数学A 場合の数FTEXT ftext.org
資源配分 練習問題全4問
年組番氏名得点
資源配分の練習問題（全4問・解答つき）
数学A「資源配分」（場合の数）の練習問題を4問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
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問題1資源配分の計算練習
次の値を求めよ。
- resource(5,2)
- resource(7,6)
- resource(10,4)
- resource(20,18)
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- resource(5,2)= 4C1=4
- resource(7,6)= 6C5= 6C1=6
- resource(10,4)= 9C3=(9・ 8・ 7)/(3・ 2・ 1)=84
- resource(20,18)= 19C17= 19C2 = (19・ 18)/(2・ 1)=171
問題2資源配分〜その1〜
8個の区別しないアメを3人の子供に分けるとき、次の問に答えよ。
- 子供は皆最低1個はアメをもらう場合、何通り分け方があるか。
- 1個もアメをもらえない子供がいてもよい場合、何通りの分け方があるか。
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8個のアメを8個の白丸
○○○○○○○○
であらわし、これによってできる7ヶ所の“すきま”から2ヶ所選んで“しきり”を入れ、3つの部分に分け、 左にある ○ の数を1番目の子供に与えるアメの数、 中央にある ○ の数を2番目の子供に与えるアメの数、 右にある ○ の数を3番目の子供に与えるアメの数 とすればよい。
↑ 例えば ○|○○○○|○○○ では、アメを子供にそれぞれ1個、4個、3個与えることに対応する
よって
resource(8,3)= 7C2=(7・ 6)/(2・ 1)=21 通り
1個ももらえない子供がいてもよいので、こちらは重複組合せになる。
↑ 重複組合せ nHr のボールと箱のモデル参照
3人の子供を区別する3個の箱、8個のアメを区別しない8個のボールとみて
3H8= 3+8-1C8= 10C8= 10C2=(10・ 9)/(2・ 1)=45 通り
問題3資源配分〜その2〜
- x+y+z+w=15 を満たす自然数の組 (x,y,z,w) の数を求めよ。
- x+y+z+w=15 を満たす0以上の整数の組 (x,y,z,w) の数を求めよ。
解答を見る
15という数を15個の白丸
○○○○○○○○○○○○○○○
であらわし、これによってできる14ヶ所の“すきま”から3ヶ所選んで“しきり”を入れ、4つの部分に分け、 一番左にある ○ の数を x の値、 左から2番目にある ○ の数を y の値、 右から2番目にある ○ の数を z の値、 一番右にある ○ の数を w の値 とすればよい。
↑ 例えば ○○○|○|○○○○○○○○○|○○ では、 (x,y,z,w)=(3,1,9,2) に対応する
よって
resource(15,4)= 14C3=(14・ 13・ 12)/(3・ 2・ 1) = 364通り
x, y, z, w は0でもよいので、こちらは重複組合せになる。
↑ 重複組合せ nHr のボールと箱のモデル参照
x, y, z, w の4つを区別する4個の箱、15を区別しない15個のボールとみて
4H15= 4+15-1C15= 18C15= 18C3=(18・ 17・ 16)/(3・ 2・ 1)=816 通り
問題4資源配分と重複組合せ
resource(n,r) と rHn-r は等しいことを説明せよ。
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resource(n,r) の定義は、「区別しない n 個のボールを、区別する r 個の箱に最低1個は配る場合の数」である。
↑ 資源配分の数 resource(n,r) の定義参照
また、 rHn-r はボールと箱のモデルでは、「区別しない n−r 個のボールを、区別する r 個の箱に配る(何個でもよい)場合の数」である。
↑ 重複組合せ nHr のボールと箱のモデル参照
resource(n,r) について考える。 この「最低1個は配る」について、はじめに r 個の箱に1個ずつボールを配っておき、 その後残った n−r 個のボールを r 個の箱に配る(何個でもよい)と考えてもよく、 これは、 rHn-r と一致する。