数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 2次不等式と2次関数

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2次式で表された不等式「2次不等式」について学ぶ。1次不等式がそうであったように、2次不等式も2次関数や2次方程式と深い関係がある。2次不等式の場合は、むしろ、2次関数と2次方程式を用いて解くことになる。

2次不等式とは

不等式を移項して整理することにより $次式次式 (2次式)>0 , (2次式)≦0$ などの形に変形できる不等式を、一般に 2次不等式 (quadratic inequality) という。

2次不等式 $x²-5x+4<0 ①$ を満たす $x$ の値について考えてみると、 $x=2$ や $x=3$ は $①$ を満たすが、 $x=0$ や $x=5$ は $①$ を満たさない。

1次不等式の解法と同じように、2次不等式でも、不等式を満たす $x$ の値の範囲をその不等式の解といい、解を求めることを不等式を解くという。

2次不等式の解法

2次関数をもちいて2次不等式を解く

2次不等式 $x²-5x+4<0$ を解くためには、2次関数 $y=x²-5x+4$ について、 $y<0$ となる $x$ の値の範囲を調べればよい。

$y=x²-5x+4=(x-1)(x-4)$ と因数分解できるので、グラフは下図のようになる。これより、 $y<0$ となる $x$ の範囲は $1<x<4$ である。

2次関数 y=x^2-5x+4 の下に凸な放物線がx軸と1と4で交わっている。交点の1と4は白丸で表され、1から4の間でx軸より下側の領域が着色されている。

暗記12次不等式の解法

以下の空欄に適当な数字を入れよ。

2次不等式 $x²-4x+2>0 ①$ を解くことを考えよう。

まず $x²-4x+2>0$ を因数分解するため、2次方程式 $x²-4x+2=［A］$ を解こう。

これは、解の公式より $x=［B］\pm\sqrt［C］$ となる。よって $x²-4x+2>0 \Leftrightarrow {x-(［B］-\sqrt［C］)} {x-(［B］+\sqrt［C］)}>0$ と因数分解できる。

この左辺を $y$ とおいて、 $y>0$ となるときの $x$ の範囲を求めればよい。

2次関数 $y={x-(［B］-\sqrt［C］)} {x-(［B］+\sqrt［C］)}$ のグラフを描けば次の図のようになるので、 $①$ の解は $x<［B］-\sqrt［C］ , ［B］+\sqrt［C］<x$

y=x^2-4x+2 の放物線が下に凸に描かれ、x軸との交点のx座標は B-√C と B+√C で、白丸になっている。x軸より上で、交点より左側と右側の領域が着色されている。

解答を見る

$［A］=0$ 、 $［B］=2$ 、 $［C］=2$

$-(-2)\pm\sqrt((-2)² -1・2)=2\pm\sqrt2$ （ $x$ の係数が偶数の場合の解の公式参照）

問題1判別式 $D>0$ の場合の2次不等式

次の2次不等式を解け。

$x²-2x-3>0$
$x²-2x-3≧0$
$x²-2x-3<0$
$x²-2x-3≦0$

解答を見る

xy座標平面上に、下に凸の放物線 y=x^2-2x-3 が描かれている。この放物線は x 軸と 2 点で交わっており、それぞれの x 座標として -1 と 3 が示されている。

$y=x²-2x-3$ とおくと、判別式 $D$ は $D=(-2)²-4・1・(-3)=16>0$ となるので、この放物線は $x$ 軸と2つの共有点をもつ。その共有点の $x$ 座標は $x²-2x-3=0 \Leftrightarrow (x+1)(x-3)=0 \Leftrightarrow x=-1, 3$ より、 $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $-1$ 、 $3$ とわかる。

これより、 $y=x²-2x-3$ のグラフは上の図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

上の図より、 $の値 x²-2x-3^y の値>0$ となるのは $x<-1$ または $3<x$ のときであるとわかる。

よって、2次不等式 $x²-2x-3>0$ の解は $x<-1 , 3<x$ となる。
上の図より、 $の値 x²-2x-3^y の値≧0$ となるのは $x≦-1$ または $3≦x$ のときとわかる。

