円の方程式の練習問題（全13問・解答つき）
数学II「円の方程式」（図形と方程式）の練習問題を13問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます。印刷設定の「ヘッダーとフッター」を外すと、日付やURLが入らずきれいに刷れます
問題1円の方程式
座標平面上に次のような円があるとき、その方程式をそれぞれ求めよ。
- 中心(3, 2)、半径3
- 中心 (-3, 1)、半径2
- 中心 (0, − 2)、半径√3
解答を見る
- (x-3)² + (y-2)² =9
- (x+3)² + (y-1)² =4
- x² + (y+2)² =3
問題2円の方程式〜平方完成形と標準形〜
次の方程式のうち、円の方程式を表すものについては中心と半径を求めよ。
- x² + y² − 2x + 4y + 1 = 0
- x² + y² − 6y + 1 = 0
- x² + y² − 3x + 5 = 0
- x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
解答を見る
与式の左辺を平方完成すると
(x-1)²+(y+2)²=4
となるので、
中心は
(1,-2),
半径は
2.
与式の左辺を平方完成すると
x²+(y-3)²=8
となるので、
中心は
(0, 3),
半径は
2√2.
与式の左辺を平方完成すると
(x-32)²+y²=-11/4
となるので、この方程式は円を表さない。
与式の左辺を平方完成すれば
(x+2)²+(y+2)²=0
となるので、この方程式は円を表さない。
←この方程式を満たす必要十分条件は、 x + 2 = 0,y + 2 = 0であるので、 (x, y)=(-2,-2)のみが方程式を満たす。 つまり、方程式 x² + 4x + y² + 4y + 8 = 0のグラフは、 「点 ( − 2, − 2)」となる。
問題3円の方程式の決定〜その1〜
- 半径が3であり、x軸、y軸の両方に接する円はいくつあるか。 また、それぞれの方程式を求めよ。
- 中心が直線 x = 2上にあり、A(3, 2),B(0, 3)を通る円の方程式を求めよ。
- 中心が直線 y = x上にあり、 P(1, 3),Q(-2, 1)を通る円の方程式を求めよ。
解答を見る
図のように考えれば、円が
4つ
あることが分かる。
中心は (± 3, ±3)であるので
(x+3)² +(y+3)²=9, (x+3)² +(y-3)²=9, (x-3)² +(y+3)²=9, (x-3)² +(y-3)²=9
が求める方程式になる。
与えられた円の方程式は (x − 2)² + (y − b)² = r²とおくことができる。
Aを通ることから~~ (3-2)²+(2-b)² =r²
Bを通ることから~~ (0-2)²+(3-b)² =r²
である。これらを整頓して、連立方程式
b² -4b+5=r² b²-6b+13=r²
を得る。上の式を①、下の式を②すると、①－②から 2b − 8 = 0なので b=4。
←①のr²に②を代入すると考えてもよい。
②に代入すれば r² = 5であるので、 求める円の方程式は (x-2)² +(y-4)²=5となる。
与えられた円の方程式は (x − a)² + (y − a)² = r²とおくことができる。
←中心は直線 y = x上にあるので、中心のx座標をaとおくとy座標もaになる。
Pを通ることから~~ (1-a)² + (3-a)² =r²
Qを通ることから~~ (-2-a)² +(1-a)² =r²
である。これらを整頓して、連立方程式
2a² -8a+10=r² 2a²+2a+5=r²
を得る。上の式を③、下の式を④とすると、③－④から − 10a + 5 = 0なので a=1/2。
←③のr²に④を代入すると考えてもよい。
④に代入すれば r²=13/2であるので、 求める円の方程式は (x-1/2)² +(y-1/2)²=13/2となる。
