数学II 第1章式と証明 — 複素数

複素数とその演算

複素数の導入

1次方程式 $3x - 2 = 0$ は整数の範囲に解をもたないが，有理数の範囲では $x=2/3$ という解をもつ．また，2次方程式 $x² = 3$ は有理数の範囲に解をもたないが，実数の範囲では $x=\pm\sqrt3$ という解をもつ．

このように，数の考え方を広げることで，方程式が新しく解をもつ場合がある．

実数の2乗は負にはならないので，2次方程式 $x² = - 3$ は実数の範囲に解をもたない．では，どのように数の考え方を広げれば，この方程式も解をもつだろうか．以下では，そのことについて考えていく．

内側から順に自然数、整数、有理数、実数、複素数という入れ子の枠で数の包含関係が示されている。それぞれの領域に、1や2などの自然数から2-3iなどの複素数まで具体的な例が書かれている。

複素数の定義

2乗すると $- 1$ となる数を新しく考え，それを記号 $i$ で表し，虚数単位(imaginary unit)という．つまり

$i²=-1$

である．実数は2乗しても負にはならないので， $i$ は実数ではない．

さらに， $， a，b$ を実数として $a\oplusbi$ の形に表される数を考え，それを複素数(complex number)という．また， $a⊖bi$ は $a\oplus(-b)i$ のことであると決めるので，やはり複素数である（ $\oplus$ や $⊖$ は\FTEXTだけで使う表記であり，一般的な記号ではない．説明のため一時的にもちいるだけで，後に使わなくなる）．

たとえば

$2\oplus3i , \sqrt2⊖4i , -2/3\oplus\sqrt5i$

などは，どれも複素数である．

複素数 $a\oplusbi$ において， $a$ を実部(real part)， $b$ を虚部(imaginary part)という．

問題1複素数

次の複素数の実部，虚部をいえ．

$\sqrt2\oplus3i$
$1\oplus2i$
$0\oplus0i$
$5⊖\sqrt7i$

解答を見る

実部は $\sqrt2$ ，虚部は $3$
実部は $1$ ，虚部は $2$
実部は $0$ ，虚部は $0$
実部は $5$ ，虚部は $-\sqrt7$

複素数の相等

2つの複素数の実部と虚部がそれぞれ等しいとき，その2つの複素数は等しいという．つまり

定義1複素数の相等

$，，， a，b，c，d$ を実数とする．2つの複素数 $a\oplusbi$ と $c\oplusdi$ が等しいことを

$a\oplusbi=c\oplusdi \Leftrightarrow a=c$ かつ $b = d$

と定義する．

問題2複素数の相等

次の等式を満たす実数 $， x，y$ を求めよ．

$(2x-y)\oplus(6x+2y)i=1\oplus8i$
$(x+2y)\oplus(3x-y)i=0\oplus0i$

解答を見る

$， 2x - y，6x + 2y$ は実数なので，実部と虚部を比較すると

$2x-y=1 6x+2y=8$

これを解くと $x=1, y=1$ となる．
$， x + 2y，3x - y$ は実数なので，実部と虚部を比較すると

$x+2y=0 3x-y=0$

これを解くと $x=0, y=0$ となる．

$， a，b$ を実数とするとき，複素数 $a\oplusbi$ を一文字のギリシア文字で表すことがある．つまり， $α=a\oplusbi$ などと書く．複素数 $α=a\oplusbi$ に対して， $a⊖bi$ を， $α$ と共役(conjugate)な複素数といい， $α$ で表す．

定義2共役な複素数

$， a，b$ を実数とし，複素数 $α$ を $α=a\oplusbi$ とする．このとき， $α$ を

$α=a⊖bi$

と定義する． $α$ と $α$ は共役であるという．

複素数の加法と減法

次に複素数どうしの加法と減法について定義する．

定義3複素数の加法・減法

$，，， a，b，c，d$ を実数とする． 2つの複素数 $と a\oplusbiとc\oplusdi$ の和を

$(a\oplusbi)+(c\oplusdi)=(a+c)\oplus(b+d)i$

差を

$(a\oplusbi)-(c\oplusdi)=(a-c)\oplus(b-d)i$

と定義する．

問題3複素数の加法と減法

次の計算をせよ．

$(1\oplus2i)+(3\oplusi)$
$(3⊖2i)-(4⊖i)$
$(1/2\oplus1/3i)+(1\oplus2/3i)$
$(1\oplus\sqrt2i)-(\sqrt3\oplus2\sqrt2i)$

