FTEXT 数学

数学II 第2章 図形と方程式 — 軌跡と領域

多変数関数と図形の方程式

多変数関数とは何か

変数を2つ以上持つような関数のことを 多変数関数 (multivariable function)という． もし，ある関数がを変数にもつならば，その関数はのように表される．

たとえば，勝ちに3点，引き分けに1点，負けに0点を与えるゲームを考える．

勝った回数を回，引き分けた回数を回とすれば，合計点はの値によって決まるのでの関数である． これをとおけば

1のグラフ

勝った回数()と引き分けの回数()から合計点を決める規則

と求められる．はどちらも変数である．

変数への値の代入は，変数が1つのときと同じように以下のように書く．

この式は，6勝4引き分けならば合計点は22点であることを表している．

問題1多変数関数の表し方
  1. のとき， の値を求めよ．
  2. 1個200円のりんごを個，1個100円のみかんを個買うときの合計金額を円とするとき，をとの式で表せ．
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2変数関数と図形の方程式

FTEXT 数学Iで学んだ放物線や，直線の方程式で学んだ直線，円の方程式で学んだ円 のなどの図形の方程式は，適当な多変数関数をもちいて，方程式

で表すことができる．

たとえば，2変数関数を とおけば，方程式 は

つまり，傾きがで切片がの直線を表す．

もう1例考えてみよう．2変数関数を とおけば，方程式 は

つまり，原点が中心で半径がの円を表す．

定理12変数関数と図形の方程式の関係 §

図形の方程式は，適当な多変数関数をもちいて，方程式

で表せる．

問題22変数関数と図形の方程式

2変数関数がつぎの1.～3.で定義されるとき，方程式 の表す図形を平面上に図示せよ．

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  1. より， となるので，

グラフは図のようになる． 2. より， となるので， グラフは図のようになる． 3. より

となるので，グラフは図のようになる．

図 図 図

軌跡

軌跡とは何か

平面上で，与えられた条件を満たしながら点が動くとき，点の描く図形を， その条件を満たす点の軌跡 (locus)という．

問題32点から等距離にある点の軌跡

座標平面上の2点 から等距離にある点の軌跡を求めよ．

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点の座標をとすると，

より， だから

より，求める軌跡は，直線 である．

図
問題4アポロニウスの円〜その1〜

座標平面上2点 からの距離の比が である点の軌跡を求めよ．

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つまり， だから，

とすると

←座標平面上の2点間の距離

であるから

よって，求める軌跡は，

中心半径の円

である．

図 2点からの距離の比が与えられたときの点の軌跡について，一般に次のことが成り立つ．

定理2アポロニウスの円 §

2点からの距離の比が である点の軌跡は， のとき， 線分を に内分する点と外分する点を直径の両端とする円である． この円をアポロニウスの円 (circle of Apollonius)という．

なお， のときは，2つ上の例題でみたように，線分の垂直二等分線となる．

問題5アポロニウスの円〜その2〜

上のアポロニウスの円〜その1〜の例題を，アポロニウスの円の知識を使って解け．

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線分を に内分する点の座標は

外分する点の座標は

軌跡である円の直径となるの距離は

軌跡である円の中心となるの中点の座標は

よって，求める軌跡は，

中心半径の円

である．

図

条件に動点を含む場合の軌跡

次の例題の点のように，条件に動点を含む場合はその座標をなどとおき計算していく．

問題6条件に動点を含む場合の軌跡

円 と点がある． 点がこの円上を動くとき，線分を に内分する点の軌跡を求めよ．

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点の座標をそれぞれとする．

点は円 上にあるから

点は線分を に内分する点だから

よって， ．これらをに代入すると

←なぜこのような操作を行うのかについては下の本文を参照

よって，求める軌跡は，

中心が半径がの円

である．

図 上の例題の軌跡，つまり点の決まり方は，問題文をそのままに読めば，まず点が決まり次に点が決まるという順序になっている． しかし，このような理解では，無数の点に対して点をプロットすることしかできず，軌跡の一端は垣間見えるものの， 図形の方程式としては求まらない．

