数学I 第4章論理と集合 — 条件の結合

前のセクションでは、ある条件 $p(x)$ を真とする $x$ の集まり、真理集合を学んだ。命題が組み合わされて命題が作れたように、条件の場合にも条件の組み合わせによって、新たに条件を作ることができる。この新たに作られた条件の真理集合は、集合の基礎で学んだ集合と対応させて理解することができる。

条件の「かつ」と「または」

「かつ」の真理集合

定理1条件の「かつ」

2つの条件 $p(x)$ 、 $q(x)$ に対して、「 $p(x),q(x)$ は共に真である」という主張は条件となり

「 $p(x)$ かつ $q(x)$ 」

と書く。

いま、ある条件 $p(x),q(x)$ において、変数 $x$ のとり得る範囲を考え、それを全体集合 $U$ とし、 $p(x),q(x)$ の真理集合をそれぞれ $P,Q$ とする。

命題の「かつ」でみたように、命題 $p(a),q(a) (a\inU)$ が共に真のときに限り、命題「 $p(a)$ かつ $q(a)$ 」は真になるので、条件「 $p(x)$ かつ $q(x)$ 」の真理集合は $P\capQ$ となる。

全体集合 U を表す長方形の中に、集合 P と集合 Q を表す 2 つの円が交わって描かれている。集合 P と集合 Q の共通部分にあたる中央の部分に斜線が引かれている。

「または」の真理集合

定理2条件の「または」

2つの条件 $p(x),q(x)$ に対して、「 $p(x),q(x)$ の少なくとも一方は真である」という主張は条件となり

「 $p(x)$ または $q(x)$ 」

と書く。

いま、ある条件 $p(x),q(x)$ において、変数 $x$ のとり得る範囲を考え、それを全体集合 $U$ とし、 $p(x),q(x)$ の真理集合をそれぞれ $P,Q$ とする。

命題の「または」でみたように、命題 $p(a),q(a) (a\inU)$ が共に偽のときに限り、命題「 $p(a)$ または $q(a)$ 」は偽になるので、それ以外のときを考えて、条件「 $p(x)$ または $q(x)$ 」の真理集合は $P\cupQ$ となる。

全体集合Uを表す長方形の中に、一部が重なる2つの集合PとQの円が描かれている。集合Pと集合Qを合わせた部分全体に斜線が引かれている。

条件の否定

否定の真理集合

定理3条件の否定

条件 $p(x)$ に対して

「 $p(x)$ ではない」

という主張は条件となり、条件 $p(x)$ の否定という。

条件 $p(x)$ の否定は、記号 $p(x)$ で表すこともある。

いま、ある条件 $p(x)$ において、 $x$ のとり得る範囲を考え、それを全体集合 $U$ とし、命題 $p(a) (a\inU)$ が真となるような要素 $a$ の集合、つまり条件 $p(x)$ の真理集合を $P$ とする。

全体集合Uを表す長方形の中に、集合Pを表す円が描かれている。長方形内部のうち円の外側にあたるPの補集合の領域に斜線が引かれ、その領域にPの補集合を表す記号が書かれている。命題の否定でみたように、命題 $p(a)$ が偽のときに命題 $p(a)$ は真になるので、条件 $p(x)$ の真理集合は $P$ の補集合 $P$ となる。

問題1条件の否定

$x,y$ は実数とする。次の条件の否定を答えよ。

$x=1$
$x≧-2$
$x+y>0$
$x$ は無理数である

解答を見る

「 $x$ は $1$ である」の否定は「 $x$ は $1$ ではない」、よって $x\neq1$
「 $x$ は $-2$ 以上である」の否定は「 $x$ は $-2$ 以上ではない」、つまり「 $x$ は $-2$ より小さい」、よって $x<-2$
「 $x$ と $y$ を足したものは $0$ より大きい」の否定は「 $x$ と $y$ を足したものは $0$ より大きくはない」、つまり「 $x$ と $y$ を足したものは $0$ 以下である」、よって $x+y≦0$
「 $x$ は無理数である」の否定は「 $x$ は無理数ではない」、つまり

無理数とは「有理数ではない数」、有理数とは「整数 $a$ と $0$ でない整数 $b$ によって $a/b$ の形で表せる数」である

「 $x$ は有理数である」

条件の「ならば」

「ならば」の真理集合

定理4条件の「ならば」

2つの条件 $p(x),q(x)$ に対して、「もし $p(x)$ が真であるならば、 $q(x)$ は真である」という主張は条件となり

「 $p(x)$ ならば $q(x)$ 」

と書き、記号では $p(x)\Rightarrowq(x)$ と表す。

このとき、初めの条件 $p(x)$ を仮定といい、後の条件 $q(x)$ を結論という。

いま、ある条件 $p(x),q(x)$ において、変数 $x$ のとり得る範囲を考え、それを全体集合 $U$ とし、 $p(x),q(x)$ の真理集合をそれぞれ $P,Q$ とする。

命題の「ならば」でみたように、 $a\inU$ として命題 $p(a)$ が真で命題 $q(a)$ が偽のときに限り命題 $p(a)\Rightarrowq(a)$ は偽になるので、それ以外の場合を考えて、条件 $p(x)\Rightarrowq(x)$ の真理集合は $P\cupQ$ となる。