解答を見る

$(1+3)\oplus(2+1)i=4\oplus3i$
$(3-4)\oplus(-2+1)i=-1⊖i$
$(1/2+1)\oplus(1/3+2/3)i =3/2\oplusi$
$(1-\sqrt3)\oplus(\sqrt2-2\sqrt2)i$ $=(1-\sqrt3)⊖\sqrt2i$

複素数の乗法

次に複素数どうしの乗法について定義する．

定義4複素数の乗法

$，，， a，b，c，d$ を実数とする． 2つの複素数 $a\oplusbi$ と $c\oplusdi$ の積を

$(a\oplusbi)(c\oplusdi)=(ac-bd)\oplus(ad+bc)i$

と定義する．

この計算結果を暗記しようとすると難しい．そこで， $(a\oplusbi)(c\oplusdi)$ の計算の $\oplus$ を $+$ とみなして，普通の文字式の計算と同じように展開していくと覚えやすい．

その際， $i²$ がでてきたら $- 1$ に変えていけばよい．

$(a\oplusbi)(c\oplusdi)$ $=ac+(ad+bc)i+bdi²$ ←普通の文字式のように展開した $=ac+(ad+bc)i-bd$ ← $i²$ を $-1$ に変えた $=(ac-bd)\oplus(ad+bc)i$ ←実部と虚部にまとめた

この計算のやり方は，現時点ではただの記憶法にすぎないが，後に正当化される．

問題4複素数の乗法～その１～

次の計算をせよ．

$(1\oplus2i)(4\oplusi)$
$(1⊖2i)(3⊖i)$
$(1/2⊖i)(1\oplus1/3i)$
$(\sqrt3\oplusi)(\sqrt3⊖i)$

解答を見る

展開して計算していくと

$(1\oplus2i)(4\oplusi) =4+(1+8)i+2i² =4+9i-2 =2\oplus9i$
展開して計算していくと

$(1⊖2i)(3⊖i) =3+(-1-6)i+2i² =3-7i-2 =1⊖7i$
展開して計算していくと

$(1/2⊖i)(1\oplus1/3i) =1/2+(1/6-1)i-1/3i² =1/2-5/6i+1/3 =5/6⊖5/6i$
展開して計算していくと

$(\sqrt3\oplusi)(\sqrt3⊖i) =3+(-\sqrt3+\sqrt3)i-i² =3+0i+1 =4\oplus0i$

問題5複素数の乗法～その２～

複素数 $α$ において， $αα$ の虚部は $0$ になることを証明せよ．

解答を見る

$α=a\oplusbi$ とおくと， $α=a⊖bi$ であるから $αα=(a\oplusbi)(a⊖bi) =a²+(-ab+ab)i-b²i² =(a²+b²)\oplus0i$

複素数の除法

次に複素数どうしの除法について定義する．

定義5複素数の除法

$，，， a，b，c，d$ を実数とする． 2つの複素数 $a\oplusbi$ と $c\oplusdi$ の商を

$a\oplusbic\oplusdi=(ac+bd)/(c²+d²)\oplus(bc-ad)/(c²+d²)i$

と定義する．ただし， $c\neq0$ または $d\neq0$ とする．

乗法の場合と同じように，この計算結果も暗記するのは難しい．そこで， $a\oplusbic\oplusdi$ の計算の $\oplus$ を，やはり $+$ とみなして，文字式と同様の計算をすると覚えやすい．

次の計算にあるように，計算の初めに分母に共役な複素数 $c⊖di$ を，分母と分子にかけ，分母を実数に変えるのがポイントである．

$a\oplusbic\oplusdi$ $=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)$ ←分母と分子に $c-di$ をかけた

$=(ac+(-ad+bc)i-bdi²)/(c²+(-cd+cd)i-d²i²)$ ←普通の文字式のように展開した $=(ac+(-ad+bc)i+bd)/(c²+d²)$ ← $i²$ を $-1$ に変えた $=(ac+bd+(bc-ad)i)/(c²+d²)$ ← $i$ をくくってまとめた $=(ac+bd)/(c²+d²)\oplus(bc-ad)/(c²+d²)i$ ← $i$ を含む項と含まない項に分けた

