = (10・ 9)/(2・ 1)・ (8・ 7)/(2・ 1)・ (6・ 5)/(2・ 1) ・ (4・ 3)/(2・ 1)・ 1/(5・ 4・ 3・ 2・ 1) = 945$

∴945通り

ボールと箱のモデル4

$5C3$ の定義は

「区別する5個のものから3個とりだして作る組の総数」

であったが、これはボールと箱のモデルを使って

「区別しない3個のボールを、区別する5個の箱に多くても1個配る場合の数」

といいかえることができる。これは、次のように説明できる。

準備として、3つのボールは区別しないでそれを $○$ , $○$ , $○$ とし、箱は区別するので番号をつけ、それを

横一列に並んだ5つの空の四角い枠があり、それぞれの枠の下に左から順に1、2、3、4、5と番号がつけられている。枠と枠の間はカンマで区切られている。

としておく。

3つの区別しないボールを、5つの区別する箱に高々1個配る場合の総数は、結局5つの箱からボールを入れるための箱を3つ選ぶ選び方と等しくなり、これは「区別する5個のものから3個とりだして作る組の総数」と考えることができるので $5C3=5・4・3/3・2・1=10$ 通りとなる。

一般に、次のようにまとめることができる。

上段では、3つのボールから1から5の番号がついた箱のうち2、3、5へ矢印が伸びている。下段では、番号2、3、5の箱だけにボールが1個ずつ入った状態になっている。

定理3組合せ $nCr$ のボールと箱のモデル

組合せ $nCr$ はボールと箱のモデルを用いて

「区別しない $r$ 個のボールを、区別する $n$ 個の箱に高々1個配る場合の総数」

と考えることができる。

同じものを含む順列

同じものを含む順列 $C(n1,n2,\dots,nm)$ の定義

例えば、6枚のカード $［A］,［A］,［A］,［B］,［B］,［C］$ を1列に並べる順列の総数は次のように求めることができる。ただし、ここでは $［A］$ の3枚や、 $［B］$ の2枚の並べ方の違いは区別しないものとする。

まず、カードを並べるための“部屋”を先に6つ用意しておく。

3枚の $［A］$ の入れる部屋の選び方は $6C3$ 通りあり、その選んだ部屋に $［A］$ を入れる。

そのそれぞれに対し、残りの部屋は3部屋であるから、2枚の $［B］$ の入れる部屋の選び方は $3C2$ 通りあり、その選んだ部屋に $［B］$ を入れる。

そのそれぞれに対し、残りの部屋は1つであるから、最後に $［C］$ を入れる。

以上から、6枚のカード $［A］,［A］,［A］,［B］,［B］,［C］$ を1列に並べる順列の総数は積の法則より

$6C3\times 3C2\times 1C1 =6・5・4/3・2・1\times3・2/2・1\times1/1=60$

∴60通り

となる。

ここで、数個の区別しないものを含む $n$ 個の順列を定義しておこう。

1から6の番号がついた6つの部屋に、3つのA、2つのB、1つのCを順に選んで配置していく過程が、上から下へ矢印で結ばれた4段階で描かれている。

定義4同じものを含む順列 $C(n1,n2,\dots,nm)$ の定義

第 $i$ 種 $(1≦i≦m)$ のものが $ni$ 個ずつ全部で $n1+n2+\dots+nm=n$ 個あり、同種のものは区別しないものとするとき、これら $n$ 個を1列に並べた順列のことを、

同じものを含む順列

または、

一般順列(generalized permutation)

といい、その総数を $FTEXT$ では $C(n1, n2, \dots, nm)$ と表す。

例えば、 $a$ が3個、 $b$ が2個、 $c$ が1個の計6個の同じものを含む順列の総数は、 $C(3, 2, 1)$ である。

この例より、 $C(3, 2, 1)=60$ である。

同じものを含む順列 $C(n1,n2,\dots,nm)$ の計算

今みた例と同じように、一般の $C(n1, n2, \dots, nm)$ も、以下のように考えることができる。

まず、カードを並べるための場所を先にn個用意しておく。

$n1$ 個の同種のものの入れる場所の選び方は $nCn1$ 通りあり、またそのそれぞれに対して $n2$ 個の同種のものの入れる場所の選び方は $n-n1Cn2$ 通りあり、またそのそれぞれに対して $n3$ 個の同種のものの入れる場所の選び方は $n-n1-n2Cn3$ 通りあり、 $\dots$ 、またそのそれぞれに対して $nm$ 個の同種のものの入れる場所の選び方は $n-n1-n2-\dots-nm-1Cnm$ 通りある。