全体集合Uの中に交わる2つの集合PとQがある。集合Pのうち集合Qに含まれない領域に点aがあり、その白い領域を除く全体が着色されている。

必要条件と十分条件

一般に

A：「全体集合内のすべての $x$ において、 $p(x)\Rightarrowq(x)$ は真となる」

という主張は命題となる。

条件の「ならば」の図のような場合では、白抜きの部分の要素 $a$ では、 $p(a)$ は真、 $q(a)$ は偽だから命題「 $p(a)\Rightarrowq(a)$ 」は偽つまり、命題Aは偽となる。

この要素 $a$ のことを、この命題の反例 (counterexample) という。

しかし、次の図のように、条件 $p(x),q(x)$ の真理集合 $P,Q$ が $P\subseteqqQ$ となる場合には、全体集合内のいかなる要素をとろうとも、 $p(x)\Rightarrowq(x)$ は真となるので、この命題Aは真となる。

全体集合 U を表す長方形の中に集合 Q を表す円があり、その Q の円の中に集合 P を表す円が含まれている。長方形の内部全体には斜線が引かれている。全体集合内のすべての $x$ に対して、 $p(x)\Rightarrowq(x)$ が真であるとき

$q(x)$ は $p(x)$ であるための必要条件 (necessary condition) である
$p(x)$ は $q(x)$ であるための十分条件 (sufficient condition) である

という。

また、全体集合内のすべての $x$ に対して、 $p(x)\Rightarrowq(x)$ と $q(x)\Rightarrowp(x)$ がともに真であるとき

$q(x)$ は $p(x)$ であるための必要十分条件 (necessary and sufficient condition) である

または同値 (equivalence) であるといい、 $p(x)\Leftrightarrowq(x)$ と書く。この場合は、次の図のように真理集合 $P$ と $Q$ は等しく、 $p(x)$ は $q(x)$ であるための必要十分条件でもある。

全体集合 U を表す長方形の中に1つの円が描かれており、その円の上に P=Q と記されている。長方形の内部で円の外側にあたる部分には斜線が引かれている。

問題2必要条件と十分条件

次の四角の中に

(ア) 必要条件であるが十分条件ではない
(イ) 十分条件であるが必要条件ではない
(ウ) 必要十分条件である
(エ) 必要条件でも十分条件でもない

のうち、適当なものを選んで入れよ。

$p(x)$ は $q(x)$ であるための、 $［A］$ $p(x): x²=2x q(x): x=2$
$p(x, y)$ は $q(x, y)$ であるための、 $［B］$ $かつ p(x, y):x≧0かつy≦0 q(x, y):xy≦0$
$p(x, y)$ は $q(x, y)$ であるための、 $［C］$ $かつかつ p(x, y):xy=0かつx+y=0 q(x, y):x=0かつy=0$
$p(x)$ は $q(x)$ であるための、 $［D］$ $p(x):x>0 q(x):x\neq1$

解答を見る

$p(x) \Leftrightarrow x(x-2)=0 \Leftrightarrow x=0\lorx=2$ これより

$p(x),q(x)$ の真理集合をそれぞれ $P,Q$ とすると図のような関係になっている

$p(x)q(x)$ は、逆向きの $q(x)\Rightarrowp(x)$ のことである
- $p(x)\Rightarrowq(x)$ は偽　（反例 $x=0$ ）
- $p(x)q(x)$ は真
となるので、 $［A］$ には(ア)が入る。
積 $xy$ が $0$ 以下になるのは、 $x,y$ の符号が異なるときか、少なくとも一方が $0$ のときだから $q(x, y) \Leftrightarrow (x≧0\landy≦0)\lor(x≦0\landy≧0)$ これより

$p(x, y),q(x, y)$ の真理集合をそれぞれ $P,Q$ とすると図のような関係になっている
- $p(x, y)\Rightarrowq(x, y)$ は真
- $p(x, y)q(x, y)$ は偽　（反例 $x=-1$ かつ $y=1$ など）
となるので、 $［B］$ には(イ)が入る。
$p(x, y)$ に関して、まず $xy=0 \Leftrightarrow x=0\lory=0$ このうち、さらに $x+y=0$ を満たす $x,y$ は $x=0$ かつ $y=0$ である。これより

$p(x, y),q(x, y)$ の真理集合をそれぞれ $P,Q$ とすると図のような関係になっている
- $p(x, y)\Rightarrowq(x, y)$ は真
- $p(x, y)q(x, y)$ は真
つまり、 $p(x, y)\Leftrightarrowq(x, y)$ であるから、 $［C］$ には(ウ)が入る。
$p(x),q(x)$ の真理集合をそれぞれ $P,Q$ とすると図のような関係になっている
- $p(x)\Rightarrowq(x)$ は偽　（反例 $x=1$ ）
- $p(x)q(x)$ は偽　（反例 $x=-1$ など）
となるので、 $［D］$ には(エ)が入る。

最終更新: 2026-08-12

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数学I 第4章 論理と集合 — 条件の結合

条件の「かつ」と「または」

「かつ」の真理集合

定理1条件の「かつ」

「または」の真理集合

定理2条件の「または」

条件の否定

否定の真理集合

定理3条件の否定

問題1条件の否定

条件の「ならば」

「ならば」の真理集合

定理4条件の「ならば」

必要条件と十分条件

問題2必要条件と十分条件

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