微積分学の基本定理の練習問題（全4問・解答つき）

1. F(x)=1/4x⁴+C
2. F(x)=3・1/5x⁵+C =3/5x⁵+C
3. F(x)=3・1/3x³+5・1/2x²+2・ x+C =x³+5/2x²+2x+C
4. F(x)=2・1/6x⁶-3・1/3x³ +6・1/2x²-2・x+C =1/3x⁶-x³+3x²-2x+C
5. f(x)=(x-1)(x+3) を展開すると f(x)=x²+2x-3 なので F(x) =1/3x³+2・1/2x²-3・x+C =1/3x³+x²-3x+C
6. f(x)=x²(1-x) を展開すると f(x)=x²-x³ なので F(x)=1/3x³-1/4x⁴+C
7. F(x)=1/5(x-3)⁵×1/1+C =1/5(x-3)⁵+C
8. F(x)=1/5(3x-2)⁵×1/3+C =1/15(3x-2)⁵+C

1. ∫xdx=[1/2x²]0¹ （注） 『定積分の基本公式』 =1/2・1²-1/2・0² =1/2
2. ∫x²dx=[1/3x³]0¹ （注） 『定積分の基本公式』 =1/3・1³-1/3・0³ =1/3
3. ∫x²dx=[1/3x³]1² （注） 『定積分の基本公式』 =1/3・2³-1/3・1³ =(8-1)/3 =7/3
4. ∫x³dx=[1/4x⁴]0¹ （注） 『定積分の基本公式』 =1/4・1⁴-1/4・0⁴ =1/4

1. ∫(x³-2x+1)dx =[1/4x⁴-x²+x]-1² （注） 『定積分の基本公式』 =(4-4+2)-(1/4-1-1) =15/4
2. ∫(4x³+3x²-5x-3)dx =[x⁴+x³-5/2x²-3x]0¹ （注） 『定積分の基本公式』 =(1+1-5/2-3)-0 =-7/2
3. ∫x²(x-3)dx =∫(x³-3x²)dx =[1/4x⁴-x³]1² （注） 『定積分の基本公式』 =(4-8)-(1/4-1) =-13/4
4. ∫(x+1)(x-3)dx =∫(x²-2x-3)dx =[1/3x³-x²-3x]-2¹ （注） 『定積分の基本公式』 =(1/3-1-3) -(-8/3-4+6) =-3
5. ∫(x²+1)dx-∫(x²+1)dx =∫(x²+1)dx+∫(x²+1)dx （注） 『定積分の性質ii)』 =∫(x²+1)dx （注） 『定積分の性質iii)』 =[1/3x³+x]-1² （注） 『定積分の基本公式』 =(8/3+2)-(-1/3-1) =6
6. ∫(x²-2x+1)dx +∫(x²-2x+1)dx =∫(x²-2x+1)dx +∫(x²-2x+1)dx =∫(x²-2x+1)dx （注） 『定積分の性質iii)』 =[1/3x³-x²+x]-2² （注） 『定積分の基本公式』 =(8/3-4+2) -(-8/3-4-2) =28/3
7. ∫(x+1)³dx =[1/4(x+1)⁴]0¹ （注） 『定積分の基本公式』 =4-1/4=15/4
8. ∫1/2(2x-1)⁴dx =[1/5(2x-1)⁵×1/2]-1^1/2 （注） 『定積分の基本公式』 （注） 『多項式の関数の原始関数』ii)より1/2をかける =0-(-243/10)=243/10

f'(x)=x²-x-2=(x+1)(x-2) （注） 『微積分学の基本定理』を使った であるから、f(x) の増減表は次のようになる。

これより、f(x) は x=-1 のとき極大、 x=2 のとき極小となるのがわかる。 f(x)=∫(t²-t-2)dt =[1/3t³-1/2t²-2t]-1^x =1/3x³-1/2x²-2x-7/6 であるから、極大値 f(-1)=0、極小値 f(2)=-9/2。