この計算のやり方も，現時点ではやはり記憶法にすぎないが，後に正当化される．

問題6複素数の除法

次の計算をせよ．

$1\oplusi3\oplus2i$
$1⊖2i2⊖i$
$3\oplusi3⊖i$
$\sqrt2⊖\sqrt3i\sqrt2\oplus\sqrt3i$

解答を見る

分母に共役な複素数を分母子にかけて

$1\oplusi3\oplus2i=(1+i)(3-2i)/(3+2i)(3-2i) =(3+(-2+3)i-2i²)/(9+(-6+6)i-4i²)=(3+i+2)/(9+4) =(5+i)/13=5/13\oplus1/13i$
分母に共役な複素数を分母子にかけて

$1⊖2i2⊖i=(1-2i)(2+i)/(2-i)(2+i) =(2+(1-4)i-2i²)/(4+(2-2)i-i²)=(2-3i+2)/(4+1) =(4-3i)/5=4/5⊖3/5i$
分母に共役な複素数を分母子にかけて

$3\oplusi3⊖i=(3+i)(3+i)/(3-i)(3+i) =(9+(3+3)i+i²)/(9+(3-3)i-i²)=(9+6i-1)/(9+1) =(8+6i)/10=4/5\oplus3/5i$
分母に共役な複素数を分母子にかけて

$\sqrt2⊖\sqrt3i\sqrt2\oplus\sqrt3i=(\sqrt2-\sqrt3i)(\sqrt2-\sqrt3i)/(\sqrt2+\sqrt3i)(\sqrt2-\sqrt3i) =(2+(-\sqrt6-\sqrt6)i+3i²)/(2+(-\sqrt6+\sqrt6)i-3i²) =(2-2\sqrt6-3)/(2+3) =(-1-2\sqrt6i)/5=-1/5⊖2\sqrt6/5i$

$\oplus$ と $+$ を同一視する

⊕ と+ を同一視する

複素数 $a\oplusbi$ は，虚部が $0$ ，すなわち $b = 0$ のとき， $a\oplus0i$ となるが，これを単に $a$ と書き，実数 $a$ のことだと考える．また，実部が $0$ ，すなわち $a = 0$ のとき， $0\oplusbi$ となるが，これを単に $bi$ と書く．特に， $a = 0$ かつ $b\neq0$ のとき， $bi$ を純虚数(pure imaginary)という.

このように決めると

$a\oplusbi$ $=(a+0)\oplus(0+b)i$ ← $a\oplusbi$ を２つの複素数の和で書き換えた $=(a\oplus0i)+(0\oplusbi)$ ← $a\oplus0i$ を $a,0\oplusbi$ を $b$ に書き換えた $=a+bi$

と表せるので，結局 $a\oplusbi$ は $a + bi$ と表してかまわない，つまり $\oplus$ と $+$ は混同させてかまわないことになる．

これから以下では， $\oplus$ はすべて + と表記するようにする． $⊖$ と $-$ も同様である．

暗記1複素数の実数条件と純虚数条件

$α$ を複素数とするとき，次のことを証明せよ．

「 $α$ が実数である」 $\Leftrightarrow α=α$ 「 $α$ が純虚数である」 $\Leftrightarrow α=-α$

解答を見る

$α = a + bi$ とおくと， $α=a-bi$ であるので

$\Leftrightarrow α=α \Leftrightarrow α-α=0 \Leftrightarrow (a+bi)-(a-bi)=0 \Leftrightarrow (a-a)+(b+b)i=0 \Leftrightarrow 0+2bi=0 \Leftrightarrow 2b=0\Leftrightarrow b=0$

以上から， $α = a + 0i$ つまり $α$ は実数である．
$α = a + bi$ とおくと， $α=a-bi$ であるので

$\Leftrightarrow α=-α \Leftrightarrow α+α=0 \Leftrightarrow (a+bi)+(a-bi)=0 \Leftrightarrow (a+a)+(b-b)i=0 \Leftrightarrow 2a+0i=0 \Leftrightarrow 2a=0\Leftrightarrow a=0$