よって、2次不等式 $x²-2x-3≧0$ の解は $x≦-1 , 3≦x$ となる。
上の図より、 $の値 x²-2x-3^y の値<0$ となるのは $-1<x<3$ のときとわかる。

よって、2次不等式 $x²-2x-3<0$ の解は $-1<x<3$ となる。
上の図より、 $の値 x²-2x-3^y の値≦0$ となるのは $-1≦x≦3$ のときとわかる。

よって、2次不等式 $x²-2x-3≦0$ の解は $-1≦x≦3$ となる。

問題2判別式 $D=0$ の場合の2次不等式

次の2次不等式を解け。

$4x²-4x+1>0$
$4x²-4x+1≧0$
$4x²-4x+1<0$
$4x²-4x+1≦0$

解答を見る

xy平面上に、下に凸の放物線 y=4x^2-4x+1 が描かれている。この放物線はx軸と x=1/2 の点で接しており、その接点に黒丸が付いている。

$y=4x²-4x+1$ とおくと、判別式 $D$ は $D=(-4)²-4・4・1=0$ となるので、この放物線は $x$ 軸と接する。

さらに、2次方程式 $4x²-4x+1=0$ を解くと $4x²-4x+1=0 \Leftrightarrow (2x-1)²=0 ∴x=1/2$ となるので、 $x$ 軸との共有点（接点）の $x$ 座標は $1/2$ とわかる。

これより、 $y=4x²-4x+1$ のグラフは上の図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

上の図より、 $4x²-4x+1>0$ となるのは $x<1/2$ または $1/2<x$ のときとわかる。

よって、2次不等式 $4x²-4x+1>0$ の解は $x<1/2 , 1/2<x$ となる。

「 $x$ は $1/2$ 以外のすべての実数」という答え方でもよい
上の図より、すべての実数 $x$ で $4x²-4x+1≧0$ となるのがわかる。

よって、2次不等式 $4x²-4x+1≧0$ の解はすべての実数となる。
上の図より、 $4x²-4x+1<0$ となる $x$ は存在しないのがわかる。

よって、2次不等式 $4x²-4x+1<0$ の解は存在しない。
次の図より、 $4x²-4x+1≦0$ となるのは $x=1/2$ のときのみとわかる。

よって、2次不等式 $4x²-4x+1≦0$ の解は $x=1/2$ となる。

問題3判別式 $D<0$ の場合の2次不等式

次の2次不等式を解け。

$x²-4x+5>0$
$x²-4x+5≧0$
$x²-4x+5<0$
$x²-4x+5≦0$

解答を見る

x軸、y軸、原点Oがある座標平面上に、下に凸の放物線y=x^2-4x+5が描かれている。放物線は全体がx軸の上側にあり、x軸と交点をもたない。

$y=x²-4x+5$ とおくと、判別式 $D$ は $D=(-4)²-4・1・5=-4<0$ となり、この放物線は $x$ 軸と交点をもたないので、 $y=x²-4x+5$ のグラフは上の図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

上の図より、すべての実数 $x$ で $x²-4x+5>0$ となるのがわかる。

よって、2次不等式 $x²-4x+5>0$ の解はすべての実数となる。
上の図より、すべての実数 $x$ で $x²-4x+5≧0$ となるのがわかる。

よって、2次不等式 $x²-4x+5≧0$ の解はすべての実数となる。
上の図より、 $x²-4x+5<0$ となる $x$ は存在しないのがわかる

よって、2次不等式 $x²-4x+5<0$ の解は存在しない。
上の図より、 $x²-4x+5≦0$ となる $x$ は存在しないのがわかる。

よって、2次不等式 $x²-4x+5≦0$ の解は存在しない。

定理12次不等式の解

$a>0$ の場合の、2次不等式の解はつぎのようにまとめることができる。 $a<0$ の場合は、両辺に $-1$ を掛けて不等号の向きを変え、 $x²$ の係数が正になるようにしてから、下の表を使えばよい。

