数学B 第2章 漸化式 — 線形3項間漸化式:an+2 =pan+1+qan

STEP1

漸化式 an+2=pan+1+qan から特性方程式 x²=px+q をつくる．

STEP2

特性方程式の異なる2つの解 x=α,β (α≠β) を利用して，漸化式 an+2=pan+1+qan を

an+2-α an+1=β (an+1-α an) an+2-β an+1=α(an+1-β an)

と2通りに変形する．

STEP3

bn=an+1-α an,cn=an+1-β an とおき，2本の漸化式を書き換えて

bn+1=β bn cn+1=α cn

等比数列の一般項の公式を使い，数列 {bn},{cn} の一般項を求める．

bn=b1β^n-1 cn=c1α^n-1

STEP4

置き換えた数列をもとに戻して

an+1-α an=(a2-α a1)β^n-1 an+1-β an=(a2-β a1)α^n-1

an+1 を消すため，辺々引き算する．

-α an-(-β an) =(a2-α a1)β^n-1-(a2-β a1)α^n-1 ⇔ (β-α)an =(a2-α a1)β^n-1-(a2-β a1)α^n-1

STEP5

an について解けば完成．

an=((a2-α a1)/(β-α))β^n-1-((a2-β a1)/(β-α))α^n-1

実際， α=2,β=3,a1=2,a2=5 を代入すると an=3^n-1+2^n-1 となり，はじめに書き並べた 2,5,13,35,97,275,… と一致する．

線形3項間漸化式を解くのに，特性方程式 x²=px+q を使うとよいのはわかったが，この特性方程式はいったいどのような考え方からくるのだろうか．ここでは，それを検証する．

線形3項間漸化式 an+2=pan+1+qan を解くために，「等比数列に帰着させる」ことを考えていた．等比数列に帰着させるためには，適当な数 α,β を用いて，線形3項間漸化式 an+2=pan+1+qan を

an+2-α an+1=β(an+1-α an) ①

と変形したい．なぜなら，このように変形できれば，数列 {an+1-α an} が公比 β の等比数列になるからである．

では，このような α,β はどのように求めればよいのかというと， ① を展開・整理した式

an+2=(α+β)an+1-αβ an

と，もともとの漸化式

an+2=pan+1+qan

の係数を比較して

α+β=p αβ=-q

を満たすような α,β であればよい．

このような α,β を求めるためには，解と係数の関係の逆より

x²-px-q=0

という2次方程式を解けばよい．

ここで，この方程式を解くのではなく，変形すると

x²=px+q

となるが，これは線形3項間漸化式 an+2=pan+1+qan の an+2 を x² ， an+1 を x ， an を1に形式的に置き換えたものに他ならない．そして，この方程式を特性方程式と名付けるのである．

結局，線形3項間漸化式 an+2=pan+1+qan は，特性方程式 x²=px+q の解 α,β を用いて

an+2-α an+1=β(an+1-α an)

と変形され，等比数列に帰着されるのである．

ここで，条件 α+β=p, αβ=-q は α と β を入れかえても変わらない．だから，特性方程式の2つの解のどちらを α の役にしてもよく，同じように

an+2-β an+1=α(an+1-β an)

とも変形できる．2通りの変形が得られるのは，このためである．