そこで，考え方の順序を変え，ある点を考えてみてそれが軌跡上にあるかどうか調べるという方法をとる ． たとえば，点が軌跡上にあるかどうかを調べてみよう． であるから，例題中のにを代入して

を満たさなくてはならない． この式からとは， であることが必要となるが， これらをそもそも円 上にあるので，例題中のを満たさなければならないが， 代入しても

となり満たさないので，点は軌跡に含まれない(満たせば軌跡に含まれる)．

このような作業を具体的な点ではなく，ある点で行うことにより，とが満たす方程式が 得られ軌跡を求めることができる．

このような考え方を使う例題として，もう1問練習してみよう．

注 逆像法や逆手流という俗称もある．

問題72直線の交点の軌跡

2直線 の交点が描く軌跡を求めよ．

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方程式を

上の式を，下の式をとしておく．

  1. のとき，より

これをに代入して

  1. のとき，より が必要だが， これは，で のとき成立する． つまり，点はとの交点である．

以上1)，2)より，求める軌跡は，

中心半径の円

(ただし，点を除く)

となる．

図

領域

領域とは何か

次の2つの条件を考えよう．

条件原点からの距離がである点

条件原点からの距離が以下である点

まず，条件を満たす点の集合は，上図の円周となり， これは条件を満たす点の軌跡といっていた．

次に，条件を満たす点の集合は，下図のように平面的な広がりをもつ． このようなときは，もはや軌跡とはいわず， 条件を満たす点の領域 (domain)という． 領域とそうでない部分を決めるさかい目 を境界 (boundary)という．

図 図

問題8円周を境界とする領域

次の不等式の表す領域を図示せよ．

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  1. 中心が原点で半径がの円の境界と内側を表す．
  2. 中心が原点で半径がの円の外側を表す．
  3. 中心が で半径がの円の内側を表す．

図 図 図

問題9との大小関係がつくる領域

点が次の不等式を満たすとき，点が満たす領域を図示せよ．

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1.2.は直線 が，

3.4.は放物線 が境界になる．

とによる大小関係をまとめると，次の図のようになる．

領域とは何かの図
領域とは何かの図
問題10いろいろな領域

  1. 2つの不等式を同時に満たす領域を，それぞれ図示せよ．

    i) ii) iii)

  2. 領域 を図示せよ．

  3. 不等式 を満たすを座標平面上に図示せよ．

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  1. (i)境界は2直線 であり，2直線の交点はと求められる．