判別式 D の符号ごとに、a>0 の2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフと2次不等式の解をまとめた表。D>0 では ax^2+bx+c=0 が2解 α、β（α<β）をもち放物線は x 軸と2点で交わり、ax^2+bx+c>0 の解は x<α, β<x、≧0 の解は x≦α, β≦x、<0 の解は α<x<β、≦0 の解は α≦x≦β となる。D=0 では重解 α をもち放物線は x 軸に接し、>0 の解は α 以外の実数、≧0 の解はすべての実数、<0 の解はなし、≦0 の解は x=α となる。D<0 では実数解がなく放物線は x 軸と共有点をもたず、>0 と ≧0 の解はすべての実数、<0 と ≦0 の解はなしとなる。

問題42次不等式の練習

次の2次不等式を解け。

$(x-3)(x+2)≦0$
$x²-6x+8<0$
$-2x²-x-6≧0$
$x²-x-6≧2x-4$
$-x²-x-9<x-3$
$(1/2)x²-x-5/3≧(2/3)x²+(1/3)x+1$

解答を見る

$y=(x-3)(x+2)$ のグラフを描けば上の図のようになるので、 $-2≦x≦3$ が解となる。
$x²-6x+8$ は整数の範囲で因数分解でき

$y=x²-6x+8$ の判別式を $D$ とすると $D/4=(-3)²-1・8>0$

$x²-6x+8<0 \Leftrightarrow (x-2)(x-4)<0$ $y=(x-2)(x-4)$ のグラフを描けば上の図のようになるので、 $2<x<4$ が解となる。
式全体に $-1$ を掛けて

$x²$ の係数は正にした方がよい

$-2x²-x-6≧0 \Leftrightarrow 2x²+x+6≦0$ $y=2x²+x+6$ は判別式 $D=1²-4・2・6<0$ であるので、グラフは上の図のようになる。つまり、この不等式を満たす実数は存在しないので、解はない。
移項して整理すると $x²-x-6≧2x-4 \Leftrightarrow x²-3x-2≧0$ $x²-3x-2$ は簡単には因数分解できないので、

$y=x²-3x-2$ の判別式を $D$ とすると $D=(-3)²-4・1・(-2)>0$

2次方程式 $x²-3x-2=0$ の解 $x=3\pm\sqrt((-3)²-4・1・(-2))/2 =3\pm\sqrt17/2$

2次方程式の解の公式参照

を利用して $x²-3x-2≧0 \Leftrightarrow (x-(3-\sqrt17)/2) (x-(3+\sqrt17)/2)≧0 \Leftrightarrow x≦(3-\sqrt17)/2, (3+\sqrt17)/2≦x$ が解となる。
移項して整理すると $-x²-x-9<x-3 \Leftrightarrow -x²-2x-6<0 \Leftrightarrow x²+2x+6>0$

$x²$ の係数は正にした方がよい

$y=x²+2x+6$ の判別式 $D$ について $D/4=1²-1・6<0$ であるので、グラフは上の図のようになる。つまり、この不等式は常に正しいので、解はすべての実数。
両辺を6倍して整理すると $(1/2)x²-x-5/3≧(2/3)x²+(1/3)x+1 \Leftrightarrow 3x²-6x-10≧4x²+2x+6 \Leftrightarrow x²+8x+16≦0 \Leftrightarrow (x+4)²≦0$ $y=(x+4)²$ のグラフを描くと上の図のようになる。よって、この不等式の解は $x=-4$ 。

問題5連立2次不等式

次の不等式を解け。

$x²-5x-14≧0 2x²-11x-40<0$ 上の式を $(1)$ 、下の式を $(2)$ とする。
$25-9x²>0 3x²+4x-6<0$ 上の式を $(3)$ 、下の式を $(4)$ とする。