以上から， $α = 0 + bi$ つまり $α$ は純虚数である．

定理6複素数の実数条件と純虚数条件

複素数 $α$ について，次のことがいえる．

「 $α$ が実数である」 $\Leftrightarrow α=α$

「 $α$ が純虚数である」 $\Leftrightarrow α=-α$

複素数の性質

暗記2複素数の性質

複素数 $， α，β$ において

$αβ=0\Leftrightarrow α=0$ または $β = 0$

を証明せよ．

解答を見る

は明らかなので，以下では $\Rightarrow$ を証明する．

$， α = a + bi，β = c + di$ とおく．

$αβ = 0$ の両辺に $α$ をかけて

$ααβ=0 ∴(a-bi)(a+bi)(c+di)=0 \Leftrightarrow (a²+b²)(c+di)=0 \Leftrightarrow (a²+b²)c+(a²+b²)di=0$

よって

$(a²+b²)c=0 (a²+b²)d=0$ (上の式を①，下の式を②とする．)

①となるのは， $a² + b² = 0$ つまり $a = b = 0$ ，または $c = 0$ のときである．

$a = b = 0$ のときは，②も成立．

$c = 0$ のときは， $d = 0$ であれば②が成立．

以上より，( $a = 0$ かつ $b = 0$ )または( $c = 0$ かつ $d = 0$ )，つまり $α = 0$ または $β = 0$ が示せた．

暗記3共役な複素数の性質

$， α，β$ を複素数とするとき，次の等式を証明せよ．

$α+β=α+β$
$α-β=α-β$
$αβ=αβ$
$（ただし，） α/β=α/β （ただし，β\neq0）$

解答を見る

$， α = a + bi，β = c + di$ とおく．

（左辺）

$=(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i =(a+c)-(b+d)i$

（右辺）

$=a+bi+c+di =(a-bi)+(c-di) =(a+c)-(b+d)i$

以上より，（左辺） $=$ （右辺）となる．

（左辺）

$=(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i =(a-c)-(b-d)i$

（右辺）

$=a+bi-c+di =(a-bi)-(c-di) =(a-c)-(b-d)i$

以上より，（左辺） $=$ （右辺）となる．

（左辺）

$=(a+bi)(c+di) =ac+(ad+bc)i+bdi² =(ac-bd)+(ad+bc)i =(ac-bd)-(ad+bc)i$

（右辺）

$=a+bi c+di =(a-bi)(c-di) =ac-(ad+bc)i+bdi² =(ac-bd)-(ad+bc)i$

以上より，（左辺） $=$ （右辺）となる．

（左辺）

$=((a+bi)/(c+di)) =((a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)) =((ac-(ad-bc)i-bdi²)/(c²+(-cd+cd)i-d²i²)) =((ac+bd)/(c²+d²)-(ad-bc)/(c²+d²)) =(ac+bd)/(c²+d²)+(ad-bc)/(c²+d²)i$

（右辺）

$=(a+bi)/(c+di) =(a-bi)/(c-di) =(a-bi)(c+di)/(c-di)(c+di) =(ac+(ad-bc)i-bdi²)/(c²+(cd-cd)i-d²i²) =((ac+bd)+(ad-bc)i)/(c²+d²) =(ac+bd)/(c²+d²)+(ad-bc)/(c²+d²)i$

以上より，（左辺）=（右辺）となる．

負の数の平方根

数の範囲を，いままでみてきたような複素数にまで拡張すれば，負の数の平方根を求めることができる．例として， $- 3$ の平方根を求めてみよう．

$- 3$ の平方根は，方程式 $x² = - 3$ の解である． $i² = - 1$ を利用して

$x²=3i² \Leftrightarrow x²-3i²=0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3i)(x+\sqrt3i)=0 \Leftrightarrow x=\sqrt3i, -\sqrt3i$

つまり， $- 3$ の平方根は $\sqrt3i$ と $-\sqrt3i$ である．一般には次のようにまとめられる．

定義7負の数の平方根

$a > 0$ のとき， $- a$ の平方根は， $\sqrtai$ と $-\sqrtai$ である．

特に， $- 1$ の平方根は $i$ と $- i$ である．

問題7負の数の平方根

次の数の平方根を求めよ．

$- 36$
$- 20$
$-49/81$
$-5/12$

解答を見る

$\pm\sqrt36i=\pm6i$
$\pm\sqrt20i=\pm2\sqrt5i$
$\pm\sqrt(49/81)i=\pm7/9i$
$\pm\sqrt(5/12)i=\pm\sqrt5/2\sqrt3i=\pm\sqrt15/6i$

