数学II 第7章 積分法 — 微積分学の基本定理

微積分学の基本定理について

微積分学の基本定理とは

簡単のため以下では

1. f(t)≧0
2. a≦x
3. h>0

として考えていくことにする。

STEP1：∫f(t)dt を x の関数 S(x) と考える

まず、定積分 ∫f(t)dt について考える。

この値は、右図のように a≦t≦x の区間で y=f(t) と t 軸が囲む面積を表すので、a を定数、x を変数と考えると、この値は x の関数となっている（ x が決まれば面積が決まる）。

そこで ∫f(t)dt=S(x) と表すことにする。

STEP2： S(x+h)-S(x) の図形的意味を考える

このような S(x) を導入すると S(x+h)=∫f(t)dt =（右図の網掛け部の面積） S(x)=∫f(t)dx =（右図の斜線部の面積） であるから、その差は S(x+h)-S(x) =（太線で囲まれた部分の面積） となる。

STEP3：面積で評価する

ここで、下図のように x≦t≦x+h における f(t) の最大値を M、最小値を m とすると（x を定数とみれば、m や M は h の関数である）、面積を比較することにより m×h≦S(x+h)-S(x) ≦M×h ① が成り立つ（下の図参照）。

STEP4： h→0 の極限を考える

① の辺々を h で割ると m≦(S(x+h)-S(x))/h≦M ② ここで h→0 という極限を考えると、区間 x≦t≦x+h の幅はどんどん狭くなっていき

• 最小値 m→f(x)
• 最大値 M→f(x)

となるので、はさまれた (S(x+h)-S(x))/h も (S(x+h)-S(x))/h→f(x) となる。つまり limh→0(S(x+h)-S(x))/h=f(x) ③ となる。

いま、③ の左辺は関数 S(x) の導関数 d/dxS(x) の定義式そのものであるので、③ は d/dxS(x)=f(x)、つまり d/dx∫f(t)dt=f(x) を表している。

定積分の基本公式

原始関数とは何か

微分すると f(x) になる関数を、f(x) の原始関数 (primitive function) という。つまり F'(x)=f(x) のとき、F(x) を f(x) の原始関数という。

原始関数は一通りには定まらない。たとえば、x³、 x³+2、 x³-√5 などは微分すると、どれも 3x² となるので、これらはすべて 3x² の原始関数である。任意の定数 A を x で微分すると 0 になるので、一般には x³+A で表されるものすべてが 3x² の原始関数となる。

これから、次のことがいえる。

定積分の基本公式について

最終更新: 2026-08-10