数学II 第2章 図形と方程式 — 数直線と座標平面上の点
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数直線上の点
数直線上の2点間の距離
数直線上の2点間の距離
まずは,数直線上の点に関する知識から確認していこう.
\FTEXT 数学Iでも学んだように,数直線上の2点間の距離は次のようになる.
§
定理1数直線上の2点間の距離
数直線上の2点A(x1),B(x2)間の距離ABは
AB=|x2-x1|
である.
内分・外分とは何か
内分・外分とは何か
線分の分割を表すのに,内分と外分という2つの方法がある.
§
定義2内分
正の数m,nとする. 線分AB上の点Pについて
AP:PB=m : n
が成り立つとき,点Pは線分ABを m : nに
内分(interior division)
するといい, 点Pのことを内分点という.
§
定義3外分
正の数m,nとする. 線分ABの延長上の点Qについて
AQ:QB=m : n
が成り立つとき,点Qは線分ABを m : nに
外分(exterior division)
するといい, 点Qのことを外分点という.
右図のように,点Qは
- m > nのときは,線分ABのBの方向への延長上
- m < nのときは,線分ABのAの方向への延長上
にある.

数直線上の内分点の座標
数直線上の2点A(x1),B(x2)に対して,線分ABを m : nに内分する点Pの座標(x)を求めてみよう.
AP:PB = m : n だから
nAP = mPB ①
ここで,右図より
1) x1 < x2のとき, x1 < x < x2だから
AP = x − x1,PB = x2 – x
2) x1 > x2のとき, x1 > x > x2だから
AP=x1 − x,PB=x − x2
1),2)のいずれにせよ,①は
n(x-x1)=m(x2-x),
⇔ (m+n)x=nx1+mx2
∴x=(nx1 + mx2)/(m+n)
となる.
§
定理4数直線上の内分点
数直線上の2点A(x1),B(x2)に対し,線分ABを m : n に内分する点Pの座標(x)は
x=(n x1 + mx2)/(m+n)
である.
数直線上の外分点の座標
数直線上の外分点の座標
暗記1数直線上の外分点
数直線上の内分点を参考に, 数直線上の2点A(x1),B(x2)に対し,線分ABを m : n に外分する点Qの座標(x)は
x=(-n x1+mx2)/(m-n)
であることを示せ.ただし, x1 < x2とする.
解答を見る
AQ:QB = m : n だから
nAQ = mQB ①
ここで,右図より
1) m > nのとき, x1 < x1 < xだから
AQ = x − x1,QB = x − x2
2) m < nのとき, x > x1 > x2だから
AQ=x1 − x,QB=x2 – x
1),2)のいずれにせよ,①は
n(x-x1)=m(x-x2),
⇔ (m-n)x=-nx1+mx2
∴x=(-nx1 + mx2)/(m-n)
である.
上の例題は x1 > x2の場合でも同様の結論になるので,次のようにまとめられる.
§
定理5数直線上の外分点
数直線上の2点A(x1),B(x2)に対し,線分ABを m : nに外分する点Qの座標(x)は
x=(-n x1+mx2)/(m-n)
である.
座標平面上の点
座標平面上の2点間の距離
座標平面上の2点A(x1, y1),B(x2, y2)間の距離ABについて考えよう.
右図のように点Cをとると
AC= | x2 − x1 | , BC= | y2 − y1 |
なので,三平方の定理より
²=AC²+BC² =(x2-x1)²+(y2-y1)²
なので, AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)となる.
§
定理6座標平面上の2点間の距離
座標平面上の2点A(x1,y1),B(x2,y2)間の距離は
AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
である.
問題12点間の距離
2点A, Bが次の座標にあるとき,2点A, Bの間の距離を求めよ.
- A(1, 3),B(5, 6)
- A( − 3, − 5),B(2, 3)
- A(6, − 1),B( − 2, 4)
解答を見る
- AB=√((5-1)²+(6-3)²)=5
- AB=√({2-(-3)}²+{3-(-5)}²)
=√89
- AB=√((-2-6)²+{4-(-1)}²)
=√89
問題2中線定理の証明
△ABCにおいて,辺BCの中点をMとする.このとき
AB² + AC² =2(AM² + MB²)
であることを,座標平面を用いて示せ.
