数学II 第2章図形と方程式 — 円の方程式

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円の方程式について

円の方程式～平方完成形～

円は，中心と半径を決めればただ1つに定まる．

そこで，座標平面上の点 $(a, b)$ を中心とした半径 $r$ の円 $C$ は，どのような方程式で表されるか考えてみよう．

円 $C$ の周上にある点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると， 2点 $A, P$ 距離は常に $r$ である．座標平面上の2点間の距離で学んだように， $AP=\sqrt((x-a)² +(y-b)²)$ であるから

$が円の周上にある Pが円Cの周上にある \Leftrightarrow AP=r \Leftrightarrow \sqrt((x-a)² +(y-b)²)=r$ $①$

等式 $①$ の両辺は共に正であるので両辺を2乗して，等式

$(x-a)² +(y-b)²=r²$

を得る．

点A(a, b)を中心とする円があり、円周上に点P(x, y)が描かれている。中心Aと点Pは破線で結ばれており、その間の距離がrと示されている。

定理1円の方程式〜平方完成形〜

点 $(a, b)$ を中心とし，半径が $r (>0)$ である円の方程式は

$(x-a)² +(y-b)²=r²$

である．

問題1円の方程式

座標平面上に次のような円があるとき，その方程式をそれぞれ求めよ．

中心 $(3, 2)$ ，半径 $3$
中心 $(-3, 1)$ ，半径 $2$
中心 $(0, - 2)$ ，半径 $\sqrt3$

解答を見る

$(x-3)² + (y-2)² =9$
$(x+3)² + (y-1)² =4$
$x² + (y+2)² =3$

円の方程式～標準形～

中心 $(2, - 1)$ ，半径 $3$ の円の方程式は $(x - 2)² + (y + 1)² = 9$ となるが，この式は

$(x2)² + (y+1)²=9 \Leftrightarrow x² -4x +4 +y² +2y+1 =9 \Leftrightarrow x² +y² -4x +2y -4=0$

と変形することができる．逆に，方程式 $x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0$ は

$x² +y² -4x +2y -4=0 \Leftrightarrow(x² -4x +4)+(y² +2y +1)-4= 4+1 \Leftrightarrow(x2)² +(y+1)² = 9$

と変形し，中心 $(2, 2)$ ，半径 $1$ の円の方程式に一致することがわかる．

一般に方程式 $x² + y² + lx + my + n = 0$ は

$について平方完成について平方完成 x² + y² +lx +my +n=0 \Leftrightarrow (x+l/2)² +(y+m/2)² xについて平方完成 yについて平方完成 =l²/4 + m²/4-n$

と変形できるので， $l²/4 + m²/4-n>0$ であれば，円の方程式を表していることになる．

定理2円の方程式〜標準形〜

$x, y$ についての方程式

$x² + y² +lx +my +n=0$

は， $l²/4 + m²/4-n>0$ のときに円を表す方程式である．

問題2円の方程式〜平方完成形と標準形〜

次の方程式のうち，円の方程式を表すものについては中心と半径を求めよ．

$x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0$
$x² + y² - 6y + 1 = 0$
$x² + y² - 3x + 5 = 0$
$x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0$

解答を見る

与式の左辺を平方完成すると

$(x1)²+(y+2)²=4$

となるので，

中心は

$(1,-2)$ ,

半径は

$2$ .
与式の左辺を平方完成すると

$x²+(y+3)²=8$

となるので，

中心は

$(0,-3)$ ,

半径は

$2\sqrt2$ .
与式の左辺を平方完成すると

$(x-32)²+y²=-11/4$

となるので，この方程式は円を表さない．
与式の左辺を平方完成すれば

$(x+2)²+(y+2)²=0$

となるので，この方程式は円を表さない．

←この方程式を満たす必要十分条件は， $x + 2 = 0,y + 2 = 0$ であるので， $(x, y)=(-2,-2)$ のみが方程式を満たす．つまり，方程式 $x² + 4x + y² + 4y + 8 = 0$ のグラフは，「点 $( - 2, - 2)$ 」となる．