問題4円の方程式〜その2〜
- A(3, 0),B(0,-2),C(-2, 1)の3点を通る円の方程式を求めよ。
- A(3, 1),B(4,-4),C(-1,-5)とする。△ABCの外接円の中心と半径を求めよ。
解答を見る
求める円の方程式を x² + y² + lx + my + n = 0とおく。
Aを通ることから
3² + 0² + l ・ 3+ m・ 0 +n=0
Bを通ることから
0² + (-2)² + l・ 0 + m・ (-2) +n=0
Cを通ることから
(-2)² + 1² + l・ (-2) + m・ 1 +n=0
である。これらを整頓して、連立方程式を得る。
3l +n=-9 -2m+n=-4 -2l+m+n=-5
上の式から順に①,②,③とする
← ②+2×③より
-2m+n=-4 +)-4l+2m+2n=-10 -4l+3n=-14
②'
3×①-②'より 13l = -13となって l = − 1。 ②,①からm, nを求めればよい
これを解いて (l, m, n)=(-1,-1,-6)。 よって、求める方程式は x² +y²-x -y-6=0である。
△ABCの外接円は3点A, B, Cを通る円に一致する。 その方程式を x² + y² + lx + my + n = 0とおく。
Aを通ることから
3² + 1² + l ・ 3+ m・ 1 +n=0
Bを通ることから
4² + (-4)² + l・ 4 + m・ (-4) +n=0
Cを通ることから
(-1)² + (-5)² + l・ (-1) + m・ (-5) +n
=0
である。これらを整頓して、連立方程式を得る。
3l+m+n=-10 4l-4m+n=-32 -l-5m+n=-26
上の式から順に④,⑤,⑥とする
← ④-⑤より
3l+m+n=-10 -)4l-4m+n=-32 -l+5m=22
④'
⑤-⑥より
4l-4m+n=-32 -)-l-5m+n=-26 5l+m=-6
⑤'
\href{#eq-ennohouteishiki-sono2-44}{\enclose{circle}{4}'}と\href{#eq-ennohouteishiki-sono2-55}{\enclose{circle}{5}'}を連立して (l, m)=(-2, 4)。\href{#eq-ennohouteishiki-sono2-4}{\enclose{circle}{4}}から n = − 8。
これを解いて (l, m, n)=(-2, 4,-8)。よって、△ABCの外接円の方程式は
x²+y² -2x+4y-8=0。
平方完成型に変形すると (x − 1)² + (y + 2)² = 13 となり、
←中心と半径を求めるため平方完成型に変形
△ABCの外接円の中心は (1, − 2)、半径は√13である。
【2.の別解（略解）】
←もちろん1.も同じようにして解くことができる。
外接円の中心をO(x, y)とすると、 OA = OB = OCであるので
√((x-3)² +(y-1)²) =√((x-4)² +(y+4)²) √((x-3)² +(y-1)²) =√((x+1)² +(y+5)²)
これを解いて (x, y)=(1,-2)、外接円の半径は OA=√(2² +(-3)²)=√13。
問題5円と直線の共有点の座標
座標平面上に円 C:x²+y²=5があるとき、以下の問いに答えよ。
- 直線 l1:x+y=3と円Cの共有点があれば、すべて求めよ。
- 直線 l2:x+y=4と円Cの共有点があれば、すべて求めよ。
解答を見る
直線l1と円Cの共有点は、連立方程式
x+y=3 x²+y²=5
の解に一致する。上の式を①、下の式を②とするとき、①より y = 3 – xであるので、 これを②に代入すれば
x²+(3-x)²=5 ⇔ 2x² -6x+9=5 ⇔ x² -3x+2=0
これを解いて x=1, 2。 ①より、求める共有点の座標は(2, 1), (1, 2)。
