数学II 第8章本文の補足 II — 多項式の因数を見つけるための定理

多項式の因数を見つけるための定理

因数定理を使って多項式を因数分解するとき、 $f(a)=0$ となる $a$ をあてずっぽうに探すのは大変である。次の定理を知っていると、代入して試すべき数を、はじめから有限個にしぼりこむことができる。

係数 $ai (i=0, 1, 2, \dots, n)$ がすべて整数である多項式

$f(x)=anx^n+an-1x^n-1+\dots+a1x+a0$

に対し、既約分数 $p/q$ が、 $f(p/q)=0$ を満たすとき

$p$ は $a0$ の約数、 $q$ は $an$ の約数

である（ただし、約数には負の数も含めるとする）。

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証明

$f(p/q)=0$ とすると

$an(p/q)^n+an-1(p/q)^n-1+\dots+a1p/q+a0=0$

式全体に $q^n$ をかけ分母を払うと

$anp^n+an-1p^n-1q+\dots+a1pq^n-1+a0q^n=0\dots\dots ①$

一番右の項以外はすべて $p$ でくくることができるので

$p(anp^n-1+an-1p^n-2q+\dots+a1q^n-1)+a0q^n=0 \Leftrightarrow p(anp^n-1+an-1p^n-2q+\dots+a1q^n-1)=-a0q^n\dots ②$

$②$ の左辺は $p$ の倍数であるから、右辺の $a0q^n$ も $p$ の倍数であるが、 $p$ と $q$ は互いに素なので $a0$ が $p$ の倍数となる。

また、 $①$ の一番左の項以外はすべて $q$ でくくることができるので

$anp^n+q(an-1p^n-1+\dots+a1pq^n-2+a0q^n-1)=0 \Leftrightarrow anp^n=-q(an-1p^n-1+\dots+a1pq^n-2+a0q^n-1)\dots ③$

$③$ の右辺は $q$ の倍数であるから、左辺の $anp^n$ も $q$ の倍数であるが、 $p$ と $q$ は互いに素なので $an$ が $q$ の倍数となる。

以上より、 $a0$ は $p$ の倍数、すなわち $p$ は $a0$ の約数であり、 $an$ は $q$ の倍数、すなわち $q$ は $an$ の約数である。

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最終更新: 2026-08-20

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