円の方程式の決定

中心や半径の条件が与えられた円の方程式

問題3円の方程式の決定〜その1〜

半径が $3$ であり， $x$ 軸， $y$ 軸の両方に接する円はいくつあるか．また，それぞれの方程式を求めよ．
中心が直線 $x = 2$ 上にあり， $A(3, 2),B(0, 3)$ を通る円の方程式を求めよ．
中心が直線 $y = x$ 上にあり， $P(1, 3),Q(-2, 1)$ を通る円の方程式を求めよ．

解答を見る

図のように考えれば，円が

4つ

あることが分かる．

中心は $(\pm 3, \pm3)$ であるので

$(x+3)² +(y+3)²=9, (x+3)² +(y-3)²=9, (x-3)² +(y+3)²=9, (x-3)² +(y-3)²=9$

が求める方程式になる．
与えられた円の方程式は $(x - 2)² + (y - b)² = r²$ とおくことができる．

$A$ を通ることから~~ $(3-2)²+(2-b)² =r²$

$B$ を通ることから~~ $(0-2)²+(3-b)² =r²$

である．これらを整頓して，連立方程式

$b² -4b+5=r² b²-6b+13=r²$

を得る．上の式を $①$ ，下の式を $②$ すると、 $－ ①－②$ から $2b - 8 = 0$ なので $b=4$ ．

← $①$ の $r²$ に $②$ を代入すると考えてもよい．

$②$ に代入すれば $r² = 5$ であるので，求める円の方程式は $(x2)² +(y-4)²=5$ となる．
与えられた円の方程式は $(x - a)² + (y - a)² = r²$ とおくことができる．

←中心は直線 $y = x$ 上にあるので，中心の $x$ 座標を $a$ とおくと $y$ 座標も $a$ になる．

$A$ を通ることから~~ $(1-a)² + (3-a)² =r²$

$B$ を通ることから~~ $(-2-a)² +(1-a)² =r²$

である．これらを整頓して，連立方程式

$2a² -8a+10=r² 2a²+2a+5=r²$

を得る．上の式を $③$ ，下の式を $④$ とすると、 $－ ③－④$ から $- 10a + 5 = 0$ なので $a=-1/2$ ．

← $③$ の $r²$ に $④$ を代入すると考えてもよい．

$④$ に代入すれば $r²=9/2$ であるので，求める円の方程式は $(x+1/2)² +(y+1/2)²=9/2$ となる．

座標平面上に、x軸とy軸の両方に接する等しい大きさの4つの円が、各象限に1つずつ配置されている。接点はx軸およびy軸上の3と-3の位置にあり、4つの中心を結ぶ点線が描かれている。

与えられた3点を通る円の方程式

どんな三角形も，外接円はただ1つに定まった．これは，(同一直線上にない)3点を通る円周がただ1つに定まることを意味する．

円の内部に、3つの頂点がすべてその円周上にある1つの三角形が描かれている。頂点の記号や座標軸、円の中心などの書き込みはない。

問題4円の方程式〜その2〜

$A(3, 0),B(0,-2),C(-2, 1)$ の3点を通る円の方程式を求めよ．
$A(3, 1),B(4,-4),C(-1,-5)$ とする． $△ABC$ の外接円の中心と半径を求めよ．

解答を見る

求める円の方程式を $x² + y² + lx + my + n = 0$ とおく．

$A$ を通ることから

$3² + 0² + l ・ 3+ m・ 0 +n=0$

$B$ を通ることから

$0² + (-2)² + l・ 0 + m・ (-2) +n=0$

$C$ を通ることから

$(-2)² + 1² + l・ (-2) + m・ 1 +n=0$

である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

$3l +n=-9 -2m+n=-4 -2l+m+n=-5$

上の式から順に $①$ , $②$ , $③$ とする

← $②+2\times③$ より

$-2m+n=-4 +)-4l+2m+2n=-10 -4l+3n=-14$

$②'$

$3\times①-②'$ より $13l = -13$ となって $l = - 1$ ． $②,①$ から $m, n$ を求めればよい

これを解いて $(l, m, n)=(-1,-1,-6)$ ．よって，求める方程式は $x² +y²-x -y-6=0$ である．
$△ABC$ の外接円は3点 $，， A，B，C$ を通る円に一致する．その方程式を $x² + y² + lx + my + n = 0$ とおく．

