数学II 第7章 積分法 — 工夫のできる積分計算

∫(x³-2x²)dx =∫x³dx-2∫x²dx =-4∫x²dx =-4[(1/3)x³]0² =-32/3

∫(x⁵+3x⁴+2x-1)dx =∫(x⁵+2x)dx +∫(3x⁴-1)dx =2∫(3x⁴-1)dx =2[(3/5)x⁵-x]0¹ =-4/5

∫(x²-x+1)²dx =∫(x⁴-2x³+3x²-2x+1)dx =∫(-2x³-2x)dx +∫(x⁴+3x²+1)dx =2∫(x⁴+3x²+1)dx =2[x⁵/5+x³+x]0² =164/5

∫(x⁵-4x³+3x²-x+1)dx =∫(x⁵-4x³-x)dx +∫(3x²+1)dx =2∫(3x²+1)dx =2[x³+x]0³ =60

∫(x-α)(x-β)dx =∫(x-α)(x-α+α-β)dx =∫{(x-α)² +(α-β)(x-α)}dx =[1/3(x-α)³ +(α-β)/2(x-α)²]α^β =1/3(β-α)³ +(α-β)/2(β-α)²-0 =1/3(β-α)³-1/2(β-α)³ =-1/6(β-α)³

方程式 f(x)=0 の2解が α , β であるから、因数定理より f(x) は (x-α)(x-β) を因数にもつ。

x² の係数を考え、 f(x)=a(x-α)(x-β) が成り立つ。

解の公式より、2次方程式 3x²-6x-3=0 の解は x=1±√2 なので α=1-√2 , β=1+√2 とおける。これを使って ∫f(x)dx =∫(3x²-6x-3)dx =∫3(x-α)(x-β)dx =3∫(x-α)(x-β)dx =3・{-1/6(β-α)³} =-1/2(β-α)³ =-(1/2){(1+√2) -(1-√2)}³ =-1/2(2√2)³=-8√2

2次方程式 2x²-2x-4=0 の解は、-1 と 2 なので α=-1 , β=2 である。これより ∫f(x)dx =∫(2x²-2x-4)dx =∫2(x-α)(x-β)dx =2・{-1/6(β-α)³} =-1/3{2-(-1)}³ =-9

2次方程式 x²-4x+1=0 の解は、 2±√3 なので α=2-√3 , β=2+√3 である。これより ∫f(x)dx =∫(x²-4x+1)dx =∫(x-α)(x-β)dx =-1/6(β-α)³ =-(1/6){(2+√3) -(2-√3)}³ =-4√3