解答を見る

- まず、 $(1)$ を解くと $x²-5x-14≧0 \Leftrightarrow (x+2)(x-7)≧0 \Leftrightarrow x≦-2 , 7≦x$ 最後の式を $(1)'$ とする。
- 次に、 $(2)$ を解くと $2x²-11x-40<0 \Leftrightarrow (2x+5)(x-8)<0 \Leftrightarrow -5/2<x<8$ 最後の式を $(2)'$ とする。
以上 $(1)'$ 、 $(2)'$ を共通して満たす $x$ は $-5/2<x≦-2 , 7≦x<8$
- まず、 $(3)$ を解くと $25-9x²>0 \Leftrightarrow 9x²-25<0 \Leftrightarrow (3x+5)(3x-5)<0 \Leftrightarrow -5/3<x<5/3$
  
  $x²$ の係数が正になるように両辺に $-1$ を掛けた
  
  最後の式を $(3)'$ とする。
- 次に、 $(4)$ を解くのだが、これは簡単には因数分解できないので、2次方程式 $3x²+4x-6=0$ の解 $x=(-2\pm\sqrt(2²-3・(-6)))/3 =(-2\pm\sqrt22)/3$
  
  $x$ の係数が偶数の場合の解の公式参照
  
  を利用して $3x²+4x-6<0 \Leftrightarrow {x-((-2-\sqrt22)/3)} {x-((-2+\sqrt22)/3)}<0 \Leftrightarrow (-2-\sqrt22)/3<x<(-2+\sqrt22)/3$
  
  左辺は $3{x-((-2-\sqrt22)/3)}{x-((-2+\sqrt22)/3)}$ と因数分解できる。 $x²$ の係数 $3$ は正なので、両辺を $3$ で割ってよい
  
  最後の式を $(4)'$ とする。
以上 $(3)'$ 、 $(4)'$ を共通して満たす $x$ は $-5/3<x<(-2+\sqrt22)/3$

$4<\sqrt22<5$ より

$-2+\sqrt22=2.\dots$ なので

$(-2+\sqrt22)/3=0.\dots$

$-2-\sqrt22=-6.\dots$ なので

$(-2-\sqrt22)/3=-2.\dots$

問題6範囲に注意すべき2次関数の最大・最小

$x²+y²=1$ のとき、 $L=x+y²-1$ の最大値・最小値、そのときの $x$ 、 $y$ を求めよ。

解答を見る

まず、 $x²+y²=1$ を変形して

$y²=1-x² ①$ $①$ を $L=x+y²-1$ に代入し、平方完成すると

$L=x+(1-x²)-1 =-x²+x =-(x-1/2)²+1/4$ 一方、 $①$ において、 $y²≧0$ なので

$1-x²≧0 \Leftrightarrow (x-1)(x+1)≦0 ∴-1≦x≦1$ である。つまり $L=f(x)=-(x-1/2)²+1/4 (-1≦x≦1) ②$

x軸とL軸の座標平面に、上に凸の放物線 L=f(x)=-(x-1/2)^2+1/4 が描かれている。-1≦x≦1 の範囲が実線で描かれ、両端の点(-1, -2)と点(1, 0)は黒丸で示されている。

において、 $L$ の最大値・最小値を求めればよい。そこで、 $②$ のグラフを描けば、上の図のようになる。

図から、最大値は $f(1/2)=1/4$ であり、 $x=1/2$ を $①$ に代入して $y=\pm\sqrt3/2$ となる。

また、最小値は $f(-1)=-2$ であり、 $x=-1$ を $①$ に代入して $y=0$ となる。まとめると

$(x, y)=(1/2, \pm\sqrt3/2)$ のとき最大値 $1/4$
$(x, y)=(-1, 0)$ のとき最小値 $-2$

絶対値を含む関数・方程式

「絶対値」で学んだことを使って、絶対値を含む2次関数や2次方程式・不等式にして考えていこう。

問題7絶対値を含む2次関数

次の式で与えられた関数のグラフを描け。

$y=2x-|x²-4|$
$y=|x²-4x-6|$

解答を見る

1. $x²-4≧0 \Leftrightarrow (x+2)(x-2)≧0 \Leftrightarrow x≦-2 , 2≦x$ のとき、 $|x²-4|=x²-4$ なので $y=2x-(x²-4) =-x²+2x+4 =-(x-1)²+5$
2. $x²-4<0$ 、つまり $-2<x<2$ のとき、 $|x²-4|=-(x²-4)$ であるので $y=2x+(x²-4) =x²+2x-4 =(x+1)²-5$
i,ii で求めた放物線は、それぞれの場合分けの範囲にある部分だけを描く。とくに、i の放物線の頂点 $(1, 5)$ は $-2<1<2$ で i の範囲の外にあるので、グラフには現れない。

