数学A 第2章確率 — 確率分布と期待値

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確率変数と確率分布

確率変数とは何か

10本のくじがあり，そこから1本のくじを引くという試行を考える． A賞が当ると1000円，B賞が当ると500円，C賞が当ると100円もらえるものとする．

$賞賞賞賞賞金（円）本数（本）賞A賞B賞C賞賞金（円）1000500100 本数（本）235$

A賞，B賞，C賞の当る確率は，それぞれ $2/10,3/10,5/10$ であるから，賞金と確率の関係は表のようにまとめることができる．

$賞金（円）確率賞金（円）1000500100 確率2/103/105/10$

ここで，1本のくじを引いた結果もらえる賞金を $X$ 円とすれば， $X$ は1000，500，100のどれかの値をとる．このとき， $X$ がどの値をとるかは試行の結果によって決まる．

また， $X=1000$ となるときの確率を $P(X=1000)$ のように書くとすると，これはA賞に当るという事象の確率であるから

$P(X=1000)=2/10$

と書くことができる．他のものも同様にして

$P(X=500)=3/10,P(X=100)=5/10$

と書ける．

一般に，いまの $X$ のように，試行の結果によってその値が定まる変数を確率変数（probability variable）という．確率変数を表すのには，大文字のアルファベット $X,Y,Z$ を使うことが多い．

確率分布とは何か

先程まとめた表

$賞金（円）確率賞金（円）1000500100 確率2/103/105/10$

は，確率変数と，その値となるときの確率の対応を示したものであり，この対応のことを確率分布（probability distribution）という．確率分布を上のように表にしてまとめたものを確率分布表（probability distribution chart）という

確率変数 $X$ が， $x1,x2,x3,\dots,xn$ という値をとる試行での確率分布が

$P(X=xi)=pi (i=1,2,3,\dots,n)$

とすると，確率分布表は

$計 Xx1x2x3\dotsxn計 Pp1p2p3\dotspn1$

となる．

期待値

期待値とは何か

さて，先程のくじ引きにおいて，このくじを1回引くとき，平均していくらの賞金が期待できるかについて考えてみよう．

$X1000500100 P2/103/105/10$

このくじの賞金は総額で

$円本円本円本円 1000円\times2本+500円\times3本+100円\times5本 =4000円$

であるから，くじ1本あたりの賞金は，平均して

$円本円 4000円\div10本=400円$

と考えられる．

この計算の見方を少し変えると（総額= $money$ , くじの本数= $kuzibiki$ とすると）

$確率変数確率確率変数確率確率変数確率 money/kuzibiki =(1000\times2+500\times3+100\times5)/10 =1000確率変数\times2/10確率+500確率変数\times3/10確率+100確率変数\times5/10確率$

と表すこともできる．

一般に，確率変数 $X$ のとり得る値のすべてが

$x1,x2,x3,\dots,xn$

であり，その値をとるときの確率がそれぞれ

$p1,p2,p3,\dots,pn (p1+p2+p3+\dots+pn=1)$

であるとする．つまり，確率分布が $P(X=xi)=pi (i=1,2,3,\dots,n)$ のとき

$x1p1+x2p2+x3p3+\dots+xnpn$

の値を，確率変数 $X$ の期待値（expectation）または平均（mean）といい $E(X)$ と表す．

先程のくじ引きの例では，くじ1本あたりの賞金の平均値が期待値である．

定義1期待値の $E(X)$ の定義

確率分布が $P(X=xi)=pi (i=1,2,3,\dots,n)$ のとき，

期待値 $E(X)$ を

$E(X)=x1p1+x2p2+x3p3+\dots+xnpn$

と定義する．

問題1期待値の計算～その1～

次の1. と2. ではどちらが有利と考えられるか．

さいころを1回振り，（出た目） $\times$ 100円もらえる．
さいころを2回振り，1回でも6の目が出たら1200円もらえる．
と2. それぞれの期待値を求めてから判断する.