$A$ を通ることから

$3² + 1² + l ・ 3+ m・ 1 +n=0$

$B$ を通ることから

$4² + (-4)² + l・ 4 + m・ (-4) +n=0$

$C$ を通ることから

$(-1)² + (-5)² + l・ (-1) + m・ (-5) +n$ $=0$

である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

$3l+m+n=-10 4l-4m+n=-32 -l-5m+n=-26$

上の式から順に $④$ , $⑤$ , $⑥$ とする

← $④-⑤$ より

$3l+m+n=-10 -)4l-4m+n=-32 -l+5m=22$

$④'$

$⑤-⑥$ より

$4l-4m+n=-32 -)-l-5m+n=-26 5l+m=-6$

$⑤'$

\href{#eq-ennohouteishiki-sono2-44}{\enclose{circle}{4}'}と\href{#eq-ennohouteishiki-sono2-55}{\enclose{circle}{5}'}を連立して $(l, m)=(-2, 4)$ ．\href{#eq-ennohouteishiki-sono2-4}{\enclose{circle}{4}}から $n = - 8$ ．

これを解いて $(l, m, n)=(-2, 4,-8)$ ．よって， $△ABC$ の外接円の方程式は

$x²+y² -2x+4y-8=0$ ．

平方完成型に変形すると $(x - 1)² + (y + 2)² = 13$ となり，

←中心と半径を求めるため平方完成型に変形

$△ABC$ の外接円の中心は $(1, - 2)$ ，半径は $\sqrt13$ である．

【2.の別解（略解）】

←もちろん1.も同じようにして解くことができる．

外接円の中心を $O(x, y)$ とすると， $OA = OB = OC$ であるので

$\sqrt((x-3)² +(y-1)²) =\sqrt((x-4)² +(y+4)²) \sqrt((x-3)² +(y-1)²) =\sqrt((x+1)² +(y+5)²)$

これを解いて $(x, y)=(1,-2)$ ，外接円の半径は $OA=\sqrt(2² +(-3)²)=\sqrt13$ ．

円と直線の関係

円と直線の交点

円と直線の交点について，グラフの交点の座標と連立方程式の実数解は一致する．

問題5円と直線の共有点の座標

座標平面上に円 $C:x²+y²=5$ があるとき，以下の問いに答えよ．

直線 $l1:x+y=3$ と円 $C$ の共有点があれば，すべて求めよ．
直線 $l2:x+y=4$ と円 $C$ の共有点があれば，すべて求めよ．

解答を見る

直線 $l1$ と円 $C$ の共有点は，連立方程式

$x+y=3 x²+y²=5$

の解に一致する．上の式を $①$ ，下の式を $②$ とするとき， $①$ より $y = 3 - x$ であるので，これを $②$ に代入すれば

$x²+(3-x)²=5 \Leftrightarrow 2x² -6x+9=5 \Leftrightarrow x² -3x+2=0$

これを解いて $x=1, 2$ ． $①$ より，求める共有点の座標は $(2, 1), (1, 2)$ ．

← $①$ に代入して $y$ を解く． $x=1$ のとき $， y=2，x=2$ のとき $y=1$ となる．
直線 $l2$ と円 $C$ の共有点は，連立方程式

