数学II 第7章 積分法 — 微積分学の基本定理

微積分学の基本定理について

微積分学の基本定理とは

簡単のため以下では

として考えていくことにする。

STEP1： を の関数 と考える

まず、定積分 について考える。

この値は、右図のように の区間で と 軸が囲む面積を表すので、 を定数、 を変数と考えると、この値は の関数となっている（ が決まれば面積が決まる）。

から までの積分"> そこで と表すことにする。

STEP2： の図形的意味を考える

このような を導入すると であるから、その差は となる。

STEP3：面積で評価する

ここで、下図のように における の最大値を 、最小値を とすると（ を定数とみれば、 や は の関数である）、面積を比較することにより が成り立つ（下の図参照）。

STEP4： の極限を考える

の辺々を で割ると ここで という極限を考えると、区間 の幅はどんどん狭くなっていき

• 最小値
• 最大値

となるので、はさまれた も となる。つまり となる。

注 はさみうちの定理 (squeeze theorem) という。詳しくはFTEXT 数学IIIで学ぶ。

いま、 の左辺は関数 の導関数 の定義式そのものであるので、 は 、つまり を表している。

定積分の基本公式

原始関数とは何か

微分すると になる関数を、 の原始関数 (primitive function) という。つまり のとき、 を の原始関数という。

原始関数は一通りには定まらない。たとえば、、 、 などは微分すると、どれも となるので、これらはすべて の原始関数である。任意の定数 を で微分すると になるので、一般には で表されるものすべてが の原始関数となる。

これから、次のことがいえる。

定積分の基本公式について

元記事: http://www.ftext.org/text/section/133（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08