2次不等式と2次関数の練習問題（全11問・解答つき）

y=x²-2x-3 とおくと、判別式 D は D=(-2)²-4・1・(-3)=16>0 となるので、この放物線は x 軸と2つの共有点をもつ。その共有点の x 座標は x²-2x-3=0 ⇔ (x+1)(x-3)=0 ⇔ x=-1, 3 より、x 軸との交点の x 座標は -1、3 とわかる。

これより、 y=x²-2x-3 のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

1. 

   右図より、 x²-2x-3^y の値>0 となるのは x<-1 または 3<x のときであるとわかる。

   よって、2次不等式 x²-2x-3>0 の解は x<-1 , 3<x となる。

2. 

   右図より、 x²-2x-3^y の値≧0 となるのは x≦-1 または 3≦x のときとわかる。

   よって、2次不等式 x²-2x-3≧0 の解は x≦-1 , 3≦x となる。

3. 

   右図より、 x²-2x-3^y の値<0 となるのは -1<x<3 のときとわかる。

   よって、2次不等式 x²-2x-3<0 の解は -1<x<3 となる。

4. 

   右図より、 x²-2x-3^y の値≦0 となるのは -1≦x≦3 のときとわかる。

   よって、2次不等式 x²-2x-3≦0 の解は -1≦x≦3 となる。

y=4x²-4x+1 とおくと、判別式 D は D=(-4)²-4・4・1=0 となるので、この放物線は x 軸と接する。

さらに、2次方程式 4x²-4x+1=0 を解くと 4x²-4x+1=0 ⇔ (2x-1)²=0 ∴x=1/2 となるので、x 軸との共有点（接点）の x 座標は 1/2 とわかる。

これより、 y=4x²-4x+1 のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

1. 

   右図より、 4x²-4x+1>0 となるのは x<1/2 または 1/2<x のときとわかる。

   よって、2次不等式 4x²-4x+1>0 の解は x<1/2 , 1/2<x となる。

   「x は 1/2 以外のすべての実数」という答え方でもよい

2. 

   右図より、すべての実数 x で 4x²-4x+1≧0 となるのがわかる。

   よって、2次不等式 4x²-4x+1≧0 の解はすべての実数となる。

3. 

   右図より、 4x²-4x+1<0 となる x は存在しないのがわかる。

   よって、2次不等式 4x²-4x+1<0 の解は存在しない。

4. 右図より、 4x²-4x+1≦0 となるのは x=1/2 のときのみとわかる。

   

   よって、2次不等式 4x²-4x+1≦0 の解は x=1/2 となる。

y=x²-4x+5 とおくと、判別式 D は D=(-4)²-4・1・5=-4<0 となり、この放物線は x 軸と交点をもたないので、 y=x²-4x+5 のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

1. 

   右図より、すべての実数 x で x²-4x+5>0 となるのがわかる。

   よって、2次不等式 x²-4x+5>0 の解はすべての実数となる。

2. 

   右図より、すべての実数 x で x²-4x+5≧0 となるのがわかる。

   よって、2次不等式 x²-4x+5≧0 の解はすべての実数となる。

3. 

   右図より、 x²-4x+5<0 となる x は存在しないのがわかる

   よって、2次不等式 x²-4x+5<0 の解は存在しない。

4. 

   右図より、 x²-4x+5≦0 となる x は存在しないのがわかる。

   よって、2次不等式 x²-4x+5≦0 の解は存在しない。

1. 

   y=(x-3)(x+2) のグラフを描けば右図のようになるので、 -2≦x≦3 が解となる。

2. 

   x²-6x+8 は整数の範囲で因数分解でき

   y=x²-6x+8 の判別式を D とすると D/4=(-3)²-1・8>0 x²-6x+8<0 ⇔ (x-2)(x-4)<0 y=(x-2)(x-4) のグラフを描けば右図のようになるので、 2<x<4 が解となる。

3. 

   式全体に -1 を掛けて

   x² の係数は正にした方がよい -2x²-x-6≧0 ⇔ 2x²+x+6≦0 y=2x²+x+6 は判別式 D=1²-4・2・6<0 であるので、グラフは右図のようになる。つまり、この不等式を満たす実数は存在しないので、解はない。

4. 

   移項して整理すると x²-x-6≧2x-4 ⇔ x²-3x-2≧0 x²-3x-2 は簡単には因数分解できないので、

   y=x²-3x-2 の判別式を D とすると D=(-3)²-4・1・(-2)>0

   2次方程式 x²-3x-2=0 の解 x=3±√((-3)²-4・1・(-2))/2 =3±√17/2 2次方程式の解の公式参照

   を利用して x²-3x-2≧0 ⇔ (x-(3-√17)/2) (x-(3+√17)/2)≧0 ⇔ x≦(3-√17)/2, (3+√17)/2≦x が解となる。

5. 

   移項して整理すると -x²-x-9<x-3 ⇔ -x²-2x-6<0 ⇔ x²+2x+6>0 x² の係数は正にした方がよい

   y=x²+2x+6 の判別式 D について D/4=1²-1・6<0 であるので、グラフは右図のようになる。つまり、この不等式は常に正しいので、解はすべての実数。

6. 