以上i,iiより、グラフは上の図のようになる。
1. $x²-4x-6≧0$ 、つまり $x≦2-\sqrt10 , 2+\sqrt10≦x$ のとき、 $|x²-4x-6|=x²-4x-6$ なので $y=x²-4x-6 =(x-2)²-10$
2. $x²-4x-6<0$ 、つまり $2-\sqrt10<x<2+\sqrt10$ のとき、 $|x²-4x-6|=-(x²-4x-6)$ なので $y=-(x²-4x-6) =-x²+4x+6 =-(x-2)²+10$
以上i,iiより、グラフは上の図のようになる。

この問の2のグラフは、 $y=x²-4x-6$ のグラフのうち $x$ 軸より下にある部分を上側へ折り返したものになっている。一般に、 $y=|f(x)|$ のグラフは、 $y=f(x)$ のグラフを描いておき、 $x$ 軸より下にある部分を上に折り返すと素早く描くことができる。

問題8絶対値を含む2次方程式

次の方程式を解け。

$|x²-2x-8|=6x+1$
$|x²-4x+3|=2-x$

解答を見る

1. $x²-2x-8≧0$ 、つまり $x²-2x-8≧0 \Leftrightarrow (x+2)(x-4)≧0 \Leftrightarrow x≦-2 , 4≦x ①$
のとき、与えられた方程式は $x²-2x-8=6x+1 \Leftrightarrow x²-8x-9=0 ∴x=-1 , 9$ $①$ の範囲で考えているので、 $x=9$ 2. $x²-2x-8<0$ 、つまり

i の $x$ の範囲以外

$-2<x<4 ②$ のとき、与えられた方程式は

$x$ の係数が偶数の場合の解の公式参照

$-(x²-2x-8)=6x+1 \Leftrightarrow -x²+2x+8=6x+1 \Leftrightarrow x²+4x-7=0 ∴x=-2\pm\sqrt11$

$3<\sqrt11<4$ より $-2+\sqrt11=1.\dots$

$②$ の範囲で考えているので、 $x=-2+\sqrt11$

以上 i,ii より、求める解は $x=-2+\sqrt11 , 9$
1. $x²-4x+3≧0$ 、つまり $x²-4x+3≧0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3)≧0 \Leftrightarrow x≦1 , 3≦x ③$
のとき、与えられた方程式は

2次方程式の解の公式参照

$x²-4x+3=2-x \Leftrightarrow x²-3x+1=0 ∴x=3\pm\sqrt5/2$

$\sqrt5=2.2360679\dots$

$③$ の範囲で考えているので、 $x=(3-\sqrt5)/2$ 2. $x²-4x+3<0$ 、つまり

i の $x$ の範囲以外

$1<x<3 ④$ のとき、与えられた方程式は

2次方程式の解の公式参照

$-(x²-4x+3)=2-x \Leftrightarrow x²-5x+5=0 ∴x=5\pm\sqrt5/2$ $④$ の範囲で考えているので、 $x=(5-\sqrt5)/2$

以上 i,ii より、求める解は $x=(3-\sqrt5)/2 , (5-\sqrt5)/2$

問題9絶対値を含む2次不等式

次の不等式を解け。

$3x²+|x²-9|<16x$
$|x²-8x-3|-2x-8>0$

解答を見る

1. $x²-9≧0$ 、つまり
$x²-9≧0 \Leftrightarrow (x+3)(x-3)≧0 \Leftrightarrow x≦-3 , 3≦x ①$ のとき、与えられた不等式は