以上から、同じものを含む $n$ 個の順列は、積の法則から

$C(n1, n2, \dots, nm) = nCn1\times n-n1Cn2\times n-n1-n2Cn3 \times\dots\times n-n1-n2-\dots-nm-1Cnm$

となる。

まとめると

定理5同じものを含む順列 $C(n1,n2,\dots,nm)$ の計算

第 $i$ 種 $(1≦i≦m)$ のものが $ni$ 個ずつ全部で $n1+n2+\dots+nm=n$ 個あり、同種のものは区別しないときの同じものを含む順列の総数 $C(n1,n2,\dots,nm)$ は

$C(n1, n2, \dots, nm) = nCn1\times n-n1Cn2\times \dots\times n-n1-\dotsnm-1Cnm ① = n!/(n-n1)!n1! \times(n-n1)!/(n-n1-n2)!n2!\times \dots\times(n-n1-\dots-nm-1)!0!nm! = n!/(n1!n2!n3!\dots nm!) ②$

と計算できる。

例えば、 $a$ が3個、 $b$ が2個、 $c$ が1個の計6個の順列の総数は $①$ を用いて

$C(3,2,1)= 6C 3\times 6-3C2\times 6-3-2C1 = 6C3\times 3C2\times 1C1=60$

または、 $②$ を用いて

$C(3, 2, 1) =6!/3!2!1!=60$

と計算できる。

上の $②$ 、 $C(n1, n2, \dots, nm)=n!/(n1!n2!n3!\dots nm!)$ は、ただ計算の上でいえるだけでなく

「 $n$ 個のものすべてを区別した $n!$ 通りの順列のうち、同種の $n1,n2,\dots,nm$ 個の並び替えについては同一視するため、 $n1!n2!\dots nm!$ 通りで一まとめにして数えたもの」

と考えることもできる。

問題5同じものを含む順列

$1,1,1,2,2,3,3$ の7つの数字を一列に並び替えるとき、何通りの並べ方があるか。
SUUGAKUAを並び替えるとき、何通りの並べ方があるか。

解答を見る

1を3つ、2を2つ、3を2つ含むから

$C(3, 2, 2)= 7C3\times 7-3C2・ 7-3-2C2 = 7C3\times 4C2\times 2C2=210$

∴210通り

《別解》

$C(3, 2, 2)=7!/(3! 2! 2!)=210$ 通り
Uを3つ、Aを2つ、S、G、Kをそれぞれ1つ含むから

$C(3, 2, 1, 1, 1) = 8C3・ 8-3C2・ 8-3-2C1 ・ 8-3-2-1C1・ 8-3-2-1-1C1 = 8C3\times 5C2\times 3C1\times 2C1\times 1C1 = 3360$

∴3360通り

《別解》

$通り C(3, 2, 1, 1, 1)= 8!/(3! 2! 1! 1! 1!) = 3360通り$

$nCr$ の性質

組合せ $nCr$ について次の式が成り立つ。

定理6 $nCr$ の性質

$nCr= nCn-r$

(選ばれるもの・選ばれないもの)
$nCr= n-1Cr+ n-1Cr-1$

(特定のものについての場合分け)
$r nCr=n n-1Cr-1$

(リーダーの公式)

ただし、1. は $0≦r≦n$ 、2. は $1≦r≦n-1$ 、3. は $1≦r≦n$ とする。

暗記1 $nCr$ の性質の証明

上の $nCr$ の性質 の 1. ～ 3. が成り立つことを、

計算式を用いた方法
組合せの意味を考えた説明

でそれぞれ証明せよ。

解答を見る

$nCr= nCn-r$
1. ～計算式を用いた方法～
  
  $nCr = nPrr! = n!/(n-r)!r! = 1/(n-r)!・n!/r! = 1/(n-r)!・n!/({n-(n-r)}!) = 1/(n-r)!・ nPn-r = nPn-r(n-r)! = nCn-r$
  
