数学II 第2章図形と方程式 — 数直線と座標平面上の点

この節の練習問題8問だけをまとめて見る・印刷する →

数直線上の点

数直線上の2点間の距離

まずは，数直線上の点に関する知識から確認していこう．

\FTEXT 数学Iでも学んだように，数直線上の2点間の距離は次のようになる.

定理1数直線上の2点間の距離

数直線上の2点 $， A(x1)，B(x2)$ 間の距離 $AB$ は

$AB=|x2-x1|$

である．

数直線上の2点A(x1)、B(x2)について、x1<x2のときは左にA、右にBがあり距離はx2-x1となる。x2<x1のときは左にB、右にAがあり距離はx1-x2となる。

内分・外分とは何か

線分の分割を表すのに，内分と外分という2つの方法がある．

定義2内分

正の数 $， m，n$ とする．線分 $AB$ 上の点 $P$ について

$AP:PB=m : n$

が成り立つとき，点 $P$ は線分 $AB$ を $m : n$ に

内分（interior division）

するといい，点 $P$ のことを内分点という．

線分ABの上に点Pがある。AからPまでの部分とPからBまでの部分のそれぞれの上に、弧で結ばれた丸囲みのmと丸囲みのnが添えられている。

定義3外分

正の数 $， m，n$ とする．線分 $AB$ の延長上の点 $Q$ について

$AQ:QB=m : n$

が成り立つとき，点 $Q$ は線分 $AB$ を $m : n$ に

外分（exterior division）

するといい，点 $Q$ のことを外分点という．

右図のように，点 $Q$ は

$m > n$ のときは，線分 $AB$ の $B$ の方向への延長上
$m < n$ のときは，線分 $AB$ の $A$ の方向への延長上

にある．

「1) m > n のとき」として、直線上に左から点A、点B、点Qが順に並んでいる。AからQまでが丸囲みのm、BからQまでが丸囲みのnという比で示されている。 m < nのときとして、一直線上に左から順に点Q、点A、点Bが並んでいる。線分QAの上に比を表す丸囲みのm、線分QBの下に比を表す丸囲みのnが付けられている。

数直線上の内分点の座標

数直線上の2点 $， A(x1)，B(x2)$ に対して，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x)$ を求めてみよう．

$AP:PB = m : n$ だから

$nAP = mPB$ $①$

ここで，右図より

右向きの数直線上に、左から点A(x_1)、点P(x)、点B(x_2)が並んでいる。AP間に丸囲みのm、PB間に丸囲みのnを示す弧が描かれ、上部に「1) x_1 < x_2 のとき」と表示されている。

1) $x1 < x2$ のとき， $x1 < x < x2$ だから

$， AP = x - x1，PB = x2 - x$

2) $x1 > x2$ のとき， $x1 > x > x2$ だから

$， AP=x1 - x，PB=x - x2$

1)，2)のいずれにせよ， $①$ は

x_2 < x_1 のとき、数直線上に左から点B(x_2)、点P(x)、点A(x_1)が並んでいます。線分BPの上に比n、線分PAの上に比mが示されています。

$n(x-x1)=m(x2-x),$

$\Leftrightarrow (m+n)x=nx1+mx2$

$∴x=(nx1 + mx2)/(m+n)$

となる．

定理4数直線上の内分点

数直線上の2点 $， A(x1)，B(x2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x)$ は

$x=(n x1 + mx2)/(m+n)$

である．

数直線上に左から点x_1、x、x_2が並び、x_1からxの区間に丸囲みのm、xからx_2の区間に丸囲みのnが付されている。また、x_1とn、x_2とmを結ぶ交差する直線が描かれている。

数直線上の外分点の座標

暗記1数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に，数直線上の2点 $， A(x1)，B(x2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=(-n x1+mx2)/(m-n)$

であることを示せ．ただし， $x1 < x2$ とする．

解答を見る

$AQ:QB = m : n$ だから

$nAQ = mQB$ $①$

ここで，右図より

「1) x1 < x2 のとき」と添えられ、右向きの数直線上に左から点A(x1)、点P(x)、点B(x2)が並んでいる。点Aから点Pの上にm、点Pから点Bの上にnと比が示されている。

1) $m > n$ のとき， $x1 < x1 < x$ だから

$， AQ = x - x1，QB = x - x2$

2) $m < n$ のとき， $x > x1 > x2$ だから

$， AQ=x1 - x，QB=x2 - x$

「2) x_2 < x_1 のとき」という表記の下、数直線上に左から点B(x_2)、点P(x)、点A(x_1)が並び、BとPの間に比n、PとAの間に比mを示す弧が描かれている。

1)，2)のいずれにせよ， $①$ は

$n(x-x1)=m(x-x2),$

$\Leftrightarrow (m-n)x=-nx1+mx2$

$∴x=(-nx1 + mx2)/(m-n)$

である．

上の例題は $x1 > x2$ の場合でも同様の結論になるので，次のようにまとめられる．

定理5数直線上の外分点

数直線上の2点 $， A(x1)，B(x2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=(-n x1+mx2)/(m-n)$

