軌跡と領域の練習問題（全13問・解答つき）

1. g(1, 1)=1²+1²-10=-8 g(3,-1)=3²+(-1)²-10=0 g(-4, t)=(-4)²+t²-10=t²+6
2. s(x, y)=200x+100y

1. f(x, y)=0より、 y = − 3x + 2となるので、

   グラフは図のようになる。

2. f(x, y)=0より、 y = x² − 2xとなるので、 グラフは図のようになる。

3. f(x, y)=0より

   x² +2x+y² -4y=0 ⇔ (x+1)² + (y-2)²=5

   となるので、グラフは図のようになる。

点Pの座標を(x, y)とすると、

AP²=(x+1)²+(y-4)²、 BP²=(x-3)²+(y-2)²

←座標平面上の2点間の距離

AP = BPより、 AP² = BP²だから

(x+1)²+(y-4)² =(x-3)²+(y-2)² ⇔ 2x-y+1=0

より、求める軌跡は、直線 2x-y+1=0である。

AP:BP = 1:2つまり、 2AP = BPだから、

4AP² = BP²

P(x, y)とすると

AP²=(x-1)² +(y-3)² ①

←座標平面上の2点間の距離

BP²=(x-4)² +(y+3)² ②

であるから

4{(x-1)² +(y-3)²} =(x-4)² +(y+3)² ⇔ 4(x²-2x+1) + 4(y² -6y+9) =x² -8x+16+y² +6y+9 ⇔ 3x² +3y² -30y+40-25=0 ⇔ x² +y² -10y +5=0 ⇔ x² +(y-5)²=20

よって、求める軌跡は、

中心(0, 5)半径2√5の円

である。

2点からの距離の比が与えられたときの点の軌跡について、一般に次のことが成り立つ。

線分ABを 1:2に内分する点Mの座標は

((1×2+4×1)/(1+2), (3×2-3×1)/(1+2)) =(2, 1)

外分する点Nの座標は

((1×2+4×(-1))/(-1+2), (3×2-3×(-1))/(-1+2)) =(-2, 9)

軌跡である円の直径となるMNの距離は

√((2+2)²+(1-9)²)=√80=4√5

軌跡である円の中心となるMNの中点の座標は

((2-2)/2, (1+9)/2)=(0, 5)

よって、求める軌跡は、

中心(0, 5)半径2√5の円

である。

点P, Qの座標をそれぞれ(x, y),(X, Y)とする。

点Qは円 x²+y²=4上にあるから

X²+Y²=4 ①

点Pは線分AQを 3:1に内分する点だから

x=(1×4+3X)/(3+1) , y=(1×0+3Y)/(3+1) ②

よって、 X=(4/3)x-4/3,Y=(4/3)y。これらを①に代入すると

←なぜこのような操作を行うのかについては下の本文を参照

((4/3)x-4/3)²+((4/3)y)²=4 ⇔ (x-1)²+y²=9/4

よって、求める軌跡は、

中心が(1, 0)半径が3/2の円

である。

上の例題の軌跡、つまり点Pの決まり方は、問題文をそのままに読めば、まず点Qが決まり次に点Pが決まるという順序になっている。 しかし、このような理解では、無数の点Qに対して点Pをプロットすることしかできず、軌跡の一端は垣間見えるものの、 図形の方程式としては求まらない。

そこで、考え方の順序を変え、ある点P(x, y)を考えてみてそれが軌跡上にあるかどうか調べるという方法をとる 。 たとえば、点P(1, 2)が軌跡上にあるかどうかを調べてみよう。 AP:PQ = 3:1であるから、例題中の②に(1, 2)を代入して

1=(1×4+3X)/(3+1) , 2=(1×0+3Y)/(3+1)

を満たさなくてはならない。 この式からXとYは、 (X, Y)=(0, 8/3)であることが必要となるが、 これらはそもそも円 x² + y² = 4上にあるので、例題中の①を満たさなければならないが、 代入しても