  組合せ $nCr$ の計算、順列 $nPr$ の計算参照
2. ～組合せの意味を考えた説明～
  
  異なる $n$ 個の中から $r$ 個選ぶ $nCr$ 通りそれぞれは、 $n$ 個のものから選ばずに残す $(n-r)$ 個のものを選ぶ $nCn-r$ 通りと一対一に対応する。つまり、 $r$ 個選ぶとは、選ばない $n-r$ を「選ぶ」ことと等しい。よって
  
  $nCr= nCn-r$
  
  が成り立つ。
$nCr= n-1Cr+ n-1Cr-1$
1. ～計算式を用いた方法～
  
  $n-1Cr+ n-1Cr-1 =n-1Prr!+n-1Pr-1(r-1)! =(n-1)!/({(n-1)-r}!r!) + (n-1)!/({(n-1)-(r-1)}!(r-1)!) =(n-1)!/(n-r-1)!r!+(n-1)!/(n-r)!(r-1)! =(n-1)!/(n-r-1)!(r-1)!{1/r+1/(n-r)} =(n-1)!/(n-r-1)!(r-1)!・n/r(n-r) =n!/(n-r)!r! =nPrr! =nCr$
  
  組合せ $nCr$ の計算、順列 $nPr$ の計算参照
2. ～組合せの意味を考えた説明～
  
  異なるn個のものの中からr個選ぶ方法は、次の2つの場合に分けることができる。
  1. ある特定の1個を含まないで $r$ 個選ぶ
    
    $n-1Cr$ 通り
  2. ある特定の1個を含んで $r$ 個選ぶ
    
    $n-1Cr-1$ 通り
  この2つは同時に起こることはないので
  
  $nCr= n-1Cr+ n-1Cr-1$
  
  和の法則
  
  が成り立つ。
$r nCr=n n-1Cr-1$
1. ～計算式を用いた方法～
  
  $r nCr = r\timesnPrr! = r\timesn!/(n-r)!r! = n!/(n-r)!(r-1)! = n\times(n-1)!/({n-1-(r-1)}!(r-1)!) = n\timesn-1Pr-1(r-1)! = n n-1Cr-1$
  
  組合せ $nCr$ の計算、順列 $nPr$ の計算参照
2. ～組合せの意味を考えた説明～
  
  $n$ 人の中から $r$ 人の班をつくり班長を決める場合の数について考える。 $n$ 人の中から班員 $r$ 人選び、その $r$ 人の中からリーダーを1人決める方法には $nCr\timesr$ 通りある。また別の方法として、 $n$ 人の中から先にリーダーを決めておき、残りの班員 $r-1$ 人を選ぶ方法には $n n-1Cr-1$ 通りある。よって
  
  $r nCr=n n-1Cr-1$
  
  が成り立つ。

問題6最短経路

図のように、東西に走る道路と南北に走る道路があるとする。南西の角にあるA地点から、北東の角にあるB地点に至る

最短経路について以下の問に答えよ。

最短経路は全部で何通りあるか求めよ。
C地点を通る最短経路は何通りあるか。また、D地点を通る最短経路は何通りあるか、それぞれ求めよ。
C地点またはD地点を通る最短経路は何通りあるか求めよ。

東西に6区画、南北に5区画の格子状の道があり、南西の角に点A、北東の角に点Bがある。途中の格子点のうち、点CはAから東へ2区画・北へ2区画進んだ位置、点DはAから東へ3区画・北へ4区画進んだ位置にある。

解答を見る

北に1区画進むことを↑、東に1区画進むことを→で表すと、例えば図のように進む場合には

東西6区画、南北5区画の格子状の道で、左下の点Aから右上の点Bへの経路が太線で示されている。北へ1区画、東へ3区画、北へ2区画、東へ1区画、北へ2区画、東へ2区画進む経路である。

$↑\to\to\to↑↑\to↑↑\to\to$

と表すことができる。

北に1区画進むことを $↑$ 、東に1区画進むことを $\to$ で表すと、A地点からB地点への最短経路は、5個の $↑$ と6個の $\to$ ( $↑↑↑↑↑\to\to\to\to\to\to$ ) を一列に並べる順列の総数に等しい。

よって、求める最短経路の数は

$11!/5!6!=462$ 通り

同じものを含む順列 $C(n1,n2,\dots,nm)$ の計算参照

となる。
1. (C地点を通る最短経路)
  
