複素数の練習問題（全14問・解答つき）

1. 実部は√2，虚部は3
2. 実部は1，虚部は2
3. 実部は0，虚部は0
4. 実部は5，虚部は-√7

1. 2x − y，6x + 2yは実数なので，実部と虚部を比較すると

   2x-y=1 6x+2y=8

   これを解くと x=1, y=1となる．

2. x + 2y，3x – yは実数なので，実部と虚部を比較すると

   x+2y=0 3x-y=0

   これを解くと x=0, y=0となる．

a，bを実数とするとき，複素数 a⊕biを一文字のギリシア文字で表すことがある． つまり， α=a⊕biなどと書く． 複素数 α=a⊕biに対して， a⊖biを，αと共役(conjugate)な複素数といい， αで表す．

1. (1+3)⊕(2+1)i=4⊕3i
2. (3-4)⊕(-2+1)i=-1⊖i
3. (1/2+1)⊕(1/3+2/3)i =3/2⊕i
4. (1-√3)⊕(√2-2√2)i =(1-√3)⊖√2i

1. 展開して計算していくと

   (1⊕2i)(4⊕i) =4+(1+8)i+2i² =4+9i-2 =2⊕9i

2. 展開して計算していくと

   (1⊖2i)(3⊖i) =3+(-1-6)i+2i² =3-7i-2 =1⊖7i

3. 展開して計算していくと

   (1/2⊖i)(1⊕1/3i) =1/2+(1/6-1)i-1/3i² =1/2-5/6i+1/3 =5/6⊖5/6i

4. 展開して計算していくと

   (√3⊕i)(√3⊖i) =3+(-√3+√3)i-i² =3+0i+1 =4⊕0i

α=a⊕biとおくと， α=a⊖biであるから αα=(a⊕bi)(a⊖bi) =a²+(-ab+ab)i-b²i² =(a²+b²)⊕0i

1. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

   1⊕i3⊕2i=(1+i)(3-2i)/(3+2i)(3-2i) =(3+(-2+3)i-2i²)/(9+(-6+6)i-4i²)=(3+i+2)/(9+4) =(5+i)/13=5/13⊕1/13i

2. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

   1⊖2i2⊖i=(1-2i)(2+i)/(2-i)(2+i) =(2+(1-4)i-2i²)/(4+(2-2)i-i²)=(2-3i+2)/(4+1) =(4-3i)/5=4/5⊖3/5i

3. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

   3⊕i3⊖i=(3+i)(3+i)/(3-i)(3+i) =(9+(3+3)i+i²)/(9+(3-3)i-i²)=(9+6i-1)/(9+1) =(8+6i)/10=4/5⊕3/5i

4. 分母に共役な複素数を分母子にかけて

   √2⊖√3i√2⊕√3i=(√2-√3i)(√2-√3i)/(√2+√3i)(√2-√3i) =(2+(-√6-√6)i+3i²)/(2+(-√6+√6)i-3i²) =(2-2√6-3)/(2+3) =(-1-2√6i)/5=-1/5⊖2√6/5i

1. ±√36i=±6i
2. ±√20i=±2√5i
3. ±√(49/81)i=±7/9i
4. ±√(5/12)i=±√5/2√3i=±√15/6i

負の数 − aの平方根のうち，√aiのことを√(-a)と表す．

1. √(-9)+√(-1)=3i+i=4i

2. √(-48)-√(-75)=4√3i-5√3i

   =-√3i

3. √24√(-18)=2√6×3√2i=12√3i

4. √(-2)√(-8)=√2i×2√2i=4i²=-4

5. √(-15)/√108=√15/6√3i =√5/6i

6. √80/√(-10)=4√5/√10i =-4√5/√10i=-2√2i

a，bが実数のとき √a√b=√ab , √a/√b=√(a/b) は一般には成り立たない．このことを，次の例題で確認しておこう．

1. (1) a < 0かつ b < 0のとき

   （左辺）

   =√a√b=√(-(-a))√(-(-b)) =√(-a)i√(-b)i=√(-a)(-b)i² =-√ab

   ≠（右辺）

2. (2) a > 0かつ b < 0のとき

   （左辺）

   =√a/√(-(-b))=√a/√(-b)i =-√a/√(-b)i=-√(-a/b)i =-√(-(-a/b))=-√(a/b)

   ≠（右辺）

1. 2次方程式の解の公式より

   x=(-5± √(5²-4・ 2・ 1))/(2・ 2) =(-5±√17)/4

2. 2次方程式の解の公式より

   x=(1± √((-1)²-3・ 2))/3 =1±√5i/3

3. 両辺に√2を掛けると

   ⇔ 2x²+4√2x+6=0 ⇔ x²+2√2x+3=0

   であるから，2次方程式の解の公式より

   x=(-√2±√((√2)²-1・ 3))/1 =-√2± i

4. 両辺に(√3+1)を掛けると

   ⇔ (√3-1)(√3+1)x² -2(√3+1)x (√3-1)(√3+1)x² +(3+3√3)(√3+1)=0 ⇔ 2x²-2(√3+1)x +3(√3+1)²=0

   であるから，2次方程式の解の公式より

   x= (√3+1)/2 ±√((√3+1)²-2・ 3(√3+1)²)/2 = (√3+1)/2(1±√5i)

1. 判別式をDとすると

   D/4=(-2)²-(2a+1)=3-2a

   1. D/4 > 0，すなわち a<3/2のとき，異なる2つの実数解をもつ．
   2. D/4=0，すなわち a=3/2のとき，重解をもつ．
   3. D/4 < 0，すなわち a>3/2のとき，異なる2つの虚数解をもつ．

2. 判別式をDとすると

   D=(a-1)²-4(-a+3) =a²+2a-11

   y = a² + 2a – 11のグラフは右図のようであるから

   1. D > 0，すなわち a<-1-2√3，-1+2√3< aのとき，異なる2つの実数解をもつ．
   2. D = 0，すなわち a=-1± 2√3のとき，重解をもつ．
   3. D < 0，すなわち -1-2√3< a<-1+2√3のとき，異なる2つの虚数解をもつ．