数学I 第3章集合の基礎 — 集合の要素の個数

集合の表し方より、有限集合の要素の個数は数えることができる。ここでは、集合の要素の個数の表し方や、集合の要素の個数についてに成り立つ関係式を見ていこう。

集合の要素の個数の表し方

集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ で表す。

例えば、集合 $A$ を1桁の奇数、すなわち $A={1,3,5,7,9}$ とすると、 $n(A)=5$ となる。空集合 $\emptyset$ には要素がないので、 $n(\emptyset)=0$ とする。

集合 $A$ と $B$ が等しいとき、 $A$ と $B$ の要素の個数も当然等しい、すなわち $ならば A=Bならばn(A)=n(B)$ が成り立つ。これより、集合の性質～その1～、集合の性質～その2～ でみた集合に関する等式は、集合の要素の個数の場合にもそのまま成り立ち、次のようにまとめられる。

定理1要素の個数の基本

$n((A\cupB)\cupC) =n(A\cup(B\cupC)) =n(A\cupB\cupC)$ $n((A\capB)\capC) =n(A\cap(B\capC)) =n(A\capB\capC)$
$n(A\cup(B\capC)) =n((A\cupB)\cap(A\cupC))$ $n(A\cap(B\cupC)) =n((A\capB)\cup(A\capC))$
$n(A)=n(A)$
$n(A\cupA)=n(U)$ 、 $n(A\capA)=0$
ド・モルガンの法則

$n(A\cupB)=n(A\capB)$ 、 $n(A\capB)=n(A\cupB)$

直積の要素の個数

集合 $A$ の要素の個数 $n(A)=l$ 、集合 $B$ の要素の個数 $n(B)=m$ とする。

$A$ と $B$ の直積 $A\timesB$ は、 $A$ の要素 $l$ 個それぞれに対して $B$ の要素 $m$ 個を対応させることによって作られるので、 $n(A\timesB)=l\timesm$ が成り立つ。

定理2直積の要素の個数

集合 $A$ 、 $B$ と、その直積 $A\timesB$ の要素の個数に関して $n(A\timesB)=n(A)・n(B)$ が成り立つ。

和集合の要素の個数（包含と排除の原理）

全体集合を $U$ とする、2つの集合 $A$ 、 $B$ について $n(A)=a , n(B)=b , n(A\capB)=p$ であるとすると図のようになるので $n(A\capB)=a-p , n(A\capB)=b-p$ となるのがわかる。これより $n(A\cupB) = (a-p)+p+(b-p) =a+b-p = n(A)+n(B)-n(A\capB)$ が成り立ち、これを包含（ほうがん）と排除（はいじょ）の原理 (principle of inclusion and exclusion) という。

全体集合Uを表す長方形の中に、交わる2つの集合AとBを表す円がある。共通部分にはp、Aのみの部分にはa-p、Bのみの部分にはb-pと書かれている。

定理3包含と排除の原理（2集合版）

2つの集合 $A$ 、 $B$ に関して $n(A\cupB)=n(A)+n(B)-n(A\capB)$ が成り立つ。

特に、 $A\capB=\emptyset$ のときには、 $n(A\cupB)=n(A)+n(B)$ となる。

重なる2つの集合A, Bの円において、AとBの全体を斜線で塗った領域は、A全体を塗った領域とB全体を塗った領域を足し、重なる共通部分を引いたものに等しいことが等式で示されている。

問題1包含と排除の原理（2集合版）

$は以下の自然数 U={x|xは100以下の自然数}$ を全体集合とし、 $はの倍数 A={x|xは3の倍数}$ 、 $はの倍数 B={x|xは5の倍数}$ とするとき、次の値を求めよ。

$n(A)$
$n(B)$
$n(A\capB)$
$n(A\cupB)$

解答を見る

$100\div3=33$ あまり $1$ より $A={3\times1, 3\times2, \dots, 3\times33}$ となるのがわかる。よって、 $n(A)=33$ である。
$100\div5=20$ より $B={5\times1, 5\times2, \dots, 5\times20}$ となるのがわかる。よって、 $n(B)=20$ である。
$A\capB$ は、 $3$ の倍数でかつ $5$ の倍数の集合だから、結局 $15$ の倍数の集合である。