←①に代入してyを解く。 x=1のとき y=2, x=2のとき y=1となる。
直線l2と円Cの共有点は、連立方程式
x+y=4 x²+y²=5
の解に一致する。上の式を③、下の式を④とするとき、 ③より y = 4 – xであるので、 これを④に代入すれば
x²+(4-x)²=5 ⇔ 2x² -8x+11=0 ⑤
となる。2次方程式⑤の判別式をDとすると
D/4=4² -2・ 11=-6<0
であるので、⑤は実数解を持たない。 つまり、
l2とCは共有点を持たない。
←⑤は実数解を持たないことは、連立方程式③、④は実数解を持たないことになるため。
問題6円が切り取る線分の長さ
円 C:x²+y²=6と直線 l:x+2y=kが2点A, Bで交わり、 AB = 2であるとき、 kの値を求めたい。 以下の［?］に入る式・言葉・値を答えよ。
図のように、円の中心をOとし、Oから直線 x+2y=kへ下ろした垂線の足をHとおく。 このとき、 OA=［A］, AH=［B］であるので、三平方の定理より、 OH=［C］。
ところで、OHの長さは、点Oと直線［D］の距離に一致するので、 点と直線の距離より
OH=［E］
よって、方程式 ［E］=［C］(=OH)を解けば、 k=［F］と求められる。
解答を見る
［A］:√6
［B］:(1/2)AB=1
［C］:√((√6)² -1²)=√5
［D］:(直線) x+2y=k
［E］:(|0 +2・ 0 -k|)/√(1²+2²)=|k|/√5
←直線 x + 2y − k = 0と点(0, 0)の距離を点と直線の距離で計算
［F］:|k|/√5=√5 ⇔ |k|=5、 つまり、 k=± 5。
問題7円周上の点から引いた接線の方程式〜その1〜
円 C:x²+y²=25の周上の点P(3, 4)を接点とする接線をlとする。
- 接線lが線分OPと直交することから、lの傾きを求めよ。
- lの方程式を求めよ。
解答を見る
線分OPの傾きは (4-0)/(3-0)=4/3。
接線lと線分OPが直交するので、lの傾きは-3/4
←(OPの傾き)×(lの傾き) = − 1
lはP(3, 4)を通り傾き-3/4の直線であるので
y-4=-3/4(x-3) ⇔ 4y-16=-3x+9 ⇔ 3x + 4y=25
一般に、円 (x − a)² + (y − b)² = r²の周上の点P(p, q)を接点とする接線lの方程式はどうなるだろうか。O(a, b)とすると、接線lは線分OPと直交し、線分OPの傾きは (q-b)/(p-a) であるので、
(q-b)/(p-a)×(直線lの傾き) =-1 ⇔(直線lの傾き) =-(p-a)/(q-b)
となる。よって、lは(p, q)を通り傾き-(p-a)/(q-b)の直線と分かるので
y-q=-(p-a)/(q-b)(x-p) ⇔ (q-b)(y-q) =-(p-a)(x-p) ⇔ (q-b)(y-b+b-q) =-(p-a)(x-a+a-p) ⇔ (q-b)(y-b)+(q-b)(b-q) =-(p-a)(x-a)-(p-a)(a-p) ⇔ (p-a)(x-a)+(q-b)(y-b) =(p-a)²+(q-b)²
となる。ここで、Pは円Cの周上にあるので、 (p-a)² +(q-b)²=r²を満たす。 つまり、lの方程式は (p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r²となる。
なお、以上は p≠ aかつ q≠ bの場合の計算である。 q=bのときの接線は x=p、 p=aのときの接線は y=qとなるが、 これらは (p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r²にそれぞれ q=b、 p=aを代入して得られる式と一致する。 よって、この方程式はすべての場合に成り立つ。
問題8円周上の点から引いた接線の方程式〜その2〜
- 円 x²+y²=13の周上の点(2, 3)で接する、接線の方程式を求めよ。