解答を見る

もらえる金額を $X$ 円とすると，確率分布は
2回のさいころの結果，出る目の順列は $6Π2=36$ 通りあり，これらは同様に確からしい．このうち，1回でも6の目が出るのは，（数えて）11通りあるので，もらえる金額を $Y$ 円とすると，確率分布は

以上1. と2. の期待値の結果から，

2. の方が有利

と考えられる．

問題2期待値の計算～その2～

次の問いに答えよ．ただし，計算には期待値の定義を使うこと．

1，2，3，4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある．カードを2枚引くとき，そのカードの番号の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ．また，カードの番号の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．
1，2，3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き，その数字の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ．また，数字の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布は次のようになる．
確率変数 $X$ の確率分布は次のようになる．

確率変数の1次式の期待値

確率変数 $X$ のとる値が $x1,x2,\dots,xn$ のとき， $X$ の1次式 $aX+b$ は

$ax1+b,ax2+b,\dots,axn+b$

という値をとる，別の新しい確率変数であると考える．

確率分布を $P(X=xi)=pi (i=1,2,\dots,n)$ とすると， $a\neq0$ ならば

$P(aX+b=axi+b)=P(X=xi)=pi$

が成り立つ．

よって，確率変数 $aX+b$ の期待値 $E(aX+b)$ は

$E(aX+b)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2 +\dots+(axn+b)pn$

となる．

問題3確率変数の１次式の期待値

さいころ投げを1回行い，出た目を確率変数 $X$ とするとき， $E(2X+1)$ を求めよ．

解答を見る

$2X+1$ の確率分布は次のようになる.

$X35791113 P1/61/61/61/61/61/6$

これより

$E(2X+1)=1/6(3+5+7+9+11+13) =8$

$X123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(X)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま，この例題において，確率変数 $2X+1$ の計算の様子をわかりやすくするため

2X+1	2 $・$ 1+1	2 $・$ 2+1	2 $・$ 3+1	2 $・$ 4+1	2 $・$ 5+1	2 $・$ 6+1
P	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$

となおしてから，期待値 $E(2X+1)$ を計算してみると

$の係数でくくれる部分をくくった E(2X+1) = 1/6{ (2・1+1)+(2・2+1)+ (2・3+1)+(2・4+1)+ (2・5+1)+(2・6+1) } = 1/6{2(1+2+3+4+5+6)+6} ↑ Xの係数2でくくれる部分をくくった = 2・1/6(1+2+3+4+5+6)+1 = 2E(X)+1$

つまり， $E(2X+1)=2E(X)+1$ が成り立つ．

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を

$P(X=xi)=pi (i=1,2,\dots,n)$

とする（ $n$ は自然数）このとき

$の係数でくくれる部分をくくった（でもくくった） E(aX+b) =(ax1+b)p1+(ax2+b)p2 +\dots+(axn+b)pn =(ax1p1+bp1)+(ax2p2+bp2) +\dots+(axnpn+bpn) =a(x1p1+x2p2+\dots+xnpn) +b(p1+p2+\dots+pn) （注） Xの係数aでくくれる部分をくくった（bでもくくった） =aE(X)+b$

暗記1確率変数の１次式の期待値

$X$ を確率変数， $a,b$ を定数とするとき

$E(aX+b)=aE(X)+b$

が成り立つことを証明せよ.

解答を見る

$2X+1$ の確率分布は次のようになる.

$X35791113 P1/61/61/61/61/61/6$

これより

$E(2X+1)=1/6(3+5+7+9+11+13) =8$

$X123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(X)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま，この例題において，確率変数 $2X+1$ の計算の様子をわかりやすくするため

2X+1	2 $・$ 1+1	2 $・$ 2+1	2 $・$ 3+1	2 $・$ 4+1	2 $・$ 5+1	2 $・$ 6+1
P	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$

となおしてから，期待値 $E(2X+1)$ を計算してみると

つまり， $E(2X+1)=2E(X)+1$ が成り立つ．

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を

$P(X=xi)=pi (i=1,2,\dots,n)$

とする（ $n$ は自然数）このとき

定理2確率変数の１次式の期待値の公式

$X$ を確率変数， $a,b$ を定数とするとき

$E(aX+b)=aE(X)+b$

が成り立つ．

確率変数の和の期待値

確率変数 $X$ の確率分布が $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ ，確率変数 $Y$ の確率分布が $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ ，となる試行を考える．

$X$ が値 $x$ をとり， $Y$ が値 $y$ をとる確率を $P(X=x,Y=y)$ と書くとし

$P(X=xi,Y=yj)=pij$

とする．

2つの確率変数 $X,Y$ はいろいろな値をとるが，それらを足した値をもまたいろいろな値をとり，この値を別の新たな確率変数と考えることもできる．この新しい確率変数 $Z$ を

$Z=X+Y$

と書くことにする． $Z$ の確率分布表は以下のようになる．

	$y1$	$y2$	$\dots$	$ym$
$x1$	$x1+y1$	$x1+y2$		$x1+ym$	計
$p11$	$p12$		$p1m$	$px1$
$x2$	$x2+y1$	$x2+y2$		$x2+ym$	計
$p21$	$p22$		$p2m$	$px2$
$⋮$					$⋮$

