数学I 第5章 三角比 — 有名角以外の三角比

15°、75°、105°、165°の三角比

15°、75°、90°の三角形を考える

15° に関する三角比を考えるため、まず図のような直角三角形 ABC の AC、AB の長さを求めよう。

ここで、辺 AB 上に点 D を ∠CDB=30° となるようにとると、 ∠DCB=60° であるから、 ∠DCA=75°-60°=15° である。このとき、 ∠DCA=∠DAC=15° となるから、△DCA は二等辺三角形とわかる。

△BCD において、 BC=1 から DB=√3, DC=2 となり、また △DCA は二等辺三角形だったから AD=DC=2 となる。以上より、 AB=2+√3 とわかった。

さらに、直角三角形 ABC に三平方の定理を用いて AC=√(AB²+BC²) =√((2+√3)²+1²) =√(7+4√3+1) =√(8+4√3) ここで、√(8+4√3) の2重根号をはずすと（2重根号参照） √(8+4√3)=√(8+2√12) =√(√6+√2)² =√6+√2 より、 AC=√6+√2 となる。

15°の三角比とその周辺

以上から直角三角形 ABC の3辺の長さは、図のようになる。

これより、15° の三角比は以下のように求められる。 sin15°=CB/AC =1/(√6+√2) =(√6-√2)/(√6+√2)(√6-√2) =(√6-√2)/4 cos15°=AB/CA =(2+√3)/(√6+√2) =(2+√3)(√6-√2)/(√6+√2)(√6-√2) =(2√6-2√2+3√2-√6)/(6-2) =(√6+√2)/4 tan15°=BC/AB =1/(2+√3)=(2-√3)/(2+√3)(2-√3) =2-√3

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定理115° とその周辺の三角比

次の図のような A=15° の直角三角形 ABC において、 ∠DCB=60° となるように点 D をとることにより、各辺の比がわかるので、以下のような三角比の値が求められる。

sin15°=(√6-√2)/4 cos15°=(√6+√2)/4 tan15°=2-√3 sin75°=(√6+√2)/4 cos75°=(√6-√2)/4 tan75°=2+√3 sin105°=(√6+√2)/4 cos105°=-(√6-√2)/4 tan105°=-2-√3 sin165°=(√6-√2)/4 cos165°=-(√6+√2)/4 tan165°=-2+√3

これらの角以外にも、18°、36°、72°、144° などの角も、特殊な三角形を考えることによって三角比を 求めることができる。これらについては 36°、72° などの三角比を参照のこと。

最終更新: 2026-08-10