$x+y=4 x²+y²=5$

の解に一致する．上の式を $③$ ，下の式を $④$ とするとき， $③$ より $y = 4 - x$ であるので，これを $④$ に代入すれば

$x²+(4-x)²=5 \Leftrightarrow 2x² -8x+11=0$ $⑤$

となる．2次方程式 $⑤$ の判別式を $D$ とすると

$D/4=4² -2・ 11=-6<0$

であるので， $⑤$ は実数解を持たない．つまり，

$l2$ と $C$ は共有点を持たない．

← $⑤$ は実数解を持たないことは，連立方程式 $③$ ， $④$ は実数解を持たないことになるため．

座標平面上の円を図形的に考える

図形に置き換えて考えると，円と直線の関係は「直線と円の中心の距離」で決まる．この視点から考えると，次のように考えることができる．

暗記1円と直線の共有点の個数

座標平面上の円 $C:x²+y²=5$ と直線 $l:x+y=k$ が，共有点を持つような実数 $k$ の範囲を求めたい．以下の $［?］$ に入る式・言葉・値を答えよ．

直線 $l$ と円 $C$ の共有点は，連立方程式 $［A］$ の実数解に一致する．つまり，この連立方程式が $［B］$ ような $k$ の範囲を求めればよい．

連立方程式 $［A］$ から $y$ を消去し， $x$ の2次方程式 $［C］$ を得る．

この2次方程式が実数解を持つことから，不等式 $［D］$ を得る．

これを解いて，求める $k$ の範囲は $［E］$ と分かる．
条件「直線 $l:x+y=k$ が円 $C$ と共有点を持つ」は

条件「直線 $l:x+y=k$ と円 $C$ の中心の距離が， $［F］$ 以下である」

と必要十分条件である．

直線 $l$ と円 $C$ の中心 $(0, 0)$ の距離は $［G］$ であるので不等式 $［H］$ を得る．これを解いて，求める $k$ の範囲は $［E］$ と分かる．

解答を見る

$［A］:$ $x+y=k x²+y²=5$

$［B］:$ 実数解を持つ

$［C］: x²+(k-x)²=5$ $(\Leftrightarrow 2x² -2kx+k²-5=0)$

← $［A］$ より上の式を変形すると， $y = k - x$ なので，それを下の式に代入すればよい

$［D］:D/4=k² -2(k²-5)≧ 0$ $(\Leftrightarrow -k²+10≧ 0)$

←実数解を持つ~ $\Leftrightarrow$ ~(判別式) $≧ 0 D=(2k)² -4・ 2・ (k²-5)≧ 0$ でもよい

$［E］:-\sqrt10≦ k ≦ \sqrt10$

$［F］: \sqrt5$ (または円 $C$ の半径)

$［G］:(|-k|)/\sqrt(1²+1²)(=|k|/\sqrt2)$

←直線 $x + y - k = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離を 点と直線の距離で計算

$［H］:|k|/\sqrt2 ≦ \sqrt5 (\Leftrightarrow |k| ≦\sqrt10)$

定理3「円と直線の共有点」について

円 $(x-p)² + (y-q)²=r²$ と直線 $ax+by+c=0$ を考えるとき

円 $(x-p)² + (y-q)²=r²$ と直線 $ax+by+c=0$ の共有点の個数

方程式 $ax+by+c=0$ と $(x-p)² + (y-q)²=r²$ を連立して得られる2次方程式の判別式 $D$

円の中心 $(p, q)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d=(|ap + bq +c|)/\sqrt(a² + b²)$

について，次のようにまとめることができる．

円と直線の共有点の個数		2個
円と直線の位置関係

連立方程式の判別式 $D$		$D > 0$
$(p,q)$ と直線の距離 $d$		$d < r$

円と直線の共有点の個数		1個
円と直線の位置関係

連立方程式の判別式 $D$		$D = 0$
$(p,q)$ と直線の距離 $d$		$d = r$

円と直線の共有点の個数		0個
円と直線の位置関係

連立方程式の判別式 $D$		$D < 0$
$(p,q)$ と直線の距離 $d$		$d > r$

問題6円が切り取る線分の長さ

円 $C:x²+y²=6$ と直線 $l:x+2y=k$ が2点 $， A，B$ で交わり， $AB = 2$ であるとき， $k$ の値を求めたい．以下の $［?］$ に入る式・言葉・値を答えよ．

