空間ベクトルの内積の練習問題（全3問・解答つき）
数学B「空間ベクトルの内積」（空間ベクトルと空間図形）の練習問題を3問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます。印刷設定の「ヘッダーとフッター」を外すと、日付やURLが入らずきれいに刷れます
問題1空間ベクトルの内積
次の2 つのベクトルの内積の値とそのなす角 θ (0° ≦ θ ≦ 180°) を求めよ。
- (−1, − 2, 1), (1, − 1, 2)
- (1, 0, − 1), (1, 2, − 2)
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a ・ b = −1 ・ 1 − 2 ・ (−1) + 1 ・ 2 = 3
cos θ =(a ・ b)/|a||b|
であるので、
cos θ = 3/( √((−1)² + (−2)² + 1²) √(1² + (−1)² + 2²) ) =3/( √6√6 )=1/2
0° ≦ θ ≦ 180° より、 θ = 60°
a ・ b = 1 ・ 1 + 0 ・ 2 − 1 ・ (−2) =3
cos θ =(a ・ b)/|a||b|
であるので、
cos θ = 3/( √(1² + 0² + (-1)²) √(1² + 2² + (-2)²) ) =3/( √2√9 )=1/√2
0° ≦ θ ≦ 180° より、 θ = 45°
問題2空間ベクトルの垂直条件
正四面体O-ABC で、 OA⊥BC であることを証明せよ。
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正四面体であるので
OA ・ OB =OB ・OC=OC ・OA
より
OA ・ BC =OA ・ (OC −OB) =OA ・ OC −OA ・ OB = 0
以上から、 OA⊥BC であることが示せた。
問題3空間ベクトルの内積と垂直条件
1 辺の長さ2 の正四面体ABCD がある。ABの中点をM, CD の中点をN とする。 DA = a, DB = b, DC = cとおくとき、以下の問いに答えよ。
- a ・ b の値を求めよ。
- MN をa, b, c で表せ。
- MN⊥AB であることを証明せよ。
- |a + b +c|を求めよ。
- DM とDC のなす角の余弦を求めよ。
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a ・ b = 2 ・ 2 ・ cos 60°= 2
MN =DN −DM = (1/2)c − 1/2 (a + b) =1/2 (−a − b + c)
AB = b − a であるので
MN ・ AB =1/2(−a − b +c) ・ (b − a) = 1/2(−a ・ b + |a|² − |b|² . .+ a ・ b + b ・ c − a ・ c)
ここで、1. とABCD が正四面体であることから、 a ・ b = b ・ c = c ・ a = 2であるので
MN ・ AB = 1/2 (−2 + 4 − 4 + 2 + 2 − 2) = 0
したがって、 MN⊥AB である。
|a + b +c|² = |a|² + |b|² + |c|² + 2( a ・ b + b ・ c +c ・ a ) = 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24
したがって、 |a + b +c| = 2√6 である。
△DAB は正三角形であり、M がAB の中点であることから
|DM| =|AD| sin 60°=√3
となり、また
DM ・ DC = 1/2 (a + b) ・ c =1/2(a ・ c + b ・ c)= 2
である。したがって、DM とDC のなす角をθとすると
cos θ =(DM ・ DC)/( |DM|・ |DC|) = 2/(2 ・ √3)=1/√3