$100\div15=6$ あまり $10$ より $A\capB={15\times1, 15\times2, \dots, 15\times6}$ となるのがわかる。よって、 $n(A\capB)=6$ である。
和集合の要素の個数に関して

包含と排除の原理（2集合版）参照

$n(A\cupB)=n(A)+n(B)-n(A\capB)$ が成り立つから、1～3より $n(A\cupB)=33+20-6=47$

暗記1包含と排除の原理（3集合版）の導出

2つの集合に関する包含と排除の原理 $n(A\cupB)=n(A)+n(B)-n(A\capB)$ を使い、3つの集合に関する包含と排除の原理 $n(A\cupB\cupC) = n(A)+n(B)+n(C) -n(A\capB)-n(B\capC)-n(C\capA) +n(A\capB\capC)$ が成り立つのを証明せよ。

解答を見る

$をかたまりとして、『包含と排除の原理（集合版）』を使ったの部分は『包含と排除の原理（集合版）』を、の部分は『要素の個数の基本』を使ったさらにに『包含と排除の原理（集合版）』を使ったをかたまりとして、要素の個数の基本を使った『共通部分』 n(A\cupB\cupC) =n{(A\cupB)\cupC} =n(A\cupB)+n(C)-n{(A\cupB)\capC} △A\cupBを1かたまりとして、『包含と排除の原理（2集合版）』を使った =n(A\cupB)○-n{(A\cupB)\capC}+n(C) =n(A)+n(B)-n(A\capB)○ -n{(A\capC)\cup(B\capC)}+n(C) △○の部分は『包含と排除の原理（2集合版）』を、の部分は『要素の個数の基本 2』を使った =n(A)+n(B)-n(A\capB) -n(A\capC)-n(B\capC) +n{(A\capC)\cap(B\capC)}+n(C) △さらにに『包含と排除の原理（2集合版）』を使った =n(A)+n(B)+n(C) -n(A\capB)-n(B\capC)-n(C\capA) +n{(A\capC)\cap(B\capC)} =n(A)+n(B)+n(C) -n(A\capB)-n(B\capC)-n(C\capA) +n{A\cap(C\capB\capC)} △B\capCを1かたまりとして、要素の個数の基本を使った =n(A)+n(B)+n(C) -n(A\capB)-n(B\capC)-n(C\capA) +n(A\capB\capC) △C\capC=C 『共通部分』$

定理4包含と排除の原理（3集合版）

3つの集合 $A$ 、 $B$ 、 $C$ に関して $n(A\cupB\cupC) =n(A)+n(B)+n(C) -n(A\capB)-n(B\capC) -n(C\capA)+n(A\capB\capC)$ が成り立つ。

全体集合 U を表す長方形の中に、集合 A、B、C を表す3つの円が描かれている。上側に A、左下に B、右下に C が配置され、3つの円は互いに一部が重なり合っている。

補集合の要素の個数

“着目しないもの”に着目する

図の中にある白丸(○)の個数を数えるには、実際に白丸の個数を数えるのではなく、丸が横に12個、縦に10個、計120個並んでいるのを確認し、そこから黒丸(●)の個数を引くのがよい。つまり $白丸の個数個 (白丸の個数)=12\times10-8=112 ∴112個$ と数えるのがよい。

丸が横に12個、縦に10個、合わせて120個が格子状に並んでいる。そのうち8個が散らばって黒丸になっており、残りの112個は白丸である。このように、着目しないもの(●)の個数を全体の個数から引くことによって、着目するもの(○)の個数を数えることができ、集合では次のようにまとめられる。

補集合の要素の個数について

全体集合を $U$ とする。集合 $A$ と、その補集合 $A$ について $A\cupA=U , A\capA=\emptyset$ であるから、包含と排除の原理（2集合版）より $n(U)=n(A)+n(A)$ となる。