  まず、A地点からC地点までの最短経路の数は
  
  $4!/2!2!=6$ 通り
  
  であり、この6通りそれぞれに対し、C地点からB地点までの最短経路
  
  $7!/3!4!=35$ 通り
  
  が決まるから、積の法則より
  
  $6\times35=210$ 通り
2. (D地点を通る最短経路)
  
  同様にして
  
  $7!/4!3!\times4!/1!3!=35\times4=140$ 通り
集合C,Dをそれぞれ

$C$ :C地点を通る最短経路

$D$ :D地点を通る最短経路

とおくと、 $n(C\capD)$ 、つまりC、D両地点を通る最短経路の数は

$n(C\capD)= 4!/2!2!\times3!/2!1!\times4!/1!3! = 6\times3\times4=72$

であるから、 $n(C\cupD)$ 、つまり求める最短経路の数は

$n(C\cupD)=n(C)+n(D)-n(C\capD) =210+140-72=278$

∴278通り

包含と排除の原理 (2集合版)

2項定理

$(a+b)^n$ を展開するということ

$(a+b)²$ を展開すると

$(a+b)²=a²+2ab+b²$

また、 $(a+b)³$ を展開すると

$(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³$

である。

ここでは、自然数 $n$ について、 $(a+b)^n$ を展開した式を組合せを使って求める方法について考えてみよう。以下では例として、 $(a+b)⁵$ の展開についてみていこう。

$(a+b)⁵$ とは、5つの $(a+b)$ の積

5つの(a+b)が横一列に並んで掛け合わされており、それぞれの(a+b)の下には、左から順に①から⑤までの丸数字が振られている。

のことである。この展開式は、5つの $(a+b)$ のそれぞれから、 $a$ か $b$ のどちらかをとって、掛け合わせたものの和になる。

$a⁴b$ の係数はいくつになるのか

5つの $(a+b)$ のうち、1つから $b$ を選び、残りの4つから $a$ をとって掛け合わせると、 $a⁴b$ が作られる。

図は、①から $b$ をとった場合のイメージである。

①から⑤の番号がついた5つのカッコ(a+b)が並んでおり、①のカッコからはbが、②から⑤のカッコからはaがグレーの四角で強調されている。

ここで、 $a⁴b$ が作られる場合の数は、上の①から⑤の1ヶ所から $b$ を選べばよいので、組合せの考えを使って $5C1$ と数えることができる。

つまり、 $(a+b)⁵$ の展開式における $a⁴b$ の係数は $5C1=5$ である。

$a³b²$ の係数はいくつになるのか

5つの $(a+b)$ のうち、2つから $b$ を選び、残りの3つから $a$ をとって掛け合わせると、 $a³b²$ が作られる。

図は、②と⑤から $b$ をとった場合のイメージである。

横に並んだ5つの(a+b)の式の下に左から①から⑤の番号が付いている。①、③、④ではaが、②、⑤ではbがそれぞれグレーの網掛けで強調されている。

ここで、 $a³b²$ が作られる場合の数は、上の①から⑤の2ヶ所から $b$ を選べばよいので、組合せの考えを使って $5C2$ と数えることができる。

つまり、 $(a+b)⁵$ の展開式における $a³b²$ の係数は $5C2=5・4/2・1=10$ である。

$(a+b)⁵$ の展開式

以上の例から、 $(a+b)⁵$ の展開式における各項の係数は、それぞれ次のようになるのがわかる。

$a⁵$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち0ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $5C0$

$a⁴b$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち1ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $5C1$

$a³b²$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち2ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $5C2$

$a²b³$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち3ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $5C3$

$ab⁴$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち4ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $5C4$

$b⁵$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち5ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $5C5$

つまり

$(a+b)⁵= 5C0a⁵+ 5C1a⁴b+ 5C2a³b² + 5C3a²b³+ 5C4ab⁴+ 5C5b⁵$

となる。

$(a+b)^n$ の展開式(2項定理)

一般に、 $(a+b)^n$ の展開式における $a^n-rb^r$ の係数は、 $n$ 個の $(a+b)$ のうち、 $r$ 個から $b$ を、残りの $n-r$ 個から $a$ を取り出す方法の総数 $nCr$ となる。このことから、次の式(2項定理(binomial theorem))が成り立つことがわかる。