   両辺を6倍して整理すると 1/2x²-x-5/3≧2/3x²+1/3x+1 ⇔ 3x²-6x-10≧4x²+2x+6 ⇔ x²+8x+16≦0 ⇔ (x+4)²≦0 y=(x+4)² のグラフを描くと右図のようになる。よって、この不等式の解は x=-4。

1. • 

     まず、(1) を解くと x²-5x-14≧0 ⇔ (x+2)(x-7)≧0 ⇔ x≦-2 , 7≦x 最後の式を (1)' とする。

   • 

     次に、(2) を解くと 2x²-11x-40<0 ⇔ (2x+5)(x-8)<0 ⇔ -5/2<x<8 最後の式を (2)' とする。

   以上 (1)'、(2)' を共通して満たす x は -5/2<x≦-2 , 7≦x<8

   

2. • 

     まず、(3) を解くと 25-9x²>0 ⇔ 9x²-25<0 ⇔ (3x+5)(3x-5)<0 ⇔ -5/3<x<5/3 x² の係数が正になるように両辺に -1 を掛けた

     最後の式を (3)' とする。

   • 

     次に、(4) を解くのだが、これは簡単には因数分解できないので、2次方程式 3x²+4x-6=0 の解 x=(-2±√(2²-3・(-6)))/3 =(-2±√22)/3 x の係数が偶数の場合の解の公式参照

     を利用して 3x²+4x-6<0 ⇔ {x-((-2-√22)/3)} {x-((-2+√22)/3)}<0 ⇔ (-2-√22)/3<x<(-2+√22)/3 最後の式を (4)' とする。

   以上 (3)'、(4)' を共通して満たす x は -5/3<x<(-2+√22)/3

   

   4<√22<5 より

   -2+√22=2.… なので

   (-2+√22)/3=0.…

   -2-√22=-6.… なので

   (-2-√22)/3=-2.…

まず、 x²+y²=1 を変形して

L=x+y²-1 から y を消去することが目的 y²=1-x²1 を L=x+y²-1 に代入し、平方完成すると

最大・最小を求めたいので平方完成する L=x+(1-x²)-1 =-x²+x =-(x-1/2)²+1/4 一方、 において、 y²≧0 なので

条件に2乗などがあるときは範囲に注意する 1-x²≧0 ⇔ (x-1)(x+1)≦0 ∴-1≦x≦1 である。つまり L=f(x)=-(x-1/2)²+1/4 (-1≦x≦1)2

において、L の最大値・最小値を求めればよい。そこで、 のグラフを描けば、右図のようになる。

図から、最大値は f(1/2)=1/4 であり、 x=1/2 を に代入して y=±√3/2 となる。

また、最小値は f(-1)=-2 であり、 x=-1 を に代入して y=0 となる。まとめると

• (x, y)=(1/2, ±√3/2) のとき最大値1/4
• (x, y)=(-1, 0) のとき最小値 -2

1. 1. x²-4≧0 ⇔ (x+2)(x-2)≧0 ⇔ x≦-2 , 2≦x のとき、 |x²-4|=x²-4 なので y=2x-(x²-4) =-x²+2x+4 =-(x-1)²+5
   2. x²-4<0、つまり -2<x<2 のとき、 |x²-4|=-(x²-4) であるので y=2x+(x²-4) =x²+2x-4 =(x+1)²-5

   

   以上i,iiより、グラフは右図のようになる。

2. 1. x²-4x-6≧0、つまり x≦2-√10 , 2+√10≦x のとき、 |x²-4x-6|=x²-4x-6 なので y=x²-4x-6 =(x-2)²-10
   2. x²-4x-6<0、つまり 2-√10<x<2+√10 のとき、 |x²-4x-6|=-(x²-4x-6) なので y=-(x²-4x-6) =-x²+4x+6 =-(x-2)²+10

   

   以上i,iiより、グラフは右図のようになる。

この問の2のグラフは、 y=x²-4x-6 のグラフのうち x 軸より下にある部分を上側へ折り返したものになっている。一般に、 y=|f(x)| のグラフは、 y=f(x) のグラフを描いておき、x 軸より下にある部分を上に折り返すと素早く描くことができる。

1. 1. x²-2x-8≧0、つまり x²-2x-8≧0 ⇔ (x+2)(x-4)≧0 ⇔ x≦-2 , 4≦x1

   

   のとき、与えられた方程式は x²-2x-8=6x+1 ⇔ x²-8x-9=0 ∴x=-1 , 9 の範囲で考えているので、 x=9 2. x²-2x-8<0、つまり

   i の x の範囲以外 -2<x<42 のとき、与えられた方程式は

   x の係数が偶数の場合の解の公式参照 -(x²-2x-8)=6x+1 ⇔ -x²+2x+8=6x+1 ⇔ x²+4x-7=0 ∴x=-2±√11 3<√11<4 より -2+√11=1.…

   の範囲で考えているので、 x=-2+√11

   以上 i,ii より、求める解は x=-2+√11 , 9

2. 1. x²-4x+3≧0、つまり x²-4x+3≧0 ⇔ (x-1)(x-3)≧0 ⇔ x≦1 , 3≦x3

   

   のとき、与えられた方程式は

   2次方程式の解の公式参照 x²-4x+3=2-x ⇔ x²-3x+1=0 ∴x=3±√5/2 √5=2.2360679…

   の範囲で考えているので、 x=(3-√5)/2 2. x²-4x+3<0、つまり

   i の x の範囲以外 1<x<34 のとき、与えられた方程式は

   2次方程式の解の公式参照 -(x²-4x+3)=2-x ⇔ x²-5x+5=0 ∴x=5±√5/2 の範囲で考えているので、 x=(5-√5)/2

   以上 i,ii より、求める解は x=(3-√5)/2 , (5-√5)/2