$xn$	$xn+y1$	$xn+y2$		$xn+ym$	計
$pn1$	$pn2$		$pnm$	$pxn$
	計	計		計	計
$py1$	$py2$		$pym$	$1$

このとき， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=(x1+y1)p11+\dots+(x1+ym)p1m +(x2+y1)p21+\dots+(x2+ym)p2m ⋮ +(xn+y1)pn1+\dots+(xn+ym)pnm$

問題4確率変数の和の期待値

硬貨1枚とさいころ1個を投げる試行を考える．硬貨に表が出たときは1，裏が出たときは0を対応させる確率変数を $X$ とする．また，さいころに出た目を確率変数 $Y$ とする． $E(X+Y)$ を求めよ．

解答を見る

$Z=X+Y$ とすると， $Z$ のとる値は1から7までの整数となる．

例えば， $Z=2$ となるのは $X=1,Y=1$ のときか， $X=0,Y=2$ のときであり，これらは排反であるから

$P(Z=2)=P(X=1,Y=1) +P(X=0,Y=2) =2/12$

である．同様にして，計算すると次のようにまとめられる．

$Z1234567 P1/122/122/122/122/122/121/12$

これより， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=1/12(1+2・2+2・3+2・4 +2・5+2・6+7) =4$

となる．

$X01 P1/21/2$ $E(X)=1/2$

$Y123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま，この例題において，確率変数 $X+Y$ の計算の様子をわかりやすくするため

		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$0$	$0+1$	$0+2$	$0+3$	$0+4$	$0+5$	$0+6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

$1$	$1+1$	$1+2$	$1+3$	$1+4$	$1+5$	$1+6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

	計	計	計	計	計	計	計
$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

となおしてから，期待値 $E(X+Y)$ を計算してみると

$E(X+Y) = 1/12{(0+1)+(0+2)+(0+3) +(0+4)+(0+5)+(0+6)} +1/12{(1+1)+(1+2)+(1+3) +(1+4)+(1+5)+(1+6)} = {6・1/12・0+6・1/12・1} +{2・1/12・(1+2+3+4+5+6)} = (1/2・0+1/2・1) +{1/6・(1+2+3+4+5+6)} = E(X)+E(Y)$

つまり， $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ が成り立つ．

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ ，

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ ，とし

$P(X=xi,Y=yj)=pij$

とする．

$X+Y$ の確率分布表は以下のようになる．

	$y1$	$y2$	$\dots$	$ym$
$x1$	$x1+y1$	$x1+y2$		$x1+ym$	計
$p11$	$p12$		$p1m$	$px1$
$x2$	$x2+y1$	$x2+y2$		$x2+ym$	計
$p21$	$p22$		$p2m$	$px2$
$⋮$					$⋮$

$xn$	$xn+y1$	$xn+y2$		$xn+ym$	計
$pn1$	$pn2$		$pnm$	$pxn$
	計	計		計	計
$py1$	$py2$		$pym$	$1$

このとき， $X+Y$ の期待値 $E(X+Y)$ は

$E(X+Y) =(x1+y1)p11+(x1+y2)p12 +\dots+(x1+ym)p1m +(x2+y1)p21+(x2+y2)p22 +\dots+(x2+ym)p2m +\dots +(xn+y1)pn1+(xn+y2)pn2 +\dots+(xn+ym)pnm =x1(p11+p12+\dots+p1m) +x2(p21+p22+\dots+p2m) +\dots +xn(pn1+pn2+\dots+pnm) +y1(p11+p21+\dots+pn1) +y2(p12+p22+\dots+pn2) +\dots +ym(p1m+p2m+\dots+pnm) =(x1px1+x2px2+\dots+xnpxn) +(y1py1+y2py2+\dots+ynpym) =E(X)+E(Y)$

暗記2確率変数の和の期待値

$X,Y$ を確率変数とするとき

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

が成り立つことを証明せよ．

解答を見る

$Z=X+Y$ とすると， $Z$ のとる値は1から7までの整数となる．

例えば， $Z=2$ となるのは $X=1,Y=1$ のときか， $X=0,Y=2$ のときであり，これらは排反であるから

$P(Z=2)=P(X=1,Y=1) +P(X=0,Y=2) =2/12$

である．同様にして，計算すると次のようにまとめられる．

$Z1234567 P1/122/122/122/122/122/121/12$

これより， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=1/12(1+2・2+2・3+2・4 +2・5+2・6+7) =4$