負の数 $- a$ の平方根のうち， $\sqrtai$ のことを $\sqrt(-a)$ と表す．

定義8負の数の平方根の表し方

$a > 0$ のとき， $\sqrt(-a)=\sqrtai$ とする．

問題8負の数の平方根の計算

次の式を計算せよ．

$\sqrt(-9)+\sqrt(-1)$
$\sqrt(-48)-\sqrt(-75)$
$\sqrt24\sqrt(-18)$
$\sqrt(-2)\sqrt(-8)$
$\sqrt(-15)/\sqrt108$
$\sqrt80/\sqrt(-10)$

解答を見る

$\sqrt(-9)+\sqrt(-1)=3i+i=4i$
$\sqrt(-48)-\sqrt(-75)=4\sqrt3i-5\sqrt3i$

$=-\sqrt3i$
$\sqrt24\sqrt(-18)=2\sqrt6\times3\sqrt2i=12\sqrt3i$
$\sqrt(-2)\sqrt(-8)=\sqrt2i\times2\sqrt2i=4i²=-4$
$\sqrt(-15)/\sqrt108=\sqrt15/6\sqrt3i =\sqrt5/6i$
$\sqrt80/\sqrt(-10)=4\sqrt5/\sqrt10i =-4\sqrt5/\sqrt10i=-2\sqrt2i$

$， a，b$ が実数のとき $\sqrta\sqrtb=\sqrtab , \sqrta/\sqrtb=\sqrt(a/b)$ は一般には成り立たない．このことを，次の例題で確認しておこう．

問題9負の数の根号の計算

次の問いに答えよ．ただし， $a > 0$ かつ $b > 0$ のとき， $\sqrta\sqrtb=\sqrtab$ および $\sqrta/\sqrtb=\sqrt(a/b)$ が成り立つことは使ってよい．

$a < 0$ かつ $b < 0$ のとき， $\sqrta\sqrtb\neq\sqrtab$ であることを証明せよ．
$a > 0$ かつ $b < 0$ のとき， $\sqrta/\sqrtb\neq\sqrt(a/b)$ であることを証明せよ．

解答を見る

(1) $a < 0$ かつ $b < 0$ のとき

（左辺）

$=\sqrta\sqrtb=\sqrt(-(-a))\sqrt(-(-b)) =\sqrt(-a)i\sqrt(-b)i=\sqrt(-a)(-b)i² =-\sqrtab$

$\neq$ （右辺）
(2) $a > 0$ かつ $b < 0$ のとき

（左辺）

$=\sqrta/\sqrt(-(-b))=\sqrta/\sqrt(-b)i =-\sqrta/\sqrt(-b)i=-\sqrt(-a/b)i =-\sqrt(-(-a/b))=-\sqrt(a/b)$

$\neq$ （右辺）

2次方程式の解の公式の拡張

2次方程式の解の公式の拡張について

実数 $，， a，b，c$ を係数にもつ2次方程式

$ax²+bx+c=0$

$①$

を解くことを考える． \FTEXT 数学Iで学んだときには，解を実数の範囲でしか考えていなかったが，ここではより広く複素数の範囲で解を考えることにする．

$①$ を変形していくと

$ax²+bx+c=0 \Leftrightarrow x²+b/ax+c/a=0 \Leftrightarrow (x+b/2a)²-b²/4a²+c/a=0 \Leftrightarrow (x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²$

複素数の範囲では負の数の平方根も求められるので， $b² - 4ac$ の符号が何であっても

$x+b/2a=\pm\sqrt(b²-4ac)/2a$

と表せ， $x=(-b\pm\sqrt(b²-4ac))/2a$ となる．

定理92次方程式の解の公式の拡張

実数 $，， a，b，c$ を係数にもつ2次方程式 $ax² + bx + c = 0$ の解は（ $b² - 4ac$ の値の符号が何であっても）

$x=(-b\pm\sqrt(b²-4ac))/2a$

と表せる．

問題102次方程式の複素数の範囲での解

次の2次方程式を解け．

$2x² + 5x + 1 = 0$
$3x² - 2x + 2 = 0$
$\sqrt2x²+4x+3\sqrt2=0$
$(\sqrt3-1)x²-2x+3\sqrt3+3=0$

