空間ベクトルの内積の練習問題（全3問・解答つき）
数学B「空間ベクトルの内積」（空間ベクトルと空間図形）の練習問題を3問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます
問題1空間ベクトルの内積
次の2 つのベクトルの内積の値とそのなす角 θ (0° ≦ θ ≦ 180°) を求めよ．
- (−1, − 2, 1)，(1, − 1, 2)
- (1, 0, − 1)，(1, 2, − 2)
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a ・ b = −1 ・ 1 − 2 ・ (−1) + 1 ・ 2 = 3
cos θ =(a ・ b)/|a||b|
であるので，
cos θ = 3/( √((−1)² + (−2)² + 1²) √(1² + (−1)² + 2²) ) =3/( √6√6 )=1/2
0° ≦ θ ≦ 180° より， θ = 60°
a ・ b = 1 ・ 1 + 0 ・ 2 − 1 ・ (−2) =3
cos θ =(a ・ b)/|a||b|
であるので，
cos θ = 3/( √(1² + 0² + (-1)²) √(1² + 2² + (-2)²) ) =3/( √2√9 )=1/√2
0° ≦ θ ≦ 180° より， θ = 45°
問題2空間ベクトルの垂直条件
正四面体O-ABC で， OA⊥OB が垂直であることを証明せよ．
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正四面体であるので
OA ・ OB =OB ・OC=OC ・OA
より
OA ・ BC =OA ・ (OC −OB) =OA ・ OC −OA ・ OB = 0
以上から， OA⊥OB であることが示せた．
問題3空間ベクトルの内積と垂直条件
1 辺の長さ2 の正四面体ABCD がある．ABの中点をM，CD の中点をN とする． DA = a，DB = b，DC = cとおくとき，以下の問いに答えよ．
- a ・ b の値を求めよ．
- MN をa，b，c で表せ．
- MN⊥AB であることを証明せよ．
- |a + b +c|を求めよ．
- DM とDC のなす角の余弦を求めよ．
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a ・ b = 2 ・ 2 ・ cos 60°= 2
MN =DN −DM = 1/2c − 1/2 (a + b) =1/2 (−a − b + c)
AB = b − a であるので
MN ・ AB =1/2(−a − b +c) ・ (b − a) = 1/2(−a ・ b + |a|² − |b|² . .+ a ・ b + b ・ c − a ・ c)
ここで，1. とABCD が正四面体であることから， a ・ b = b ・ c = c ・ a = 2であるので
MN ・ AB = 1/2 (−2 + 4 − 4 + 2 + 2 − 2) = 0
したがって， MN⊥AB である．
|a + b +c|² = |a|² + |b|² + |c|² + 2( a ・ b + b ・ a +c ・ a ) = 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24
したがって， |a + b +c| = 2√6 である．
△DAB は正三角形であり，M がAB の中点であることから
|DM| =|AD| sin 60°=√3
となり，また
DM ・ DC = 1/2 (a + b) ・ c =1/2(a ・ c + b ・ c)= 2
である．したがって， DM・ DC のなす角をθとすると
cos θ =(DM ・ DC)/( |DM|・ |DC|) = 2/(2 ・ √3)=1/√3