定理72項定理

$n$ を自然数とするとき、 $(a+b)^n$ は

$(a+b)^n= nC0a^n+ nC1a^n-1b+\dots + nCn-1ab^n-1+ nCnb^n$

と展開できる。

2項定理の係数になるという意味で、組合せの総数 $nCr$ のことを2項係数(binomial coefficient)ともいう。

例えば、 $(a+2b)⁴$ は2項定理を用いて

$(a+2b)⁴ = 4C0a⁴+ 4C1a³(2b)+ 4C2a²(2b)² + 4C3a(2b)³+ 4C4(2b)⁴ = a⁴+4a³(2b)+6a²(2b)²+4a(2b)³+(2b)⁴ = a⁴+8a³b+24a²b²+32ab³+16b⁴$

と展開できる。

問題7展開された式の係数

次の展開式において、 $[ ]$ 内で指定された項の係数を求めよ。

$(2x+1)⁶ [x²]$
$(2x-3y)⁵ [x³y²]$
$(x²-1/2x)⁷ [1/x]$
$定数項 (x-1/2x²)¹² [定数項]$

解答を見る

$(2x+1)⁶$ を展開したとき、 $x²$ を含む項は

$6C4(2x)²1⁴$

2項定理を部分的に使った

となる。よって、 $x²$ の係数は

$6C4・2²=60$
$(2x-3y)⁵$ を展開したとき、 $x³y²$ を含む項は

$5C2(2x)³(-3y)²$

2項定理を部分的に使った

となる。よって、 $x³y²$ の係数は

$5C2・2³・(-3)²=720$
$(a+b)⁷$ の展開において、 $a=x²,b=-1/2x$ としたものが $(x²-1/2x)⁷$ である。 $a²b⁵$ を計算すると $1/x$ の項ができるので、このときの係数を求める。

$7C5a²b⁵ = 7C5(x²)²(-1/2x)⁵ = 7C5(-1/2)⁵1/x = -21/32・1/x$

2項定理を部分的に使った

よって、求める係数は $-21/32$ である。
$(a+b)¹²$ の展開において、 $a=x,b=-1/2x²$ としたものが $(x-1/2x²)¹²$ である。 $a⁸b⁴$ を計算すると定数項ができるので、このときの係数を求める。

$12C4a⁸b⁴ = 12C4x⁸(-1/2x²)⁴ = 12C4(-1/2)⁴ = 495/16$

2項定理を部分的に使った

よって、求める係数は $495/16$ である。

問題82項定理の応用

次の展開式において、 $[ ]$ 内で指定された項の係数を求めよ。

$(2x+y-z)⁸ [x²y³z³]$
$(x-2y-z)⁵ [x²yz²]$

解答を見る

$(2x+y-z)⁸={2x+(y-z)}⁸$ として考える。

これを展開したとき、 $x²$ の項は

$8C6(2x)²(y-z)⁶$

2項定理を部分的に使った

として計算される。

さらに $(y-z)⁶$ を展開したとき、 $y³$ の項は

$6C3y³(-z)³$

2項定理を部分的に使った

として計算される。

よって、 $(2x+y-z)⁸$ を展開したときの $x²y³z³$ の係数は

$8C6・ 2²・ 6C3・(-1)³ = -4・ 8C2・ 6C3=-2240$
$(x-2y-z)⁵={x+(-2y-z)}⁵$ として考える。これを展開したとき、 $x²$ の項は

$5C3x²(-2y-z)³$

2項定理を部分的に使った

として計算される。

さらに $(-2y-z)³$ を展開したとき、 $y$ の項は

$3C2(-2y)(-z)²$

2項定理を部分的に使った

として計算される。

よって、 $(x-2y-z)⁵$ を展開したときの $x²yz²$ の係数は

$5C3・ 3C2・(-2)・(-1)² = -2・ 5C2・ 3C1=-60$

問題92項係数の和

2項定理を用いて次の等式を証明せよ。

$2^n= nC0+ nC1+ nC2+\dots + nCn-1+ nCn$
$0= nC0- nC1+ nC2-\dots +(-1)^n-1 nCn-1+(-1)^n nCn$
$(-1)^n= nC0-2 nC1+2² nC2-\dots +(-2)^n-1 nCn-1+(-2)^n nCn$

