工夫のできる積分計算の練習問題（全3問・解答つき）
数学II「工夫のできる積分計算」（積分法）の練習問題を3問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます
問題1対称な区間での定積分
次の定積分を求めよ。
- ∫(x³-2x²)dx
- ∫(x⁵+3x⁴+2x-1)dx
- ∫(x²-x+1)²dx
- ∫(x⁵-4x³+3x²-x+1)dx
解答を見る
∫(x³-2x²)dx =∫x³dx-2∫x²dx =-4∫x²dx =-4[1/3x³]0² =-32/3
∫(x⁵+3x⁴+2x-1)dx =∫(x⁵+2x)dx +∫(3x⁴-1)dx =2∫(3x⁴-1)dx =2[3/5x⁵-x]0¹ =-4/5
∫(x²-x+1)²dx =∫(x⁴-2x³+3x²-2x+1)dx =∫(-2x³-2x)dx +∫(x⁴+3x²+1)dx =2∫(x⁴+3x²+1)dx =2[x⁵/5+x³+x]0² =164/5
∫(x⁵-4x³+3x²-x+1)dx =∫(x⁵-4x³-x)dx +∫(3x²+1)dx =2∫(3x²+1)dx =2[x³+x]0³ =60
問題2方程式の解を区間の端点とする積分～その1～
以下の問に答えよ。
- 定積分 ∫(x-α)(x-β)dx を計算せよ。
- 2次関数 f(x) を
f(x)=ax²+bx+c
とおく。このとき、方程式 f(x)=0 の2解を α , β とすると、f(x) は
f(x)=a(x-α)(x-β)
と因数分解されることを示せ。
- 2次関数 f(x) を f(x)=3x²-6x-3 とする。方程式 f(x)=0 の解を α , β (α<β) とするとき、定積分
∫f(x)dx
の値を求めよ。
解答を見る
∫(x-α)(x-β)dx =∫(x-α)(x-α+α-β)dx =∫{(x-α)² +(α-β)(x-α)}dx =[1/3(x-α)³ +(α-β)/2(x-α)²]α^β =1/3(β-α)³ +(α-β)/2(β-α)²-0 =1/3(β-α)³-1/2(β-α)³ =-1/6(β-α)³
方程式 f(x)=0 の2解が α , β であるから、因数定理より f(x) は (x-α)(x-β) を因数にもつ。
x² の係数を考え、 f(x)=a(x-α)(x-β) が成り立つ。
解の公式より、2次方程式 3x²-6x-3=0 の解は
x=1±√2
なので
α=1-√2 , β=1+√2
とおける。これを使って
∫f(x)dx =∫(3x²-6x-3)dx =∫3(x-α)(x-β)dx =3∫(x-α)(x-β)dx =3・{-1/6(β-α)³} =-1/2(β-α)³ =-1/2{(1+√2) -(1-√2)}³ =-1/2(2√2)³=-8√2
問題3方程式の解を区間の端点とする積分～その2～
方程式 f(x)=0 の解を α , β (α<β) とするとき、（1）、（2）それぞれについて、定積分 ∫f(x)dx の値を求めよ。
- f(x)=2x²-2x-4 のとき
- f(x)=x²-4x+1 のとき
解答を見る
2次方程式 2x²-2x-4=0 の解は、-1 と 2 なので
α=-1 , β=2
である。これより
∫f(x)dx =∫(2x²-2x-4)dx =∫2(x-α)(x-β)dx =2・{-1/6(β-α)³} =-1/3{2-(-1)}³ =-9
2次方程式 x²-4x+1=0 の解は、 2±√3 なので
α=2-√3 , β=2+√3
である。これより
∫f(x)dx =∫(x²-4x+1)dx =∫(x-α)(x-β)dx =-1/6(β-α)³ =-1/6{(2+√3) -(2-√3)}³ =-4√3