確率分布と期待値の練習問題

Question 1

次の1. と2. ではどちらが有利と考えられるか．
(1) さいころを1回振り，（出た目） × 100円もらえる．
(2) さいころを2回振り，1回でも6の目が出たら1200円もらえる．
(1) と2. それぞれの期待値を求めてから判断する.

Accepted Answer

(1) もらえる金額を X 円とすると，確率分布は
(2) 2回のさいころの結果，出る目の順列は 6Π2=36 通りあり，これらは同様に確からしい．このうち，1回でも6の目が出るのは，（数えて）11通りあるので，もらえる金額を Y 円とすると，確率分布は
以上1. と2. の期待値の結果から，
2. の方が有利
と考えられる．

Question 2

次の問いに答えよ．ただし，計算には期待値の定義を使うこと．
(1) 1，2，3，4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある．カードを2枚引くとき，そのカードの番号の和を確率変数 X として，期待値 E(X) を求めよ． また，カードの番号の積を確率変数 Y として，期待値 E(Y) を求めよ．
(2) 1，2，3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き， その数字の和を確率変数 X として，期待値 E(X) を求めよ． また，数字の積を確率変数 Y として，期待値 E(Y) を求めよ．

Accepted Answer

(1) 確率変数 X の確率分布は次のようになる．
(2) 確率変数 X の確率分布は次のようになる．

Question 3

さいころ投げを1回行い，出た目を確率変数 X とするとき， E(2X+1) を求めよ．

Accepted Answer

2X+1 の確率分布は次のようになる.
X35791113
P1/61/61/61/61/61/6
これより
E(2X+1)=1/6(3+5+7+9+11+13)
=8
（参考） X の確率分布
X123456
P1/61/61/61/61/61/6
E(X)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2
いま，この例題において，確率変数 2X+1 の計算の様子をわかりやすくするため
| 2X+1 | 2 ・ 1+1 | 2 ・ 2+1 | 2 ・ 3+1 | 2 ・ 4+1 | 2 ・ 5+1 | 2 ・ 6+1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
となおしてから，期待値 E(2X+1) を計算してみると
E(2X+1)
= 1/6{ (2・1+1)+(2・2+1)+
(2・3+1)+(2・4+1)+
(2・5+1)+(2・6+1) }
= 1/6{2(1+2+3+4+5+6)+6}
↑ Xの係数2でくくれる部分をくくった
= 2・1/6(1+2+3+4+5+6)+1
= 2E(X)+1
つまり， E(2X+1)=2E(X)+1 が成り立つ．
確率変数 X の確率分布を
P(X=xi)=pi (i=1,2,…,n)
とする（ n は自然数）このとき
E(aX+b)
=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2
+…+(axn+b)pn
=(ax1p1+bp1)+(ax2p2+bp2)
+…+(axnpn+bpn)
=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)
+b(p1+p2+…+pn)
Xの係数aでくくれる部分をくくった
（bでもくくった）
=aE(X)+b

Question 4

X を確率変数， a,b を定数とするとき
E(aX+b)=aE(X)+b
が成り立つことを証明せよ.

Accepted Answer

2X+1 の確率分布は次のようになる.
X35791113
P1/61/61/61/61/61/6
これより
E(2X+1)=1/6(3+5+7+9+11+13)
=8
（参考） X の確率分布
X123456
P1/61/61/61/61/61/6
E(X)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2
いま，この例題において，確率変数 2X+1 の計算の様子をわかりやすくするため
| 2X+1 | 2 ・ 1+1 | 2 ・ 2+1 | 2 ・ 3+1 | 2 ・ 4+1 | 2 ・ 5+1 | 2 ・ 6+1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
となおしてから，期待値 E(2X+1) を計算してみると
E(2X+1)
= 1/6{ (2・1+1)+(2・2+1)+
(2・3+1)+(2・4+1)+
(2・5+1)+(2・6+1) }
= 1/6{2(1+2+3+4+5+6)+6}
↑ Xの係数2でくくれる部分をくくった
= 2・1/6(1+2+3+4+5+6)+1
= 2E(X)+1
つまり， E(2X+1)=2E(X)+1 が成り立つ．
確率変数 X の確率分布を
P(X=xi)=pi (i=1,2,…,n)
とする（ n は自然数）このとき
E(aX+b)
=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2
+…+(axn+b)pn
=(ax1p1+bp1)+(ax2p2+bp2)
+…+(axnpn+bpn)
=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)
+b(p1+p2+…+pn)
Xの係数aでくくれる部分をくくった
（bでもくくった）
=aE(X)+b