0+(8/3)²≠ 4

となり満たさないので、点(1, 2)は軌跡に含まれない(満たせば軌跡に含まれる)。

このような作業を具体的な点(1, 2)ではなく、ある点(x, y)で行うことにより、xとyが満たす方程式が 得られ軌跡を求めることができる。

このような考え方を使う例題として、もう1問練習してみよう。

方程式を

kx+y+1=0 x-ky-1=0

上の式を①、下の式を②としておく。

1) y≠ 0のとき、②より

k=(x-1)/y (y≠ 0)

これを①に代入して

(x-1)/y・ x +y+1 =0 ⇔ x² -x +y² +y=0 ⇔ (x-1/2 )² +( y+1/2)² =1/2

2) y = 0のとき、②より x = 1が必要だが、 これは、①で k = − 1のとき成立する。 つまり、点(1, 0)はl1とl2の交点である。

なお、1)で求めた円のうち y = 0となる点は(0, 0)と(1, 0)であり、 このうち(1, 0)は2)より交点となるが、(0, 0)は①に代入すると k・ 0+0+1=1≠ 0となり、どのようなkに対してもl1上にないので軌跡から除かれる。

以上1)、2)より、求める軌跡は、

中心(1/2, -1/2)半径1/√2の円

(ただし、点(0, 0)を除く)

となる。

1. x²+y²=4=2²より、中心が原点で半径が2の円の境界と内側を表す。
2. 中心が原点で半径が2の円の外側を表す。
3. 中心が (-1, 2)で半径が√5の円の内側を表す。

1.2.は直線 y=2x+3が、

3.4.は放物線 y=x²が境界になる。

yとf(x)による大小関係をまとめると、次の図のようになる。

1. (i)境界は2直線 y=x+2, y=2x-1であり、2直線の交点は(3, 5)と求められる。

   ←連立方程式

   y=x+2 y=2x-1

   を解いた。 y = x + 2を y = 2x – 1に代入して

   x+2=2x-1 ∴x=3

   となり、これを y = x + 2に代入すればよい。

   求める領域は

   直線 y = x + 2より下部

   直線 y = 2x – 1より下部

   であり境界を含まない。よって、図のようになる。

   

   (ii)境界は放物線 y = x² + 1と直線 x + y − 3 = 0であり、 交点は (-2, 5), (1, 2)と求められる。

   ←連立方程式

   y=x²+1 x+y-3=0

   を解いた。 x + y − 3 = 0に y = x² + 1を代入して

   x+(x²+1) -3=0 ⇔ x²+x-2=0 ⇔ (x+2)(x-1)=0

   より x=-2, 1となるので、 それぞれ y = x² + 1に代入すればよい。

   x + y − 3 > 0は y > − x + 3と変形できるので、 求める領域は

   放物線 y = x² + 1より下部

   直線 y = − x + 3より上部

   であり境界を含まない。よって、図のようになる。

   

   (iii)境界は円 x² + y² = 5、直線 x − y + 1 = 0であり、交点は (1, 2), (-2,-1)と求められる。

   ←連立方程式

   x² +y²=5 x-y+1=0

   を解いた。 x = y – 1を x² + y² = 5に代入して

   (y-1)² + y²=5 ⇔ 2y² -2y -4=0 ⇔ (y-2)(y+1)=0

   から y = 2, − 1となり、これを x = y – 1に代入すればよい。

   0 ≦ x-y+1は y≦ x+1と変形できるので、求める領域は

   円 x² + y² = 5の内側

   直線 y = x + 1より下部

   であり境界を含む。よって、図のようになる。

   

2. 求める領域は x²≦ yかつ y≦ -3x+4を満たせばよい。つまり

   放物線 y = x²より上部

   直線 y = − 3x + 4より下部

   であり境界を含む。

   境界は 放物線 y = x²と直線 y = − 3x + 4であり、 交点は (1, 1), (-4, 16)となる。

   連立方程式

   y=x² y=-3x+4

   を解けばよい。yを消去して x² = − 3x + 4、これを解いて x=-4, 1。

   よって、図のようになる。

   

