数学II 第7章 積分法 — 微積分学の基本定理

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前の章で学んだ微分法と、この章で学んでいる積分法には、実は密接な関係がある。この関係を利用すると、定積分の計算がおどろくほど楽に実行できるようになる。ここでは、その関係について学んでいこう。

微積分学の基本定理について

微積分学の基本定理とは

簡単のため以下では

1. f(t)≧0
2. a≦x
3. h>0

として考えていくことにする。

STEP1：∫f(t)dt を x の関数 S(x) と考える

まず、定積分 ∫f(t)dt について考える。

この値は、次の図のように a≦t≦x の区間で y=f(t) と t 軸が囲む面積を表すので、a を定数、x を変数と考えると、この値は x の関数となっている（ x が決まれば面積が決まる）。

そこで ∫f(t)dt=S(x) と表すことにする。

STEP2： S(x+h)-S(x) の図形的意味を考える

このような S(x) を導入すると S(x+h)=∫f(t)dt =（a から x+h までの部分の面積） S(x)=∫f(t)dt =（a から x までの部分の面積） であるから、その差は S(x+h)-S(x) =（太線で囲まれた部分の面積） となる。すなわち S(x+h)-S(x)=∫f(t)dt であり、これは x≦t≦x+h の区間で y=f(t) と t 軸が囲む面積を表している。

STEP3：面積で評価する

ここで、下図のように x≦t≦x+h における f(t) の最大値を M、最小値を m とすると（x を定数とみれば、m や M は h の関数である）、面積を比較することにより m×h≦S(x+h)-S(x) ≦M×h ① が成り立つ（下の図参照）。

STEP4： h→0 の極限を考える

① の辺々を h で割ると m≦(S(x+h)-S(x))/h≦M ② ここで h→0 という極限を考えると、区間 x≦t≦x+h の幅はどんどん狭くなっていき

• 最小値 m→f(x)
• 最大値 M→f(x)

となるので、はさまれた (S(x+h)-S(x))/h も (S(x+h)-S(x))/h→f(x) となる。つまり limh→0(S(x+h)-S(x))/h=f(x) ③ となる。

いま、③ の左辺は関数 S(x) の導関数 (d/dx)S(x) の定義式そのものであるので、③ は (d/dx)S(x)=f(x)、つまり d/dx∫f(t)dt=f(x) を表している。

定積分の基本公式

原始関数とは何か

微分すると f(x) になる関数を、f(x) の原始関数 (primitive function) という。つまり F'(x)=f(x) のとき、F(x) を f(x) の原始関数という。

原始関数は一通りには定まらない。たとえば、x³、 x³+2、 x³-√5 などは微分すると、どれも 3x² となるので、これらはすべて 3x² の原始関数である。任意の定数 A を x で微分すると 0 になるので、一般には x³+A で表されるものすべてが 3x² の原始関数となる。

これから、次のことがいえる。

定積分の基本公式について

さて、∫f(t)dt を x の関数と考えて ∫f(t)dt=F1(x) とおくと、『定積分の性質iii)』より ∫f(t)dt=∫f(t)dt+∫f(t)dt なので ∫f(t)dt=∫f(t)dt-∫f(t)dt =F1(c)-F1(b) ① が成り立つ。

また、『微積分学の基本定理』より (d/dx)F1(x)=d/dx∫f(t)dt=f(x) が成り立つので、F1(x) は f(x) の原始関数である。

ここで、『原始関数どうしの差は定数』であるから、f(x) の原始関数のうち、ある1つを F(x) とすると F1(x)=F(x)+C となる定数 C が存在するので、① の F1(c)-F1(b) について F1(c)-F1(b) =(F(c)+C)-(F(b)+C) =F(c)-F(b) が成り立つ。つまり

§

定理5定積分の基本公式

f(x) の原始関数を F(x) とすると ∫f(t)dt=[F(x)]b^c が成り立つ。ただし、[F(x)]b^c とは F(c)-F(b) のことである。

この公式は次のことを教えてくれる。つまり、定積分 ∫f(t)dt を見たら、「長方形に分割し、面積の総和を求め、極限をとる」といった一連の手続きを踏むのではなく、「微分したら f(x) になる原始関数 F(x) を探し、 F(c)-F(b) を計算すればよい」ということである。

いいかえるならば、定積分 ∫f(t)dt を計算するには、f(t) の原始関数を探せばよい、すなわち微分と逆の操作（積分）をすればよいということである。このことをイメージで表すと、下の図のようになる。

では、実際どれほど楽に定積分の計算ができるようになるのか、『定積分』の節の例題『定義を利用した定積分の計算』を再び取り上げ確認してみよう。