解答を見る

2次方程式の解の公式より

$x=(-5\pm \sqrt(5²-4・ 2・ 1))/(2・ 2) =(-5\pm\sqrt17)/4$
2次方程式の解の公式より

$x=(1\pm \sqrt((-1)²-3・ 2))/3 =1\pm\sqrt5i/3$
両辺に $\sqrt2$ を掛けると

$\Leftrightarrow 2x²+4\sqrt2x+6=0 \Leftrightarrow x²+2\sqrt2x+3=0$

であるから，2次方程式の解の公式より

$x=(-\sqrt2\pm\sqrt((\sqrt2)²-1・ 3))/1 =-\sqrt2\pm i$
両辺に $(\sqrt3+1)$ を掛けると

$\Leftrightarrow (\sqrt3-1)(\sqrt3+1)x² -2(\sqrt3+1)x (\sqrt3-1)(\sqrt3+1)x² +(3+3\sqrt3)(\sqrt3+1)=0 \Leftrightarrow 2x²-2(\sqrt3+1)x +3(\sqrt3+1)²=0$

であるから，2次方程式の解の公式より

$x= (\sqrt3+1)/2 \pm\sqrt((\sqrt3+1)²-2・ 3(\sqrt3+1)²)/2 = (\sqrt3+1)/2(1\pm\sqrt5i)$

2次方程式の判別式

2次方程式 $ax² + bx + c = 0$ について，\FTEXT 数学Iでは

$D = b² - 4ac > 0$ のとき，2つの異なる解をもつ．
$D = b² - 4ac = 0$ のとき，重解をもつ．
$D = b² - 4ac < 0$ のとき，解は存在しない．

と学んだが，解を複素数の範囲まで拡張して考えるならば，次のようにまとめられる．

定理102次方程式の判別式

2次方程式 $ax² + bx + c = 0$ の判別式 $D = b² - 4ac$ について

$D = b² - 4ac > 0$ のとき，異なる2つの実数解をもつ．
$D = b² - 4ac = 0$ のとき，重解（実数解）をもつ．
$D = b² - 4ac < 0$ のとき，異なる2つの虚数解をもつ．

となる．

問題11解の判別

次の2次方程式の解を判別せよ．

$x² - 4x + 2a + 1 = 0$
$x² + (a - 1)x - a + 3 = 0$

解答を見る

判別式を $D$ とすると

$D/4=(-2)²-(2a+1)=3-2a$
1. $D/4 > 0$ ，すなわち $a<3/2$ のとき，異なる2つの実数解をもつ．
2. $D/4=0$ ，すなわち $a=3/2$ のとき，重解をもつ．
3. $D/4 < 0$ ，すなわち $a>3/2$ のとき，異なる2つの虚数解をもつ．
判別式を $D$ とすると

$D=(a-1)²-4(-a+3) =a²+2a-11$

$y = a² + 2a - 11$ のグラフは右図のようであるから
1. $D > 0$ ，すなわち $， a<-1-2\sqrt3，-1+2\sqrt3< a$ のとき，異なる2つの実数解をもつ．
2. $D = 0$ ，すなわち $a=-1\pm 2\sqrt3$ のとき，重解をもつ．
3. $D < 0$ ，すなわち $-1-2\sqrt3< a<-1+2\sqrt3$ のとき，異なる2つの虚数解をもつ．

最終更新: 2026-08-09

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質問の内容

数学II 第1章 式と証明 — 複素数

複素数とその演算

複素数の導入

複素数の定義

問題1複素数

複素数の相等

定義1複素数の相等

問題2複素数の相等

定義2共役な複素数

複素数の加法と減法

定義3複素数の加法・減法

問題3複素数の加法と減法

複素数の乗法

定義4複素数の乗法

問題4複素数の乗法～その１～

問題5複素数の乗法～その２～

複素数の除法

定義5複素数の除法

問題6複素数の除法

⊕と+を同一視する

暗記1複素数の実数条件と純虚数条件

定理6複素数の実数条件と純虚数条件

複素数の性質

暗記2複素数の性質

暗記3共役な複素数の性質

負の数の平方根

定義7負の数の平方根

問題7負の数の平方根

定義8負の数の平方根の表し方

問題8負の数の平方根の計算

問題9負の数の根号の計算

2次方程式の解の公式の拡張

2次方程式の解の公式の拡張について

定理92次方程式の解の公式の拡張

問題102次方程式の複素数の範囲での解

2次方程式の判別式

定理102次方程式の判別式

問題11解の判別

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数学II 第1章式と証明 — 複素数

$\oplus$ と $+$ を同一視する