- 円 x²+y²=13の周上の点 (2, − 3)で接する、接線の方程式を求めよ。
- 円 (x-1)²+(y+2)²=2の周上の点 (2, − 1)で接する、接線の方程式を求めよ。
- 円 x²+y² -2x +4y+3=0の周上の点 (0, − 1)で接する、接線の方程式を求めよ。
解答を見る
2・ x + 3・ y=13 ⇔ 2x+3y=13
2・ x + (-3)・ y=13
⇔ 2x-3y=13
(2-1)(x-1) + (-1+2)(y+2)=2
⇔ x+y=1
x²+y² -2x +4y+3=0を平方完成形に変形して (x-1)²+(y+2)²=2となる。よって、 (0, − 1)で接する接線の方程式は
(0-1)(x-1) + (-1+2)(y+2)=2
⇔ x-y=1
問題9円周外の点から引いた接線の方程式
円 C:x²+y²=2と点P(3, 1)について、Pから引いたCの接線lの方程式を求めたい。以下の［?］に入る式・言葉・値を答えよ。
直線lの傾きをmとする。lはPを通り傾きmの直線となるので、 方程式は［A］となる。 条件「円Cと直線 l:［A］が接する」は
「円Cの［B］と直線 l:［A］の距離が［C］に等しい」
という条件と必要十分条件である。
lと、円Cの中心の距離は点と直線の距離を用いて［D］と書けるので、
［D］=［C］
が成り立つ。これを解いて m=［E］, ［F］(ただし、 ［E］<［F］)。 よって、lの方程式は
m=［E］のとき ［G］, m=［F］のとき［H］。
解答を見る
［A］: y-1=m(x-3)
［B］:~中心(つまり、原点)
［C］: √2~(または円Cの半径)
［D］: (|m・ 0 -0 -3m+1|)/√(m² + (-1)²)
(=(|-3m+1|)/√(m² + 1))
←点と直線の距離
［E］: -1/7
［F］: 1
←途中の計算は以下のようになる。
(|m・ 0 -0 -3m+1|)/√(m² + (-1)²)=√2 ⇔|-3m+1|=√2√(m² + (-1)²)
両辺とも正なので、両辺2乗して
⇔9m² - 6m +1=2m² + 2 ⇔7m² -6m -1=0
［G］: x+7y-10=0
［H］: x-y-2=0
問題102円の関係
円C1はAを中心とした半径2の円、円C2はBを中心とした半径5の円とする。
- AB = 10のとき、円C1とC2はどんな位置関係にあるか。 また、 AB = 6のとき、 AB = 2のときはどうか。
- C1とC2が外接するとき線分ABの長さを求めよ。また、内接するときはどうか。
- C1がC2に含まれるための、線分ABの長さの条件を求めよ。
解答を見る
AB = 10のときは
共有点がなく
、 AB = 6のときは
2点で交わり
、 AB = 2のときは
円C1が円C2に含まれている.
外接のときは AB = 7、内接のときは AB = 3。
線分ABの長さが、内接するときより短ければよいので、 (0<)AB<3。
問題112円の共通接線
2つの円 C1:(x+1)² +(y+1)²=4,C2:(x-2)² +(y-2)²=1がある。 この2円に対し、共通内接線l、共通外接線Lを考え、 2本あるLの交点をPとする。
- 共通内接線lの方程式を求めよ。
- Pの座標を求めよ。
- 共通外接線Lの傾きを求めよ。
解答を見る
次の図のようにして、
2本のlは軸に平行な直線と分かり、その方程式は x=1, y=1である。
←x軸に平行な直線 y=kが2円の両方に接する条件は、中心 (-1,-1)、(2, 2)との距離を考えて |-1-k|=2かつ |2-k|=1であり、これを満たすのは k=1のみである。y軸に平行な直線 x=kについても同様である。
次の図のように、 2円の中心をA, B、 2接点をS, Tとする。 このとき、 △PSA∽△PTB であり、その相似比は SA:TB = 2:1。
よって、 AP:PB = 2:1であるから、Bは線分のAPの中点となる。P(a, b)とおけば
