集合の要素の個数の練習問題（全4問・解答つき）
数学I「集合の要素の個数」（集合の基礎）の練習問題を4問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます
問題1包含と排除の原理（2集合版）
U={x|xは100以下の自然数} を全体集合とし、 A={x|xは3の倍数}、 B={x|xは5の倍数} とするとき、次の値を求めよ。
- n(A)
- n(B)
- n(A∩B)
- n(A∪B)
解答を見る
100÷3=33 あまり 1 より
A={3×1, 3×2, …, 3×33}
となるのがわかる。よって、 n(A)=33 である。
100÷5=20 より
B={5×1, 5×2, …, 5×20}
となるのがわかる。よって、 n(B)=20 である。
A∩B は、3 の倍数でかつ 5 の倍数の集合だから、結局 15 の倍数の集合である。
100÷15=6 あまり 10 より
A∩B={15×1, 15×2, …, 15×6}
となるのがわかる。よって、 n(A∩B)=6 である。
和集合の要素の個数に関して
包含と排除の原理（2集合版）参照
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
が成り立つから、1～3より
n(A∪B)=33+20-6=47
問題2補集合の要素の個数と包含と排除の原理
総世帯数が 191 のある地区では、新聞をとっている世帯が 170 ある。このうちA新聞をとっている世帯は 89、B新聞をとっている世帯は 108 ある。その他の新聞はこの地区には無いものとして、以下の問に答えよ。
- この地区では新聞をとっていない世帯はいくつか。
- A、B両方の新聞をとっている世帯はいくつか。
解答を見る
- U:｢ある地区の総世帯｣
- A:｢A新聞をとっている世帯｣
- B:｢B新聞をとっている世帯｣
とおく。
新聞をとっている世帯は A∪B と表せるので、新聞をとっていない世帯は A∪B となる。
補集合の要素の個数参照
n(A∪B) =n(U)-n(A∪B) =191-170 =21
A、B両方の新聞をとっている世帯は A∩B と表される。和集合の要素の個数に関して
包含と排除の原理（2集合版）参照
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
が成り立つから
n(A∩B)= n(A)+n(B)-n(A∪B) = 89+108-170=27
問題3補集合の要素の個数と包含と排除の原理（3集合版）
300 人の高校生にA、B、Cの3種のテストを行った。Aテストに 102 人、Bテストに 152 人、Cテストに 160 人が合格したが、これらの中で、A、B両テストに 42 人、B、C両テストに 62 人、C、A両テストに 32 人が合格している。3種のテストのどれにも合格しなかった人は 10 人であった。このとき、3種のテストにすべて合格した人は何人か。
解答を見る
- U:｢テストを受けた高校生全員｣
- A:｢Aテストに合格した人｣
- B:｢Bテストに合格した人｣
- C:｢Cテストに合格した人｣
とおくと、3種のテストのどれにも合格しなかった人は A∩B∩C と表され、3種のテストにすべて合格した人は A∩B∩C で表せる。
包含と排除の原理（3集合版）参照
3つの集合の和集合に関して
n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) -n(A∩B)-n(B∩C) -n(C∩A) +n(A∩B∩C)1
補集合の要素の個数参照
全体集合と補集合の3集合の場合のド・モルガンの法則より
が成り立ち、また補集合に関して
n(A∪B∪C) =n(U)-n(A∪B∪C) =n(U)-n(A∩B∩C)2
が成り立つ。とより
n(A∩B∩C) =n(A∪B∪C) -n(A)-n(B)-n(C) +n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A) ={n(U)-n(A∩B∩C)} -n(A)-n(B)-n(C) +n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A) =300-10-102-152 -160+42+62+32 =12 ∴12人
覚えておきたい事項（1問）
暗記1包含と排除の原理（3集合版）の導出
2つの集合に関する包含と排除の原理
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
を使い、3つの集合に関する包含と排除の原理
n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) +n(A∩B∩C)
が成り立つのを証明せよ。
解答を見る
n(A∪B∪C) =n{(A∪B)∪C} =n(A∪B)+n(C)-n{(A∪B)∩C} △A∪Bを1かたまりとして、 『包含と排除の原理（2集合版）』を使った =n(A∪B)○-n{(A∪B)∩C}+n(C) =n(A)+n(B)-n(A∩B)○ -n{(A∩C)∪(B∩C)}+n(C) △○の部分は『包含と排除の原理 （2集合版）』を、の部分は 『要素の個数の基本 ii』を使った =n(A)+n(B)-n(A∩B) -n(A∩C)-n(B∩C) +n{(A∩C)∩(B∩C)}+n(C) △さらにに 『包含と排除の原理（2集合版）』を使った =n(A)+n(B)+n(C) -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) +n{(A∩C)∩(B∩C)} =n(A)+n(B)+n(C) -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) +n{A∩(C∩B∩C)} △B∩Cを1かたまりとして、 要素の個数の基本を使った =n(A)+n(B)+n(C) -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) +n(A∩B∩C) △C∩C=C 『共通部分』