数学B 第7章 空間ベクトルと空間図形 — 空間ベクトルの内積

この節の練習問題3問だけをまとめて見る・印刷する →

空間ベクトルの正射影

ベクトルのなす角の定義（空間）

まず平面ベクトルの場合と同じように、空間ベクトルでもベクトルのなす角を定義する。

0 でない2つの空間ベクトル、a、b に対して、点 O を始点として a=OA , b=OB となるように点 A、B をとる。このとき、∠AOB の大きさ θ は、a、b によって決まる。この θ を、a と b のなす角とする。

なす角の取り得る範囲は、平面ベクトルの場合と同様に 0°≦θ≦180° となる。

ベクトルの正射影と有向距離（空間）

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの正射影と有向距離を定義する．

0 でない2 つの空間ベクトル，a，b に対して，点O を始点として

a =OA , b =OB

となるように点A，B をとる．

いま，右図の点B からから直線OA に下ろした垂線の足をH とする．このとき，OHをb のa への正射影ベクトルといいb→a と表す．正射影ベクトルb→a は，a，b とそのなす角θ を用いて次のように表すことができる．

1. 0° ≦ θ ≦ 90° のとき

   

   b→a = OH/OAOA = (OBcos θ)/OAOA =(|b| cos θ)/|a|a

2. 90° < θ ≦ 180° のとき

   

   b→a = − OH/OAOA = − OBcos(180° − θ)/OAOA =(|b| cos θ)/|a|a

つまり， 0° ≦ θ ≦ 180° で b→a =(|b| cos θ)/|a|aと表せる．この|b| cos θ の値のことを，b→aの有向距離または符号付長さという．

なお，b→a の大きさは

|b→a| = |(|b| cos θ)/|a|a| =(|b cos θ |)/|a||a| =|b cos θ |

で表される．

ベクトルの内積（空間）

ベクトルの内積の定義（空間）

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの内積を定義 する．

任意の2 つの空間ベクトル，a，b に対して内積という演算 a ・ b を次のように定義する．

1. a ≠ 0 かつ b ≠ 0 のとき

   「a の大きさに，b→a の有向距離をかけたもの」，すなわち

   a ・ b = |a| × |b| cos θ

   とする．ここで，θ はa とb のなす角である．

2. a = 0 または b = 0 のとき

   a ・ b = 0

   とする．

空間の正射影ベクトルの内積での表し方

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでも同様な形で，正射影ベク トルを内積で表すことができる．

b のa への正射影ベクトルb→a は

b→a = (|b| cos θ)/|a|a =(|a||b| cos θ)/|a|²a ∵分母分子に|a| をかけた =(a ・ b)/|a|²a ∵a ・ b = |a||b| cos θ

と表すことができる．

内積の計算法則（空間）

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルの内積でも，次のような計算 法則が成り立つ．

成分表示された空間ベクトルの内積

成分表示された2 つの空間ベクトル， a = ( ax ay az ), b = ( bx by bz ) の内積について考えてみよう．

まず， ex = ( 1 0 0 ), ey = ( 0 1 0 ), ez = ( 0 0 1 ) について，それぞれのベクトルの大きさは1であり，どの2 つのベクトルのなす角も90° であるから

|ex|=|ey|=|ez|= 1 ① ex ・ ey = 0 , ey ・ ez = 0 , ez ・ ex = 0 ②

が成り立つ．

ここで，a は

a = ( arrayc ax ay az array ) = ( arrayc ax 0 0 array ) + ( arrayc 0 ay 0 array ) + ( arrayc 0 0 az array ) = ax ( arrayc 1 0 0 array ) + ay ( arrayc 0 1 0 array ) + az ( arrayc 0 0 1 array )

であるから，a をex，ey，ez に分解すると

a = ax ex + ay ey + az ez ③

となる．

同様にして

b = bx ex + by ey + bz ez ④

となる．

よって， ③，④より

a ・ b = (ax ex + ay ey + az ez) ・ (bx ex + by ey + bz ez) = axbx |ex|² + ayby |ey|² + azbz |ez|² ∵② = axbx + ayby + azbz ∵① となる．

空間ベクトルの垂直条件

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの垂直を定義する．

0 でない2 つのベクトル，a とb のなす角が90° とき，a とb は垂直であるといい， a⊥bと表す．また，0 はすべてのベクトルに対し垂直と定める．

このとき，a とb の内積は， a ・ b = 0 となる．逆に， a ・ b = 0 ならば a⊥b といえる．つまり

a⊥b ⇔a ・ b = 0

である．

また，成分表示された2 つのベクトル， a = ( ax ay az ) と b = ( bx by bz ) が垂直であるとき

( ax ay az ) ・ ( bx by bz ) = 0 ⇔ axbx + ayby + azbz = 0 が成り立つ．

問題2空間ベクトルの垂直条件

正四面体O-ABC で， OA⊥OB が垂直であることを証明せよ．

解答を見る

正四面体であるので

OA ・ OB =OB ・OC=OC ・OA

より

OA ・ BC =OA ・ (OC −OB) =OA ・ OC −OA ・ OB = 0

以上から， OA⊥OB であることが示せた．

問題3空間ベクトルの内積と垂直条件

1 辺の長さ2 の正四面体ABCD がある．ABの中点をM，CD の中点をN とする． DA = a，DB = b，DC = cとおくとき，以下の問いに答えよ．

1. a ・ b の値を求めよ．
2. MN をa，b，c で表せ．
3. MN⊥AB であることを証明せよ．
4. |a + b +c|を求めよ．
5. DM とDC のなす角の余弦を求めよ．

解答を見る

1. a ・ b = 2 ・ 2 ・ cos 60°= 2

2. MN =DN −DM = 1/2c − 1/2 (a + b) =1/2 (−a − b + c)

3. AB = b − a であるので

   MN ・ AB =1/2(−a − b +c) ・ (b − a) = 1/2(−a ・ b + |a|² − |b|² . .+ a ・ b + b ・ c − a ・ c)

   ここで，1. とABCD が正四面体であることから， a ・ b = b ・ c = c ・ a = 2であるので

   MN ・ AB = 1/2 (−2 + 4 − 4 + 2 + 2 − 2) = 0

   したがって， MN⊥AB である．

4. |a + b +c|² = |a|² + |b|² + |c|² + 2( a ・ b + b ・ a +c ・ a ) = 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24

   したがって， |a + b +c| = 2√6 である．

5. △DAB は正三角形であり，M がAB の中点であることから

   |DM| =|AD| sin 60°=√3

   となり，また

   DM ・ DC = 1/2 (a + b) ・ c =1/2(a ・ c + b ・ c)= 2

   である．したがって， DM・ DC のなす角をθとすると

   cos θ =(DM ・ DC)/( |DM|・ |DC|) = 2/(2 ・ √3)=1/√3

最終更新: 2026-08-10