図のように，円の中心を $O$ とし， $O$ から直線 $x+2y=k$ へ下ろした垂線の足を $H$ とおく．このとき， $OA=［A］, AH=［B］$ であるので，三平方の定理より， $OH=［C］$ ．

ところで， $OH$ の長さは，点 $O$ と直線 $［D］$ の距離に一致するので，点と直線の距離より

$OH=［E］$

よって，方程式 $［E］=［C］(=OH)$ を解けば， $k=［F］$ と求められる．

座標平面上に原点Oを中心とする円と直線x+2y=kがあり、その2つの交点をA、Bとする。原点Oから線分ABに下ろした垂線の足HとOを結ぶ線分OHが点線で描かれている。

解答を見る

$［A］:\sqrt6$

$［B］:1/2AB=1$

$［C］:\sqrt((\sqrt6)² -1²)=\sqrt5$

$［D］:$ (直線) $x+2y=k$

$［E］:(|0 +2・ 0 -k|)/\sqrt(1²+2²)=|k|/\sqrt5$

←直線 $x + 2y - k = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離を点と直線の距離で計算

$［F］:|k|/\sqrt5=\sqrt5 \Leftrightarrow |k|=5$ ，つまり， $k=\pm 5$ ．

円の接線

円周上の点から引いた接線の方程式

簡単のため，円 $C$ の中心が原点 $O(0, 0)$ にあるときを考えよう．図のように考えて，円周上の点 $P$ で $C$ に接する直線は1本しか存在しないことが分かる．

次の例題で確認してみよう．

座標平面上の原点Oを中心とする円と、第1象限の円周上にある点Pが示されている。右側では、その点Pで円に接する1本の直線が描かれている。

問題7円周上の点から引いた接線の方程式〜その1〜

円 $C:x²+y²=25$ の周上の点 $P(3, 4)$ を接点とする接線を $l$ とする．

接線 $l$ が線分 $OP$ と直交することから， $l$ の傾きを求めよ．
$l$ の方程式を求めなさい．

座標平面上に原点Oを中心とする円Cがある。第一象限の円周上にある点P(3, 4)において、円Cに接する直線lが右下がりに描かれている。

解答を見る

線分 $OP$ の傾きは $(4-0)/(3-0)=4/3$ ．

接線 $l$ と線分 $OP$ が直交するので， $l$ の傾きは $-3/4$

←( $OP$ の傾き) $\times$ ( $l$ の傾き) $= - 1$
$l$ は $P(3, 4)$ を通り傾き $-3/4$ の直線であるので

$y-4=-3/4(x-3) \Leftrightarrow 4y-16=-3x+9 \Leftrightarrow 3x + 4y=25$

一般に，円 $(x - a)² + (y - b)² = r²$ の周上の点 $P(p, q)$ を接点とする接線 $l$ の方程式はどうなるだろうか． $O(a, b)$ とすると，接線 $l$ は線分 $OP$ と直交し，線分 $OP$ の傾きは $(q-b)/(p-a)$ であるので，

$(q-b)/(p-a)\times$ (直線 $l$ の傾き) $=-1 \Leftrightarrow$ (直線 $l$ の傾き) $=-(p-a)/(q-b)$

となる．よって， $l$ は $(p, q)$ を通り傾き $-(p-a)/(q-b)$ の直線と分かるので

$y-q=-(p-a)/(q-b)(x-p) \Leftrightarrow (q-b)(y-q) =-(p-a)(x-p) \Leftrightarrow (q-b)(y-b+b-q) =-(p-a)(x-a+a-p) \Leftrightarrow (q-b)(y-b)+(q-b)(b-q) =-(p-a)(x-a)-(p-a)(a-p) \Leftrightarrow (p-a)(x-a)+(q-b)(y-b) =(p-a)²+(q-b)²$