3. 不等式 (x − y)(x + y − 2) > 0が成り立つには

   ←2つの式を掛けて正になるための必要十分条件は、どちらも正か、どちらも負になることである

   x-y>0 x+y-2>0

   または

   x-y<0 x+y-2<0

   が成立することである。それぞれ変形すると

   y< x y> -x+2

   または

   y>x y<-x+2

   が成立すればよいと分かり、

   ←それぞれ図示すれば、次の2つのどちらかを満たす領域が求めるものと分かる

   

   どちらの領域も y = xと y = − x + 2を境界とし、 その交点は(1, 1)となる。

   よって求める領域は図のように図示できる。

   

連立方程式

(x-1)²+y²=5 x²+(y+2)²=20

を解く。 上の式を①、下の式を②とすると、 ②-①より 2x+4y=12、つまり x = 6 − 2yなので、これを①に代入すると

(6-2y-1)²+y²=5 ⇔ 25-20y+4y²+y²=5 ⇔ (y-2)²=0 ⇔ y=2

y = 2を x = 6 − 2yに代入すると x = 2であり、解が1つに定まるので、2円は(2,2)でお互いに接している。 また、2円の中心(1, 0)と (0,-2)の距離は √((1-0)²+(0+2)²)=√5であり、 これは半径の差 2√5-√5=√5に等しいので、小さい円は大きい円に内接している。 これをもとにそれぞれの領域を描くと、図のようになる。

(x-1)²+y²≦ 5を満たす領域は全て x²+(y+2)²≦20を満たす領域に含まれるので、 題意は証明された。

1. 領域を図示すると次のようになる。

   

2. x + y = k ①とおくと、これは傾きが– 1、y切片がkの直線を表す。この直線①が領域Dと共有点をもつ ようなkの値の最大値と最小値を求めればよい。

   ←なぜこのような操作を行うかについては下の本文参照

   次の図より、kの値は①が点(2, 3)を通るとき最大となり、原点Oを通るとき最小となる。

   

   よって、f(x, y)は

   x=2,y=3のとき、最大値5

   x=0,y=0のとき、最小値0

上の例題での2変数関数f(x, y)の値の決まり方は、問題文をそのままに読めば、 まず不等式の領域Dが決まり、その領域内の(x, y)を代入してf(x, y)が決まるという順序になっている。 しかし、このような理解では、領域D内の無数の点に対してf(x, y)を求めなければならなくなる。

そこで、条件に動点を含む場合の軌跡で学んだ方法と同じように、考え方の順序を逆にして、 ある値kを考えてみて、f(x, y)がその値をとるかどうか調べるという方法をとる。

たとえば、f(x, y)が2をとるかどうかを調べてみよう。 f(x, y)=2が成り立つためには

x+y=2

を満たさなくてはならない。この関係を満たすx,yは、直線 y = − x + 2上にあるので、この直線が 領域Dと共有点をもてば、その点の座標(x, y)をf(x, y)に代入することによってf(x, y)は2をとる。

次の図は領域Dと直線 y = − x + 2を重ねたものである。この図の太線部分の(x, y)を代入することにより f(x, y)=2となる。

このような作業を具体的な値ではなく、ある値kで行うことにより、直線 x + y = kが 領域Dと共有点をもつ範囲を調べることで、最大値や最小値を求めることができる。

まず、kを定数として y = kの場合について考える。

f(x, k)=x²-2xk+2k²-2x+4k+7 =x²-2(k+1)x+2k²+4k+7 ={x-(k+1)}²-(k+1)² +2k²+4k+7 ={x-(k+1)}²+k²+2k+6

となるから、 x=k+1のとき、最小値 k²+2k+6をとる。

←「予選」

次に、kを変数yとするとき、 y² + 2y + 6 = (y + 1)² + 5であるから y=-1 (x=0)で最小値5となる。

←「決勝」