Question 5

期待値の計算～その２～と同じ問題を，今度は公式を上手に使って解け．
(1) 1，2，3，4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある．カードを2枚引くとき，そのカードの番号の和を確率変数 X として，期待値 E(X) を求めよ． また，カードの番号の積を確率変数 Y として，期待値 E(Y) を求めよ．
(2) 1，2，3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き， その数字の和を確率変数 X として，期待値 E(X) を求めよ． また，数字の積を確率変数 Y として，期待値 E(Y) を求めよ．

Accepted Answer

(1) はじめに引いたカードの番号を確率変数 A ，2枚目に引いたカードの番号を確率変数 B とすると A,B の確率分布は次のようになる．
(2) はじめに引くくじの番号を確率変数 A ，2回目に引くくじの番号を確率変数 B とすると， A,B の確率分布は次のようになる．

		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$0$	$0+1$	$0+2$	$0+3$	$0+4$	$0+5$	$0+6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

$1$	$1+1$	$1+2$	$1+3$	$1+4$	$1+5$	$1+6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

	計	計	計	計	計	計	計
$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

	$y1$	$y2$	$\dots$	$ym$
$x1$	$x1+y1$	$x1+y2$		$x1+ym$	計
$p11$	$p12$		$p1m$	$px1$
$x2$	$x2+y1$	$x2+y2$		$x2+ym$	計
$p21$	$p22$		$p2m$	$px2$
$⋮$					$⋮$

$xn$	$xn+y1$	$xn+y2$		$xn+ym$	計
$pn1$	$pn2$		$pnm$	$pxn$
	計	計		計	計
$py1$	$py2$		$pym$	$1$

		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$0$	$0・1$	$0・2$	$0・3$	$0・4$	$0・5$	$0・6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

$1$	$1・1$	$1・2$	$1・3$	$1・4$	$1・5$	$1・6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

	計	計	計	計	計	計	計
$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

	$y1$	$y2$	$\dots$	$ym$
$x1$	$x1y1$	$x1y2$		$x1ym$	計
$px1py1$	$px1py2$		$px1pym$	$px1$
$x2$	$x2y1$	$x2y2$		$x2ym$	計
$px2py1$	$px2py2$		$px2pym$	$px2$
$⋮$					$⋮$

$xn$	$xny1$	$xny2$		$xnym$	計
$pxnpy1$	$pxnpy2$		$pxnpym$	$pxn$
	計	計		計	計
$py1$	$py2$		$pym$	$1$

		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$0$	$0+1$	$0+2$	$0+3$	$0+4$	$0+5$	$0+6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

$1$	$1+1$	$1+2$	$1+3$	$1+4$	$1+5$	$1+6$	計
$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$

	計	計	計	計	計	計	計
$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

確率分布と期待値の練習問題（全9問・解答つき）

問題1期待値の計算～その1～

問題2期待値の計算～その2～

問題3確率変数の１次式の期待値

問題4確率変数の和の期待値

問題5独立な確率変数の積の期待値

問題6公式を使った期待値の計算

覚えておきたい事項（3問）

暗記1確率変数の１次式の期待値

暗記2確率変数の和の期待値

暗記3独立な確率変数の積の期待値