解答を見る

2項定理

$(a+b)^n = nC0a^n+ nC1a^n-1b+ nC2a^n-2b²+\dots + nCn-1ab^n-1+ nCnb^n$

において

$a=b=1$ とおくと

$2^n= nC0+ nC1+ nC2+\dots + nCn-1+ nCn$

となり、確かに成立する。
$a=1,b=-1$ とおくと

$0= nC0- nC1+ nC2-\dots +(-1)^n-1 nCn-1+(-1)^n nCn$

となり、確かに成立する。
$a=1,b=-2$ とおくと

$(-1)^n = nC0-2 nC1+2² nC2-\dots +(-2)^n-1 nCn-1+(-2)^n nCn$

となり、確かに成立する。

パスカルの三角形

図のように、2項係数 $nC0, nC1, nC2,\dots, nCn$ の値を、上から順に $n=1,2,3,\dots$ の場合について三角形の形に並べたものを、パスカルの三角形(Pascal's triangle)という。

nが1から5までの組合せ記号nCrをピラミッド状に並べた三角形と、それぞれの値を計算して1, 3, 3, 1などの具体数値を同じ配置で並べた三角形が、矢印を挟んで左右に並んでいる。

パスカルの三角形には、次のような特徴がある。

$nC0= nCn=1$ であるから、各行の左右両端の数字は1である。
$nCr= nCn-r$ であるから、各行は左右対称である。
$nCr= n-1Cr-1+ n-1Cr$ であるから $nCr$ の性質、左右両端以外の数字は、その左上の数と右上の数を足したものとなる。

問題10パスカルの三角形

パスカルの三角形を利用して、次の展開式を求めよ。

$(x+y)⁶$
$(x-2y)⁵$

解答を見る

パスカルの三角形を $n=6$ の場合まで書くと、図のようになるので

$(x+y)⁶ = x⁶+6x⁵y+15x⁴y²+20x³y³ +15x²y⁴+6xy⁵+y⁶$
パスカルの三角形を $n=5$ の場合まで書くと、図のようになるので

$(x-2y)⁵ = x⁵+5x⁴(-2y)+10x³(-2y)² +10x²(-2y)³+5x(-2y)⁴+(-2y)⁵ = x⁵-10x⁴y+40x³y² -80x²y³+80xy⁴-32y⁵$

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学A 第1章 場合の数 — 組合せ

組合せについて

組合せnCrの定義

定義1組合せ nCr の定義

組合せnCrの計算

定理2組合せ nCr の計算

問題1組合せの計算練習

問題2組合せ〜その1〜

問題3組合せ〜その2〜

問題4組み分け

ボールと箱のモデル4

定理3組合せ nCr のボールと箱のモデル

同じものを含む順列

同じものを含む順列C(n1,n2,…,nm)の定義

定義4同じものを含む順列 C(n1,n2,…,nm) の定義

同じものを含む順列C(n1,n2,…,nm)の計算

定理5同じものを含む順列 C(n1,n2,…,nm) の計算

問題5同じものを含む順列

nCrの性質

nCrの性質

定理6nCr の性質

暗記1nCr の性質の証明

問題6最短経路

2項定理

(a+b)^nを展開するということ

a⁴bの係数はいくつになるのか

a³b²の係数はいくつになるのか

(a+b)⁵の展開式

(a+b)^nの展開式(2項定理)

定理72項定理

問題7展開された式の係数

問題82項定理の応用

問題92項係数の和

パスカルの三角形

問題10パスカルの三角形

この節についてAIに質問する

数学A 第1章場合の数 — 組合せ

組合せ $nCr$ の定義

定義1組合せ $nCr$ の定義

組合せ $nCr$ の計算

定理2組合せ $nCr$ の計算

定理3組合せ $nCr$ のボールと箱のモデル

同じものを含む順列 $C(n1,n2,\dots,nm)$ の定義

定義4同じものを含む順列 $C(n1,n2,\dots,nm)$ の定義

同じものを含む順列 $C(n1,n2,\dots,nm)$ の計算

定理5同じものを含む順列 $C(n1,n2,\dots,nm)$ の計算

$nCr$ の性質

$nCr$ の性質

定理6 $nCr$ の性質

暗記1 $nCr$ の性質の証明

$(a+b)^n$ を展開するということ

$a⁴b$ の係数はいくつになるのか

$a³b²$ の係数はいくつになるのか

$(a+b)⁵$ の展開式

$(a+b)^n$ の展開式(2項定理)