全体集合Uを表す長方形の中に、集合Aを表す円が描かれている。長方形の中で円の外側にあたる部分には斜線が施され、Aの補集合を表す記号が添えられている。

定理5補集合の要素の個数

全体集合を $U$ とする集合 $A$ と、その補集合 $A$ に関して $n(A)=n(U)-n(A)$ が成り立つ。

問題2補集合の要素の個数と包含と排除の原理

総世帯数が $191$ のある地区では、新聞をとっている世帯が $170$ ある。このうちA新聞をとっている世帯は $89$ 、B新聞をとっている世帯は $108$ ある。その他の新聞はこの地区には無いものとして、以下の問に答えよ。

この地区では新聞をとっていない世帯はいくつか。
A、B両方の新聞をとっている世帯はいくつか。

解答を見る

$U:$ ｢ある地区の総世帯｣
$A:$ ｢A新聞をとっている世帯｣
$B:$ ｢B新聞をとっている世帯｣

とおく。

新聞をとっている世帯は $A\cupB$ と表せるので、新聞をとっていない世帯は $A\cupB$ となる。

補集合の要素の個数参照

$n(A\cupB) =n(U)-n(A\cupB) =191-170 =21$
A、B両方の新聞をとっている世帯は $A\capB$ と表される。和集合の要素の個数に関して

包含と排除の原理（2集合版）参照

$n(A\cupB)=n(A)+n(B)-n(A\capB)$ が成り立つから $n(A\capB)= n(A)+n(B)-n(A\cupB) = 89+108-170=27$

問題3補集合の要素の個数と包含と排除の原理（3集合版）

$300$ 人の高校生にA、B、Cの3種のテストを行った。Aテストに $102$ 人、Bテストに $152$ 人、Cテストに $160$ 人が合格したが、これらの中で、A、B両テストに $42$ 人、B、C両テストに $62$ 人、C、A両テストに $32$ 人が合格している。3種のテストのどれにも合格しなかった人は $10$ 人であった。このとき、3種のテストにすべて合格した人は何人か。

解答を見る

$U:$ ｢テストを受けた高校生全員｣
$A:$ ｢Aテストに合格した人｣
$B:$ ｢Bテストに合格した人｣
$C:$ ｢Cテストに合格した人｣

とおくと、3種のテストのどれにも合格しなかった人は $A\capB\capC$ と表され、3種のテストにすべて合格した人は $A\capB\capC$ で表せる。

3つの集合の和集合に関して $n(A\cupB\cupC) = n(A)+n(B)+n(C) -n(A\capB)-n(B\capC) -n(C\capA) +n(A\capB\capC) ①$

が成り立ち、また補集合に関して $n(A\cupB\cupC) =n(U)-n(A\cupB\cupC) =n(U)-n(A\capB\capC) ②$ が成り立つ。 $①$ と $②$ より $人 n(A\capB\capC) =n(A\cupB\cupC) -n(A)-n(B)-n(C) +n(A\capB)+n(B\capC)+n(C\capA) ={n(U)-n(A\capB\capC)} -n(A)-n(B)-n(C) +n(A\capB)+n(B\capC)+n(C\capA) =300-10-102-152 -160+42+62+32 =12 ∴12人$

最終更新: 2026-08-12

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質問の内容

数学I 第3章 集合の基礎 — 集合の要素の個数

集合の要素の個数の表し方

集合の要素の個数の表し方

定理1要素の個数の基本

直積の要素の個数

直積の要素の個数

定理2直積の要素の個数

和集合の要素の個数（包含と排除の原理）

和集合の要素の個数（包含と排除の原理）

定理3包含と排除の原理（2集合版）

問題1包含と排除の原理（2集合版）

暗記1包含と排除の原理（3集合版）の導出

定理4包含と排除の原理（3集合版）

補集合の要素の個数

“着目しないもの”に着目する

補集合の要素の個数について

定理5補集合の要素の個数

問題2補集合の要素の個数と包含と排除の原理

問題3補集合の要素の個数と包含と排除の原理（3集合版）

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