解答を見る
点A,B,C,Mを右図のように座標平面上で A(a1, a2),B(-c, 0),C(c, 0),M(0, 0)とおいても一般性を失わない. 座標平面上の2点間の距離を考えて
AB²+AC² =(√(a1+c)²+a2²)² +(√(a1-c)²+a2²)² =a1²+2a1c+c²+a2² +a1²-2a1c+c²+a2² =2(a1²+a2²+c²)
同様に
2(AM² + MB²) =2{(√a1²+a2²)²+(√c²)²} =2(a1²+a2²+c²)
よって, AB²+AC²=2(AM² + MB²)が成り立つ.
この例題のように,座標を用いて幾何(図形) の証明問題を解くこともできる. このようなアプローチの幾何学を 座標幾何学(coordinate geometry)という
座標平面上の内分点の座標
2点A(x1, y 1),B(x2, y 2)に対して,線分ABを m : nに内分する点Pの座標(x, y)を求めてみよう.
右図のようにP'は線分A'B'を m : nに内分する点なので
x=(nx1 + mx2)/(m+n)
であり,y座標の方も同様にして
y=(ny1 + my2)/(m+n)
である.
§
定理7座標平面上の内分点
座標平面上の2点A(x1, y 1),B(x2, y 2)に対し,線分ABを m : nに内分する点Pの座標(x, y)は
x=(n x1 + mx2)/(m+n) , y=(n y1 + my2)/(m+n)
である.
特に,Pが中点のとき, m = nより, x=(x1 +x2)/2,y=(y1 +y2)/2である.
問題3座標平面上の内分点
以下の点A, Bについて,それぞれ,線分ABを 3:1に内分する点P,線分ABを 2:3に内分する点Q, 線分ABの中点Mの座標を求めよ.
- A(2, 5),B(3, 2)
- A( − 2, 3),B(3, − 1)
- A(0, 0),B(3, − 4)
解答を見る
Pの座標は((1・2+3・3)/(3+1), (1・5+3・2)/(3+1))
Qの座標は((3・2+2・3)/(2+3), (3・5+2・2)/(2+3))
Mの座標は((2+3)/2, (5+2)/2)なので
P(11/4, 11/4)
Q(12/5, 19/5)
M(5/2, 7/2)
Pの座標は((1・(-2)+3・3)/(3+1), (1・3+3・(-1))/(3+1))
Qの座標は((3・(-2)+2・3)/(2+3), (3・3+2・(-1))/(2+3))
Mの座標は((-2+3)/2, (3+(-1))/2)なので
P(7/4, 0)
Q(0, 7/5)
M(1/2, 1)
P(9/4, -3)
Q(6/5, -8/5)
M(3/2, -2)
Q((3・0+2・3)/(2+3), (3・0+2・(-4))/(2+3))
M((0+3)/2, (0+(-4))/2)
座標平面上の外分点の座標
暗記2座標平面上の外分点
座標平面上の内分点を参考に 座標平面上の2点A(x1,y1),B(x2,y2)に対し,線分ABを m : n に外分する点Qの座標(x,y)は
x=(-n x1 + mx2)/(m-n), y=(-n y1 + my2)/(m-n)
であることを示せ.
解答を見る
右図のようにP'は線分A'B'を m :n に外分する点なので
x=(-nx1 + mx2)/(m-n)
であり,y 座標の方も同様にして
y=(-ny1 + my2)/(m-n)
である.
解答を見る
点Pは線分ABを 3:( − 1)に内分した点
点Qは線分ABを ( − 2):3に内分した 点
点Rは線分ABを 4:( − 3)に内分した 点
と考えて,公式に当てはめればよい.