    ←連立方程式

    を解いた． を に代入して

    となり，これを に代入すればよい．

    求める領域は

    直線 より下部

    直線 より下部

    であり境界を含まない．よって，図のようになる．

    いろいろな領域の解答の図その１
    いろいろな領域の解答の図その１

    (ii)境界は放物線 と直線 であり， 交点は と求められる．

    ←連立方程式

    を解いた． に を代入して

    より となるので， それぞれ に代入すればよい．

    は と変形できるので， 求める領域は

    放物線 より下部

    直線 より上部

    であり境界を含まない．よって，図のようになる．

    いろいろな領域の解答の図その２
    いろいろな領域の解答の図その２

    (iii)境界は円 ，直線 であり，交点は と求められる．

    ←連立方程式

    を解いた． を に代入して

    から となり，これを に代入すればよい．

    は と変形できるので，求める領域は

    円 の内側

    直線 より下部

    であり境界を含む．よって，図のようになる．

    いろいろな領域の解答の図その３
    いろいろな領域の解答の図その３

  2. 求める領域は かつ を満たせばよい．つまり

    放物線 より下部

    直線 より上部

    であり境界を含む．

    境界は 放物線 と直線 であり， 交点は となる．

    連立方程式

    を解けばよい．を消去して ，これを解いて ．

    よって，図のようになる．

    いろいろな領域の解答の図その４
    いろいろな領域の解答の図その４

  3. 不等式 が成り立つには

    ←2つの式を掛けて正になるための必要十分条件は，どちらも正か，どちらも負になることである

    または

    が成立することである．それぞれ変形すると

    または

    が成立すればよいと分かり，

    ←それぞれ図示すれば，次の2つのどちらかを満たす領域が求めるものと分かる

    いろいろな領域の解答の図その５
    いろいろな領域の解答の図その５

    どちらの領域も と を境界とし， その交点はとなる．

    よって求める領域は図のように図示できる．

    いろいろな領域の解答の図その６
    いろいろな領域の解答の図その６

領域を利用した証明

FTEXT 数学Aの論理と集合で学んだように，一般に2つの条件について， 条件の真理集合(条件を満たすもの全体の集合)を，条件の真理集合をとすると

「 が真である」

であった．

条件がの不等式で表される場合に，このことをもちいて， が真であることを証明してみよう．

問題11領域を利用した証明

ならば であることを証明せよ．

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連立方程式

を解く． 上の式を，下の式をとすると なので，これをに代入すると

を に代入すると であり，解が1つに定まるので，2円はでお互いに接している． これをもとにそれぞれの領域を描くと，図のようになる．

を満たす領域は全て を満たす領域に含まれるので， 題意は証明された．

図

多変数関数の最大最小

条件を逆にたどる方法

ここでは，2変数関数の最大値や最小値を求める2通りの方法についてみていこう．

条件に動点を含む場合の軌跡で学んだ，条件を逆にたどる方法は，軌跡を求めるだけでなく， 2変数関数の最大値や最小値を求めるときにも有効である． そのことを次の例題で確認しよう．

問題122変数関数の最大最小〜その1〜

が次の4つの不等式を満たすとき，次の問いに答えよ．

  1. 4つの不等式の表す領域を図示せよ．
  2. の最大値と最小値およびそのときのとの値を求めよ．
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  1. 領域を図示すると次のようになる．

    2変数関数の最大最小〜その1〜の図その１
    2変数関数の最大最小〜その1〜の図その１

  2. とおくと，これは傾きが，切片がの直線を表す．この直線が領域と共有点をもつ ようなの値の最大値と最小値を求めればよい．

←なぜこのような操作を行うかについては下の本文参照

次の図より，の値はが点を通るとき最大となり，原点を通るとき最小となる．

2変数関数の最大最小〜その1〜の図その２

よって，は

  のとき，最大値

  のとき，最小値

上の例題での2変数関数の値の決まり方は，問題文をそのままに読めば， まず不等式の領域が決まり，その領域内のを代入してが決まるという順序になっている． しかし，このような理解では，領域内の無数の点に対してを求めなければならなくなる．

そこで，条件に動点を含む場合の軌跡で学んだ方法と同じように，考え方の順序を逆にして， ある値を考えてみて，がその値をとるかどうか調べるという方法をとる．

たとえば，が2をとるかどうかを調べてみよう． が成り立つためには

を満たさなくてはならない．この関係を満たすは，直線 上にあるので，この直線が 領域と共有点をもてば，その点の座標をに代入することによってはをとる．

次の図は領域と直線 を重ねたものである．この図の太線部分のを代入することにより となる．

条件を逆にたどる方法の図
条件を逆にたどる方法の図

このような作業を具体的な値ではなく，ある値で行うことにより，直線 が 領域と共有点をもつ範囲を調べることで，最大値や最小値を求めることができる．

1変数に帰着させる方法

2変数関数の最大値や最小値を求めるときには，まず片方の変数をとりあえず定数として固定し， 1変数の問題として最大値と最小値を求めておき，次に固定していた変数を動かし全体の最大値と最小値を求める， という方法もある．

それを次の例題で確認しよう．

注 予選決勝法という俗称もある

問題132変数関数の最大最小〜その2〜

2変数関数

の最小値を求めよ．

解答を見る

まず，を定数として の場合について考える．

となるから， のとき，最小値 をとる．

←「予選」

次に，を変数とするとき， であるから で最小値となる．

←「決勝」

1変数に帰着させる方法

を定数と考えるということがわかっていれば， と書き換える必要はなく

として最小値を求めてもよい．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/113（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08

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