となる．ここで， $P$ は円 $C$ の周上にあるので， $(p-a)² +(q-b)²=r²$ を満たす．つまり， $l$ の方程式は $(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r²$ となる．

定理4円周上の点から引いた接線の方程式

円 $C:(x-a)² +(y-b)²=r²$ の周上の点 $(p, q)$ から引いた接線 $l$ の方程式は

$(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r²$

となる．特に，円 $C$ の中心が原点にある場合は

$px+qy=r²$

となる（ $a = b = 0$ を $l$ の式に代入すればよい）．

中心が(a, b)、半径がrの円Cがある。円周上の点(p, q)において直線lが接しており、中心と接点を結ぶ線分と直線lが垂直に交わっている。（69文字）

問題8円周上の点から引いた接線の方程式〜その2〜

円 $x²+y²=13$ の周上の点 $(2, 3)$ で接する，接線の方程式を求めよ．
円 $x²+y²=13$ の周上の点 $(2, - 3)$ で接する，接線の方程式を求めよ．
円 $(x1)²+(y+2)²=2$ の周上の点 $(2, - 1)$ で接する，接線の方程式を求めよ．
円 $x²+y² -2x +4y+3=0$ の周上の点 $(0, - 1)$ で接する，接線の方程式を求めよ．

解答を見る

$2・ x + 3・ y=13 \Leftrightarrow 2x+3y=13$
$2・ x + (-3)・ y=13$ $\Leftrightarrow 2x-3y=13$
$(2-1)(x1) + (-1+2)(y+2)=2$ $\Leftrightarrow x+y=1$
$x²+y² -2x +4y+3=0$ を平方完成形に変形して $(x1)²+(y+2)²=2$ となる．よって， $(0, - 1)$ で接する接線の方程式は

$(0-1)(x1) + (-1+2)(y+2)=2$ $\Leftrightarrow x-y=1$

円周外の点から引いた接線の方程式

円 $C$ の外に点 $P$ をとり，Pから引いた円 $C$ の接線を考えよう．図のようにして，そのような直線は2本存在することが分かる．

次の例題で確認してみよう．

xy平面上に原点O、円、およびその外部の第1象限に点Pが配置され、矢印の右側では点Pを通って円に接する2本の直線が描かれている。

問題9円周外の点から引いた接線の方程式

円 $C:x²+y²=2$ と点 $P(3, 1)$ について， $P$ から引いた $C$ の接線 $l$ の方程式を求めたい．以下の $［?］$ に入る式・言葉・値を答えよ．

直線 $l$ の傾きを $m$ とする． $l$ は $P$ を通り傾き $m$ の直線となるので，方程式は $［A］$ となる．条件「円 $C$ と直線 $l:［A］$ が接する」は

「円 $C$ の $［B］$ と直線 $l:［A］$ の距離が $［C］$ に等しい」

という条件と必要十分条件である．

$l$ と，円 $C$ の中心の距離は点と直線の距離を用いて $［D］$ と書けるので，

$［D］=［C］$

が成り立つ．これを解いて $m=［E］, ［F］$ (ただし， $［E］<［F］$ )．よって， $l$ の方程式は

$m=［E］$ のとき $，［G］，m=［F］$ のとき $［H］$ ．

解答を見る

$［A］: y-1=m(x-3)$

$［B］:$ ~中心(つまり，原点)

$［C］: \sqrt2$ ~(または円 $C$ の半径)

$［D］: (|m・ 0 -0 -3m+1|)/\sqrt(m² + (-1)²)$

$(=(|-3m+1|)/\sqrt(m² + 1))$

←点と直線の距離

$［E］: -1/7$

$［F］: 1$

←途中の計算は以下のようになる．

$(|m・ 0 -0 -3m+1|)/\sqrt(m² + (-1)²)=\sqrt2 \Leftrightarrow|-3m+1|=\sqrt2\sqrt(m² + (-1)²)$