Pの座標は(((-1)・2+3・3)/(3+(-1)), ((-1)・5+3・ 2)/(3+(-1)))
Qの座標は ((3・2+(-2)・3)/((-2)+3), (3・5+(-2)・ 2)/((-2)+3))
Rの座標は (((-3)・2+4・ 3)/(4+(-3)), ((-3)・ 5+4・ 2)/(4+(-3)))
なので P (7/2, 12), Q (0, 11), R (6,-7)
P (11/2,-3),
Q (-12, 11),
R (18,-13)
.((-1)・3+3・(-1))/(3+(-1)))
Q((3・(-2)+(-2)・3)/((-2)+3). ,
.(3・3+(-2)・(-1))/((-2)+3))
R(((-3)・(-2)+4・ 3)/(4+(-3)). ,
.((-3)・ 3+4・(-1))/(4+(-3)))
§
定理8座標平面上の外分点
座標平面上の2点A(x1,y1),B(x2,y2)に対し,線分ABを m : n に外分する点Qの座標(x,y)は
x=(-n x1 + mx2)/(m-n) , y=(-n y1 + my2)/(m-n)
である.
問題4座標平面上の外分点
以下の点A, Bについて,それぞれ,線分ABを 3:1に外分する点P, 2:3に外分する点Q, 4:3に外分する点Rの座標を求めよ.
- A(2, 5),B(3, 2)
- A( − 2, 3),B(3, − 1)
解答を見る
右図のようにP'は線分A'B'を m :n に外分する点なので
x=(-nx1 + mx2)/(m-n)
であり,y 座標の方も同様にして
y=(-ny1 + my2)/(m-n)
である.
解答を見る
点Pは線分ABを 3:( − 1)に内分した点
点Qは線分ABを ( − 2):3に内分した 点
点Rは線分ABを 4:( − 3)に内分した 点
と考えて,公式に当てはめればよい.
Pの座標は(((-1)・2+3・3)/(3+(-1)), ((-1)・5+3・ 2)/(3+(-1)))
Qの座標は ((3・2+(-2)・3)/((-2)+3), (3・5+(-2)・ 2)/((-2)+3))
Rの座標は (((-3)・2+4・ 3)/(4+(-3)), ((-3)・ 5+4・ 2)/(4+(-3)))
なので P (7/2, 12), Q (0, 11), R (6,-7)
P (11/2,-3),
Q (-12, 11),
R (18,-13)
.((-1)・3+3・(-1))/(3+(-1)))
Q((3・(-2)+(-2)・3)/((-2)+3). ,
.(3・3+(-2)・(-1))/((-2)+3))
R(((-3)・(-2)+4・ 3)/(4+(-3)). ,
.((-3)・ 3+4・(-1))/(4+(-3)))
三角形の重心
どんな三角形でも,各頂点から引いた3本の中線は1点で交わる. この点を三角形の重心(centroid, center of gravity)という. 図に示したように,重心は三角形の中線を 2:1に内分する.
以下では,座標平面上のにある三角形の重心の座標を求めてみよう.
暗記3平面図形と座標
座標平面上にA(x1, y1),B(x2,y2),C(x 3, y3)があり,Gを△ABCの重心とする.
- 線分BCの中点をNとする.Nの座標を求めなさい.
- Gが線分ANを 2:1に内分する点であることを用い,Gの座標を求めなさい.
解答を見る
- NはBCの中点なので,((x2 +x3)/2, (y2 +y3)/2)
Gの座標は
((x1 + 2・(x2 +x3)/2)/(2+1). ,
.(y1 + 2・(y2 +y3)/2)/(2+1))
である.このx 座標,y 座標をそれぞれ計算して, ((x1 +x2 +x3)/3, (y1 +y2 +y3)/3)がGの座標になる.
§
定理9座標平面上の三角形の重心の座標
座標平面上の3点,,A(x1, y1),B(x2,y2),C(x3, y3)について, △ABCの重心Gの座標は
G((x1 +x2 +x3)/3, (y1 +y2 +y3)/3)
である.
問題5三角形の重心
- , , A(3, 2),B( − 1, 4),C( − 3, − 5)に対し,△ABCの重心Gの座標を求めよ.
- ,, A(1, a),B(b, 2),C(3, − 3)の重心が原点であるとき,a, bの値を求めよ.
解答を見る
G(x, y)とすると
x=(3 +(-1) +(-3))/3=-1/3
y=(2 +4 +(-5))/3=1/3
重心の座標が(0, 0)なので
((1 +b +3)/3, (a +2 +(-3))/3)=(0, 0)
⇔ 1 +b +3 = 0 a +2 +(-3) = 0
∴(a, b) = (1,-4)
最終更新: 2026-08-10
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