$3x²+x²-9<16x \Leftrightarrow 4x²-16x-9<0 \Leftrightarrow (2x+1)(2x-9)<0 ∴-1/2<x<9/2$

これと $①$ を合わせて、 $3≦x<9/2$ 2. $x²-9<0$ 、つまり

i の $x$ の範囲以外

$-3<x<3 ②$ のとき、与えられた不等式は

方程式 $2x²-16x+9=0$ の解を利用した。左辺は $2{x-(8-\sqrt46)/2}{x-(8+\sqrt46)/2}$ と因数分解できる。 $x²$ の係数 $2$ は正なので、両辺を $2$ で割ってよい

$3x²-(x²-9)<16x \Leftrightarrow 2x²-16x+9<0 \Leftrightarrow {x-(8-\sqrt46)/2} {x-(8+\sqrt46)/2}<0 \Leftrightarrow (8-\sqrt46)/2<x<(8+\sqrt46)/2$

$6<\sqrt46<7$ より $(8-\sqrt46)/2=0.\dots$ 、 $(8+\sqrt46)/2=7.\dots$

これと、 $②$ を合わせて、 $(8-\sqrt46)/2<x<3$

以上 i,ii より求める解は $(8-\sqrt46)/2<x<9/2$
1. $x²-8x-3≧0$ 、つまり
方程式 $x²-8x-3=0$ の解を利用した

$x²-8x-3≧0 \Leftrightarrow {x-(4-\sqrt19)} {x-(4+\sqrt19)}≧0 \Leftrightarrow x≦4-\sqrt19 , 4+\sqrt19≦x ③$ のとき、与えられた不等式は

$x²-8x-3-2x-8>0 \Leftrightarrow x²-10x-11>0 \Leftrightarrow (x+1)(x-11)>0 ∴x<-1 , 11<x$

$\sqrt19=4.\dots$

これと、 $③$ を合わせて、 $x<-1 , 11<x$ 2. $x²-8x-3<0$ 、つまり

i の $x$ の範囲以外

$4-\sqrt19<x<4+\sqrt19 ④$ のとき、与えられた不等式は

$-(x²-8x-3)-2x-8>0 \Leftrightarrow x²-6x+5<0 \Leftrightarrow (x-1)(x-5)<0 ∴1<x<5$ これと、 $④$ を合わせて、 $1<x<5$

以上 i,ii より求める解は $x<-1 , 1<x<5 , 11<x$

問題10絶対値記号を複数含む式

以下の問いに答えよ。

関数 $y=|2x-4|+|x-5|$ のグラフを書け。
方程式 $|x-3|+|x-5|=3$ を解け。
不等式 $|x²-4x+3|+|x-2|<x$ を解け。

解答を見る

まず、場合分けについて考える。
- $2x-4≧0$ を解くと、 $x≧2$
- $x-5≧0$ を解くと、 $x≧5$
$0$ になる場合は省略している。

よって、次の表のようになる。

$x$ ～ $2$ $2$ ～ $5$ $5$ ～

$2x-4$ $-$ $+$ $+$

$x-5$ $-$ $-$ $+$
1. $x≦2$ のとき $y=-(2x-4)-(x-5) =-3x+9$
2. $2<x<5$ のとき $y=(2x-4)-(x-5) =x+1$
3. $5≦x$ のとき $y=(2x-4)+(x-5) =3x-9$
以上 i,ii,iii より、グラフは上の図のようになる。
まず、場合分けについて考える。
- $x-3≧0$ を解くと、 $x≧3$
- $x-5≧0$ を解くと、 $x≧5$
$0$ になる場合は省略している。