両辺とも正なので，両辺2乗して

$\Leftrightarrow9m² - 6m +1=2m² + 2 \Leftrightarrow7m² -6m -1=0$

$［G］: x+7y-10=0$

$［H］: x-y-2=0$

2円の関係

2円の位置関係（円の方程式）

2円の位置関係

2円の位置関係は，2円の半径と中心間の距離で決まり，以下の5つの状態がある．

定理52円の位置関係

2円の半径を $r1, r2 (r1 < r2)$ ，中心間の距離を $d$ とすると，以下のようになる．

2円の図
2円の位置関係	離れている
2円の共有点の個数	0個
2円の中心間の距離 $d$	$d > r1 + r2$

2円の図
2円の位置関係	外接している
2円の共有点の個数	1個(外接)
2円の中心間の距離 $d$	$d = r1 + r2$

2円の図
2円の位置関係	交わっている
2円の共有点の個数	2個
2円の中心間の距離 $d$	$r2 - r1 < d < r1 + r2$

2円の図
2円の位置関係	内接している
2円の共有点の個数	1個(内接)
2円の中心間の距離 $d$	$d = r2 - r1$

2円の図
2円の位置関係	一方が他方を含む
2円の共有点の個数	0個
2円の中心間の距離 $d$	$d < r2 - r1$

問題102円の関係

円 $C1$ は $A$ を中心とした半径 $2$ の円，円 $C2$ は $B$ を中心とした半径 $5$ の円とする．

$AB = 10$ のとき，円 $C1$ と $C2$ はどんな位置関係にあるか．また， $AB = 6$ のとき， $AB = 2$ のときはどうか．
$C1$ と $C2$ が外接するとき線分 $AB$ の長さを求めよ．また，内接するときはどうか．
$C1$ が $C2$ に含まれるための，線分 $AB$ の長さの条件を求めよ．

解答を見る

$AB = 10$ のときは

共有点がなく

， $AB = 6$ のときは

2点で交わり

， $AB = 2$ のときは

円 $C1$ が円 $C2$ に含まれている.
外接のときは $AB = 7$ ，内接のときは $AB = 3$ ．
線分 $AB$ の長さが，内接するときより短ければよいので， $(0<)AB<3$ ．

2円の共通接線

2円の共通接線の本数は，2円の位置関係によって異なる．

定理62円の共通接線

共通接線の本数	4本
2円の位置関係	離れている

共通接線の本数	3本
2円の位置関係	外接している

共通接線の本数	2本
2円の位置関係	交わっている

共通接線の本数	1本
2円の位置関係	内接している

共通接線の本数	0本
2円の位置関係	一方が他方を含む

共通接線の方程式を求めるには，問題を図示し，図形的に考えることが不可欠である．

問題112円の共通接線

2つの円 $C1:(x+1)² +(y+1)²=4,C2:(x2)² +(y-2)²=1$ がある．この2円に対し，共通内接線 $l$ ，共通外接線 $L$ を考え， 2本ある $L$ の交点を $P$ とする．

大きな円C1と小さな円C2が並び、2円の間で交差する2本の共通内接線lと、2円の外側を通り右側で交わる2本の共通外接線Lが引かれ、その交点がPと示されている。

共通内接線 $l$ の方程式を求めよ．
$P$ の座標を求めよ．
共通外接線 $L$ の傾きを求めよ．

解答を見る

次の図のようにして，

2本の $l$ は軸に平行な直線と分かり，その方程式は $x=1, y=1$ である．
次の図のように， 2円の中心を $， A，B$ ， 2接点を $， S，T$ とする．このとき， $△PSA∽△PTB$ であり，その相似比は $SA:TB = 2:1$ ．