となる．

$X01 P1/21/2$ $E(X)=1/2$

$Y123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま，この例題において，確率変数 $X+Y$ の計算の様子をわかりやすくするため

		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$0$	$0+1$	$0+2$	$0+3$	$0+4$	$0+5$	$0+6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

$1$	$1+1$	$1+2$	$1+3$	$1+4$	$1+5$	$1+6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

	計	計	計	計	計	計	計
$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

となおしてから，期待値 $E(X+Y)$ を計算してみると

つまり， $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ が成り立つ．

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ ，

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ ，とし

$P(X=xi,Y=yj)=pij$

とする．

$X+Y$ の確率分布表は以下のようになる．

	$y1$	$y2$	$\dots$	$ym$
$x1$	$x1+y1$	$x1+y2$		$x1+ym$	計
$p11$	$p12$		$p1m$	$px1$
$x2$	$x2+y1$	$x2+y2$		$x2+ym$	計
$p21$	$p22$		$p2m$	$px2$
$⋮$					$⋮$

$xn$	$xn+y1$	$xn+y2$		$xn+ym$	計
$pn1$	$pn2$		$pnm$	$pxn$
	計	計		計	計
$py1$	$py2$		$pym$	$1$

このとき， $X+Y$ の期待値 $E(X+Y)$ は

定理3確率変数の和の期待値の公式

$X,Y$ を確率変数とするとき

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

が成り立つ．

独立な確率変数の積の期待値

硬貨投げとさいころ投げのように，独立試行では確率変数 $X,Y$ のとる値すべての組 $xi,yj$ に対して

$P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)・ P(Y=yj)$

が成り立つ．

一般に，2つの確率変数 $X,Y$ があって， $X$ のとるすべての値 $x$ と $Y$ のとる値 $y$ に対して

$P(X=x,Y=y)=P(X=x)・ P(Y=y)$

が成り立つとき，確率変数 $X,Y$ は互いに独立（independent）であるという．

問題5独立な確率変数の積の期待値

硬貨1枚とさいころ1個を投げる試行を考える．硬貨に表が出たときは1，裏が出たときは0を対応させる確率変数を $X$ とする．また，さいころに出た目を確率変数 $Y$ とする． $E(XY)$ を求めよ．

解答を見る

$Z=XY$ とすると， $Z$ のとる値は0から6までの整数となる．

例えば， $Z=2$ となるのは $X=1,Y=2$ のときであるから

$P(Z=2)=P(X=1,Y=2)=1/12$

である．同様にして，計算すると次のようにまとめられる．

$Z0123456 P6/121/121/121/121/121/121/12$

これより， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=6/12・0+1/12(1+2+3+4+5+6) =7/4$

となる．

$X01 P1/21/2$ $E(X)=1/2$

$Y123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま，この例題において，確率変数 $XY$ の計算の様子をわかりやすくするため

		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$0$	$0・1$	$0・2$	$0・3$	$0・4$	$0・5$	$0・6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

$1$	$1・1$	$1・2$	$1・3$	$1・4$	$1・5$	$1・6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

	計	計	計	計	計	計	計
$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

となおしてから，期待値 $E(XY)$ を計算してみると

$E(XY)=1/12{(0・1)+(0・2)+(0・3) +(0・4)+(0・5)+(0・6)} +1/12{(1・1)+(1・2)+(1・3) +(1・4)+(1・5)+(1・6)} =1/12・0・(1+2+3+4+5+6) +1/12・1・(1+2+3+4+5+6) =1/12(0+1)(1+2+3+4+5+6) =1/2(0+1) ・1/6(1+2+3+4+5+6) =E(X)・ E(Y)$

つまり， $E(X+Y)=E(X)E(Y)$ が成り立つ．

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ ，

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ ，とすると， $X$ と $Y$ は独立なので

$P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)・ P(Y=yj) =pxipyi$

が成り立つ．

$XY$ の確率分布表は以下のようになる．

	$y1$	$y2$	$\dots$	$ym$
$x1$	$x1y1$	$x1y2$		$x1ym$	計
$px1py1$	$px1py2$		$px1pym$	$px1$
$x2$	$x2y1$	$x2y2$		$x2ym$	計
$px2py1$	$px2py2$		$px2pym$	$px2$
$⋮$					$⋮$

$xn$	$xny1$	$xny2$		$xnym$	計
$pxnpy1$	$pxnpy2$		$pxnpym$	$pxn$
	計	計		計	計
$py1$	$py2$		$pym$	$1$