((-1+a)/2,(-1+b)/2)=(2, 2) ⇔ (a, b)=(5, 5)
よって、P(5, 5)である。
Lの傾きをmとおく。LはPを通るので
y-5=m(x-5) ⇔ mx - y -5m +5=0
がLの方程式となる。 この直線とBの距離が、円C2の半径1に等しくなればよいので
(|m・ 2 -2 -5m +5|)/√(m²+1)=1 ⇔ |-3m+3|=√(m²+1) ⇔ (3m-3)²=m²+1 ⇔ 4m² -9m +4=0 ∴m=(9 ±√17)/8
問題122円の交点を通る円
2円 x²+y²+2x-9=0 ①と x²+y²-6x-4y+3=0 ②について次の問に答えよ。
- 2円の共有点を通る直線の方程式を求めよ。
- 2円の共有点と点 (1, -4)を通る円の方程式を求めよ。
解答を見る
kを定数として
k(x²+y²+2x-9) +x²+y²-6x-4y+3=0
③
とすると、方程式③は、2つの円①、②の交点を通る図形を表す。
←理由は下の本文参照
③が直線を表すのは k = − 1のときなので、 2x+y-3=0となる。
← k = − 1とすると2次の項が打ち消しあって、1次の項つまり直線の方程式が残る
③が (1, -4)を通るとき
k(1+16+2-9) +1+16-6+16+3=0 ⇔ k=-3
よって、求める方程式は x²+y²+6x+2y-15=0となる。
【解答の編集】
上の例題の2つの図形①と②の交点、すなわち方程式①と②を同時に満たす(x, y)の値は③を満たす。これより、③は①と②の交点を通る方程式であることがわかる。
さらに、③を整理することにより、 k≠-1の場合には
k(x²+y²+2x-9) +x²+y²-6x-4y+3=0 ⇔ (1+k)x²+(1+k)y² +(2k-6)x-4y-9k+3=0 ⇔ x²+y²+((2k-6)/(1+k))x -(4/(1+k))y+(3-9k)/(1+k)=0
と円の方程式〜標準形〜の形になる。 この方程式は2円①、②の異なる2つの交点で満たされるから、 表す図形が1点だけになったり、満たす点が1つも無くなったりすることはない。 よって、 k≠-1のとき③は円を表すことがわかる。
③のkの値を変化させたときの図形を図に示した。
覚えておきたい事項（1問）
暗記1円と直線の共有点の個数
座標平面上の円 C:x²+y²=5と直線 l:x+y=kが、共有点を持つような実数kの範囲を求めたい。 以下の［?］に入る式・言葉・値を答えよ。
直線lと円Cの共有点は、連立方程式［A］ の実数解に一致する。つまり、この連立方程式が［B］ようなkの範囲を求めればよい。
連立方程式［A］からyを消去し、xの2次方程式［C］を得る。
この2次方程式が実数解を持つことから、不等式［D］を得る。
これを解いて、求めるkの範囲は［E］と分かる。
条件「直線 l:x+y=kが円Cと共有点を持つ」は
条件「直線 l:x+y=kと円Cの中心の距離が、［F］以下である」
と必要十分条件である。
直線lと円Cの中心(0, 0)の距離は ［G］であるので不等式［H］を得る。 これを解いて、求めるkの範囲は［E］と分かる。
解答を見る
［A］:
x+y=k x²+y²=5
［B］:実数解を持つ
［C］: x²+(k-x)²=5
(⇔ 2x² -2kx+k²-5=0)
←［A］より上の式を変形すると、 y = k – xなので、 それを下の式に代入すればよい
［D］:D/4=k² -2(k²-5)≧ 0
(⇔ -k²+10≧ 0)
←実数解を持つ~⇔~(判別式) ≧ 0 D=(2k)² -4・ 2・ (k²-5)≧ 0でもよい
［E］:-√10≦ k ≦ √10
［F］: √5(または円Cの半径)
［G］:(|-k|)/√(1²+1²)(=|k|/√2)
←直線 x + y − k = 0と点(0, 0)の距離を 点と直線の距離で計算
［H］:|k|/√2 ≦ √5 (⇔ |k| ≦√10)