よって、次の表のようになる。

$x$ ～ $3$ $3$ ～ $5$ $5$ ～

$x-3$ $-$ $+$ $+$

$x-5$ $-$ $-$ $+$
1. $x≦3 ①$ のとき $-(x-3)-(x-5)=3 \Leftrightarrow -x+3-x+5=3 \Leftrightarrow -2x=-5 ∴x=5/2$ これは $①$ に適する。
2. $3<x<5 ②$ のとき $(x-3)-(x-5)=3 \Leftrightarrow x-3-x+5=3 \Leftrightarrow 2=3$ $x$ がいくつでも、この等式を満たすことはありえない。よって、この場合には解は無い。
3. $5≦x ③$ のとき $(x-3)+(x-5)=3 \Leftrightarrow x-3+x-5=3 \Leftrightarrow 2x=11 ∴x=11/2$ これは $③$ に適する。
以上 i,ii,iii より、求める解は $x=5/2 , 11/2$ である。
まず、場合分けについて考える。
- $x²-4x+3≧0$ を解くと、 $(x-1)(x-3)≧0$ 、 $x≦1, 3≦x$
- $x-2≧0$ を解くと、 $x≧2$
$0$ になる場合は省略している。

よって、次の表のようになる。

$x$ ～ $1$ $1$ ～ $2$ $2$ ～ $3$ $3$ ～

$x²-4x+3$ $+$ $-$ $-$ $+$

$x-2$ $-$ $-$ $+$ $+$
1. $x≦1 ④$ のとき
  
  $(x²-4x+3)-(x-2)<x \Leftrightarrow x²-6x+5<0 \Leftrightarrow (x-1)(x-5)<0 ∴1<x<5$ これと、 $④$ を合わせて、この場合は解が無い。
2. $1<x≦2 ⑤$ のとき
  
  $-(x²-4x+3)-(x-2)<x \Leftrightarrow -x²+2x-1<0 \Leftrightarrow (x-1)²>0 ∴x<1, 1<x$ これと、 $⑤$ を合わせて、 $1<x≦2$
3. $2<x≦3 ⑥$ のとき $-(x²-4x+3)+(x-2)<x \Leftrightarrow -x²+4x-5<0 \Leftrightarrow x²-4x+5>0$
  
  $x²-4x+5$ の判別式を $D$ すると、 $D/4=2²-5<0$ であり、グラフを考えると、解はすべての実数。
  
  これと、 $⑥$ を合わせて、 $2<x≦3$
4. $3<x ⑦$ のとき
  
  方程式 $x²-4x+1=0$ の解を利用した
  
  $(x²-4x+3)+(x-2)<x \Leftrightarrow x²-4x+1<0 \Leftrightarrow 2-\sqrt3<x<2+\sqrt3$ これと、 $⑦$ を合わせて、 $3<x<2+\sqrt3$
以上 i,ii,iii,iv より、求める解は $1<x<2+\sqrt3$

$x$	～ $2$	$2$ ～ $5$	$5$ ～

$2x-4$	$-$	$+$	$+$
$x-5$	$-$	$-$	$+$

$x$	～ $3$	$3$ ～ $5$	$5$ ～

$x-3$	$-$	$+$	$+$
$x-5$	$-$	$-$	$+$

$x$	～ $1$	$1$ ～ $2$	$2$ ～ $3$	$3$ ～

$x²-4x+3$	$+$	$-$	$-$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$+$	$+$

最終更新: 2026-08-13

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質問の内容

数学I 第2章 関数と方程式・不等式 — 2次不等式と2次関数

2次不等式とは

2次不等式とは

2次不等式の解法

2次関数をもちいて2次不等式を解く

暗記12次不等式の解法

問題1判別式 D>0 の場合の2次不等式

問題2判別式 D=0 の場合の2次不等式

問題3判別式 D<0 の場合の2次不等式

定理12次不等式の解

問題42次不等式の練習

問題5連立2次不等式

問題6範囲に注意すべき2次関数の最大・最小

絶対値を含む関数・方程式

問題7絶対値を含む2次関数

問題8絶対値を含む2次方程式

問題9絶対値を含む2次不等式

問題10絶対値記号を複数含む式

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数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 2次不等式と2次関数

問題1判別式 $D>0$ の場合の2次不等式

問題2判別式 $D=0$ の場合の2次不等式

問題3判別式 $D<0$ の場合の2次不等式