数学B 第6章 空間ベクトルの演算 — 空間ベクトルの演算

空間ベクトルの加法

ベクトルの加法の定義（空間）

「平面ベクトルの加法」と同じように，空間ベクトルの加法も定義する．

ベクトルの加法についての計算法則

1. 交換法則

   a + b = b + a

2. 結合法則

   (a + b) +c = a + (b +c)

は，空間ベクトルの場合にもそのまま成り立つ．

また，逆ベクトル，ゼロベクトルも同様に定義する．

成分表示された空間ベクトルの加法

成分表示された空間ベクトル a = ( ax ay az ) ，b = ( bx by bz ) に関して，和 a + b は

a + b = ( ax ay az ) + ( bx by bz ) =( ax+bx ay+by az+bz )

となる．

空間ベクトルの減法

ベクトルの減法の定義（空間）

「平面ベクトルの減法」と同じように，空間ベクトルの減法も定義する．

成分表示された空間ベクトルの減法

成分表示された空間ベクトル a = ( ax ay az ) ，b = ( bx by bz ) に関して，差 a - b は

a - b = ( ax ay az ) - ( bx by bz ) =( ax-bx ay-by az-bz )

となる．

ベクトルの実数倍（空間）

ベクトルの実数倍の定義（空間）

「平面ベクトルの実数倍」と同じように，空間ベクトルの実数倍も定義する．

ベクトルの実数倍についての計算法則

1. 結合法則

   m(na) = (mn)a

2. ベクトルの分配法則

   (m + n)a = ma + na

3. 実数倍の分配法則

   m(a + b) = ma + mb

は，空間ベクトルの場合にもそのまま成り立つ．

また，単位ベクトルも同様に定義する．

成分表示された空間ベクトルの実数倍

成分表示された空間ベクトル a = ( ax ay az ) に関して，実数倍ma は ma = m ( ax ay az ) = ( max may maz )

となる．

空間ベクトルの平行条件

0 でない2 つの空間ベクトルa，b の平行に関しても，平面の場合と同様に

a ∥ b ⇔ a = kbとなる k ∈ R が存在する

である．

また，成分表示された2 つのベクトル， a = ( ax ay az ) と b = ( bx by bz ) が平行であるとき

( arrayc ax ay az array ) =k ( arrayc bx by bz array ) ⇔ ( arrayc ax ay az array ) = ( arrayc kbx kby kbz array ) ⇔ { arrayl ax = kbx ay = kby az = kbz array . ⇔ { arrayl k=ax/bx k=ay/by k=az/bz array .

より (k =)ax/bx=ay/by=az/bz，つまり

axby = aybxかつ aybz = azby

が成り立つ．

最終更新: 2026-08-12