よって， $AP:PB = 2:1$ であるから， $B$ は線分の $AP$ の中点となる． $P(a, b)$ とおけば

$((-1+a)/2,(-1+b)/2)=(2, 2) \Leftrightarrow (a, b)=(5, 5)$

よって， $P(5, 5)$ である．
$L$ の傾きを $m$ とおく． $L$ は $P$ を通るので

$y-5=m(x-5) \Leftrightarrow mx - y -5m +5=0$

が $L$ の方程式となる．この直線と $B$ の距離が，円 $C2$ の半径 $1$ に等しくなればよいので

$(|m・ 2 -2 -5m +5|)/\sqrt(m²+1)=1 \Leftrightarrow |-3m+3|=\sqrt(m²+1) \Leftrightarrow (3m-3)²=m²+1 \Leftrightarrow 4m² -9m +4=0 ∴m=(9 \pm\sqrt17)/8$

2円の交点を通る円

2つの図形の交点を通る図形の方程式は，交点の座標を求めることなく得ることができる場合がある．それを次の例題で確認しよう．

問題122円の交点を通る円

2円 $x²+y²+2x-9=0$ $①$ と $x²+y²-6x-4y+3=0$ $②$ について次の問に答えよ．

2円の共有点を通る直線の方程式を求めよ．
2円の共有点と点 $(1, -4)$ を通る円の方程式を求めよ．

解答を見る

kを定数として

$k(x²+y²+2x-9) +x²+y²-6x-4y+3=0$ $③$

とすると，方程式 $③$ は，2つの円 $①$ ， $②$ の交点を通る図形を表す．

←理由は下の本文参照

$③$ が直線を表すのは $k = - 1$ のときなので， $2x+y-3=0$ となる．

← $k = - 1$ とすると2次の項が打ち消しあって，1次の項つまり直線の方程式が残る
$③$ が $(1, -4)$ を通るとき

$k(1+16+2-9) +1+16-6+16+3=0 \Leftrightarrow k=-3$

よって，求める方程式は $x²+y²+6x+2y-15=0$ となる．

【解答の編集】

上の例題の2つの図形 $①$ と $②$ の交点，すなわち方程式 $①$ と $②$ を同時に満たす $(x, y)$ の値は $③$ を満たす．これより， $③$ は $①$ と $②$ の交点を通る方程式であることがわかる．

さらに， $③$ を整理することにより， $k\neq-1$ の場合には

$k(x²+y²+2x-9) +x²+y²-6x-4y=0 \Leftrightarrow (1+k)x²+(1+k)y² +(2k-6)x-4y-9k+3=0 \Leftrightarrow x²+y²+(2k-6)/(1+k)x -4/(1+k)y+(3-9k)/(1+k)=0$

と円の方程式〜標準形〜となり，円を表すことがわかる．

$③$ の $k$ の値を変化させたときの図形を図に示した．

座標平面上に、2つの円①と②の交点を通るさまざまな図形が描かれている。k=1やk=3のときの円、k=-1/2のときの円、k=-1のときの直線が、同じ2つの交点で交わっている。

最終更新: 2026-08-10

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質問の内容

数学II 第2章 図形と方程式 — 円の方程式

円の方程式について

円の方程式～平方完成形～

定理1円の方程式〜平方完成形〜

問題1円の方程式

円の方程式～標準形～

定理2円の方程式〜標準形〜

問題2円の方程式〜平方完成形と標準形〜

円の方程式の決定

中心や半径の条件が与えられた円の方程式

問題3円の方程式の決定〜その1〜

与えられた3点を通る円の方程式

問題4円の方程式〜その2〜

円と直線の関係

円と直線の交点

問題5円と直線の共有点の座標

座標平面上の円を図形的に考える

暗記1円と直線の共有点の個数

定理3「円と直線の共有点」について

問題6円が切り取る線分の長さ

円の接線

円周上の点から引いた接線の方程式

問題7円周上の点から引いた接線の方程式〜その1〜

定理4円周上の点から引いた接線の方程式

問題8円周上の点から引いた接線の方程式〜その2〜

円周外の点から引いた接線の方程式

問題9円周外の点から引いた接線の方程式

2円の関係

2円の位置関係（円の方程式）

定理52円の位置関係

問題102円の関係

2円の共通接線

定理62円の共通接線

問題112円の共通接線

2円の交点を通る円

問題122円の交点を通る円

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