このとき， $XY$ の期待値 $E(XY)$ は

$E(XY) =(x1y1)px1py1+(x1y2)px1py2 +\dots+(x1ym)px1pym +(x2y1)px2py1+(x2y2)px2py2 +\dots+(x2ym)px2pym +\dots +(xny1)pxnpy1+(xny2)pxnpy2 +\dots+(xnym)pxnpym =x1px1(y1py1+y2py2+\dots+ympym) +x2px2(y1py1+y2py2+\dots+ympym) +\dots +xnpxn(y1py1+y2py2+\dots+ympym) =(x1px1+x2px2+\dots+xnpxn) \times(y1py1+y2py2+\dots+ynpym) =E(X)E(Y)$

暗記3独立な確率変数の積の期待値

$X,Y$ を独立な確率変数とするとき

$E(XY)=E(X)E(Y)$

が成り立つことを証明せよ．

解答を見る

$Z=XY$ とすると， $Z$ のとる値は0から6までの整数となる．

例えば， $Z=2$ となるのは $X=1,Y=2$ のときであるから

$P(Z=2)=P(X=1,Y=2)=1/12$

である．同様にして，計算すると次のようにまとめられる．

$Z0123456 P6/121/121/121/121/121/121/12$

これより， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=6/12・0+1/12(1+2+3+4+5+6) =7/4$

となる．

$X01 P1/21/2$ $E(X)=1/2$

$Y123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま，この例題において，確率変数 $XY$ の計算の様子をわかりやすくするため

		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$0$	$0・1$	$0・2$	$0・3$	$0・4$	$0・5$	$0・6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

$1$	$1・1$	$1・2$	$1・3$	$1・4$	$1・5$	$1・6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

	計	計	計	計	計	計	計
$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

となおしてから，期待値 $E(XY)$ を計算してみると

つまり， $E(X+Y)=E(X)E(Y)$ が成り立つ．

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ ，

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ ，とすると， $X$ と $Y$ は独立なので

$P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)・ P(Y=yj) =pxipyi$

が成り立つ．

$XY$ の確率分布表は以下のようになる．

	$y1$	$y2$	$\dots$	$ym$
$x1$	$x1y1$	$x1y2$		$x1ym$	計
$px1py1$	$px1py2$		$px1pym$	$px1$
$x2$	$x2y1$	$x2y2$		$x2ym$	計
$px2py1$	$px2py2$		$px2pym$	$px2$
$⋮$					$⋮$

$xn$	$xny1$	$xny2$		$xnym$	計
$pxnpy1$	$pxnpy2$		$pxnpym$	$pxn$
	計	計		計	計
$py1$	$py2$		$pym$	$1$

このとき， $XY$ の期待値 $E(XY)$ は

定理4独立な確率変数の積の期待値の公式

$X,Y$ を確率変数とするとき

$E(XY)=E(X)E(Y)$

が成り立つ．

問題6公式を使った期待値の計算

期待値の計算～その２～と同じ問題を，今度は公式を上手に使って解け．

1，2，3，4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある．カードを2枚引くとき，そのカードの番号の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ．また，カードの番号の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．
1，2，3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き，その数字の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ．また，数字の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．

解答を見る

はじめに引いたカードの番号を確率変数 $A$ ，2枚目に引いたカードの番号を確率変数 $B$ とすると $A,B$ の確率分布は次のようになる．
はじめに引くくじの番号を確率変数 $A$ ，2回目に引くくじの番号を確率変数 $B$ とすると， $A,B$ の確率分布は次のようになる．

最終更新: 2026-08-09

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質問の内容

数学A 第2章 確率 — 確率分布と期待値

確率変数と確率分布

確率変数とは何か

確率分布とは何か

期待値

期待値とは何か

定義1期待値の E(X) の定義

問題1期待値の計算～その1～

問題2期待値の計算～その2～

確率変数の1次式の期待値

問題3確率変数の１次式の期待値

暗記1確率変数の１次式の期待値

定理2確率変数の１次式の期待値の公式

確率変数の和の期待値

問題4確率変数の和の期待値

暗記2確率変数の和の期待値

定理3確率変数の和の期待値の公式

独立な確率変数の積の期待値

問題5独立な確率変数の積の期待値

暗記3独立な確率変数の積の期待値

定理4独立な確率変数の積の期待値の公式

問題6公式を使った期待値の計算

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数学A 第2章確率 — 確率分布と期待値

定義1期待値の $E(X)$ の定義