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数学A 第1章 場合の数 — 残りの体系

残りの体系について

ボールと箱のモデル9

ここでは、ボールと箱のモデルにおける体系の最後として、 下表で空欄になっている部分（「あり・なし」「なし・なし」の行の「単射」の欄）、つまり

「区別する 個のボールを、区別しない 個の箱に高々1個配る場合の数」

と

「区別しない 個のボールを、区別しない 個の箱に高々1個配る場合の数」

について考えてみよう。

ボール・箱 単射 写像全て 全射
あり・あり 順列 重複順列 部屋割り
なし・あり 組合せ 重複組合せ 資源配分
あり・なし （右枠の和） 部屋割り（区別なし）
なし・なし （右枠の和） 資源配分（区別なし）

実はこれらは非常に単純で、 の場合に1通りとなるだけである。 箱に区別が無いので、どのボールがどの箱に入ったかという違いは残らず、 どの配り方も「ボールの入った箱が 個、空の箱が 個ある」という同じ形になってしまうからである。 例えば、区別する3個のボールを区別しない5個の箱に高々1個配る場合の数は

横に並んだ5つの四角い箱のうち、左側の3つの箱にはそれぞれ1、2、3の番号がついたボールが1個ずつ入っており、右側の2つの箱は空である。

の1通りしかない。

同じようにボールを区別しない場合でも

横一列に並んだ5つの正方形の箱のうち、左から3つの箱にはそれぞれボールが1つずつ入っており、右側の2つの箱は空になっている。

の1通りしかない。

また、 の場合には、すべての箱に1つずつボールを配っても、ボールが余ってしまうので0通りとする。

以上で、上の表で空欄になっていた「単射」の2つの欄も、 のとき1通り、 のとき0通り、と埋まった。 これでボールと箱のモデルの体系はすべて出そろったことになる。

最終更新: 2026-08-20

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