である．

座標平面上の点

座標平面上の2点間の距離

座標平面上の2点 $， A(x1, y1)，B(x2, y2)$ 間の距離 $AB$ について考えよう．

右図のように点 $C$ をとると

$AC= | x2 - x1 | , BC= | y2 - y1 |$

なので，三平方の定理より

$²=AC²+BC² =(x2-x1)²+(y2-y1)²$

なので， $AB=\sqrt((x2-x1)²+(y2-y1)²)$ となる．

座標平面上に2点A(x_1, y_1)とB(x_2, y_2)がある。点Aから右へ、点Bから下へ伸ばした破線が交わる点をCとし、∠Cが直角である直角三角形ABCが描かれている。

定理6座標平面上の2点間の距離

座標平面上の2点 $， A(x1,y1)，B(x2,y2)$ 間の距離は

$AB=\sqrt((x2-x1)²+(y2-y1)²)$

である．

問題12点間の距離

2点 $A, B$ が次の座標にあるとき，2点 $A, B$ の間の距離を求めよ．

$， A(1, 3)，B(5, 6)$
$， A( - 3, - 5)，B(2, 3)$
$， A(6, - 1)，B( - 2, 4)$

解答を見る

$AB=\sqrt((5-1)²+(6-3)²)=5$
$AB=\sqrt({2-(-3)}²+{3-(-5)}²)$ $=\sqrt89$
$AB=\sqrt((-2-6)²+{4-(-1)}²)$ $=\sqrt89$

問題2中線定理の証明

$△ABC$ において，辺 $BC$ の中点を $M$ とする．このとき

$AB² + AC² =2(AM² + MB²)$

であることを，座標平面を用いて示せ．

解答を見る

点 $，，， A，B，C，M$ を右図のように座標平面上で $，，， A(a1, a2)，B(-c, 0)，C(c, 0)，M(0, 0)$ とおいても一般性を失わない．座標平面上の2点間の距離を考えて

$AB²+AC² =(\sqrt(a1+c)²+a2²)² +(\sqrt(a1-c)²+a2²)² =a1²+2a1c+c²+a2² +a1²-2a1c+c²+a2² =2(a1²+a2²+c²)$

同様に

$2(AM² + MB²) =2{(\sqrta1²+a2²)²+(\sqrtc²)²} =2(a1²+a2²+c²)$

よって， $AB²+AC²=2(AM² + MB²)$ が成り立つ．

この例題のように，座標を用いて幾何（図形）の証明問題を解くこともできる．このようなアプローチの幾何学を 座標幾何学（coordinate geometry）という

座標平面上の内分点の座標

2点 $， A(x1, y 1)，B(x2, y 2)$ に対して，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x, y)$ を求めてみよう．

右図のように $P'$ は線分 $A'B'$ を $m : n$ に内分する点なので

$x=(nx1 + mx2)/(m+n)$

であり， $y$ 座標の方も同様にして

$y=(ny1 + my2)/(m+n)$

である．

座標平面上に線分ABとそれを m 対 n に内分する点Pがあり、各点から座標軸に下ろした点線が引かれている。x軸上の座標 x1, x, x2 による線分の比も m 対 n と示されている。

定理7座標平面上の内分点

座標平面上の2点 $， A(x1, y 1)，B(x2, y 2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x, y)$ は

$x=(n x1 + mx2)/(m+n) , y=(n y1 + my2)/(m+n)$

である．

特に， $P$ が中点のとき， $m = n$ より， $， x=(x1 +x2)/2，y=(y1 +y2)/2$ である．

問題3座標平面上の内分点

以下の点 $A, B$ について，それぞれ，線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点 $P$ ，線分 $AB$ を $2:3$ に内分する点 $Q$ ，線分 $AB$ の中点 $M$ の座標を求めよ．

$， A(2, 5)，B(3, 2)$
$， A( - 2, 3)，B(3, - 1)$
$， A(0, 0)，B(3, - 4)$

解答を見る

$P$ の座標は $((1・2+3・3)/(3+1), (1・5+3・2)/(3+1))$

$Q$ の座標は $((3・2+2・3)/(2+3), (3・5+2・2)/(2+3))$

$M$ の座標は $((2+3)/2, (5+2)/2)$ なので

$P(11/4, 11/4)$

$Q(12/5, 19/5)$

$M(5/2, 7/2)$
$P$ の座標は $((1・(-2)+3・3)/(3+1), (1・3+3・(-1))/(3+1))$

$Q$ の座標は $((3・(-2)+2・3)/(2+3), (3・3+2・(-1))/(2+3))$

$M$ の座標は $((-2+3)/2, (3+(-1))/2)$ なので

$P(7/4, 0)$

$Q(0, 7/5)$

$M(1/2, 1)$
$P(9/4, -3)$

$Q(6/5, -8/5)$

$M(3/2, -2)$

$P((1・0+3・3)/(3+1), (1・0+3・(-4))/(3+1))$

$Q((3・0+2・3)/(2+3), (3・0+2・(-4))/(2+3))$

$M((0+3)/2, (0+(-4))/2)$

座標平面上の外分点の座標

暗記2座標平面上の外分点

座標平面上の内分点を参考に座標平面上の2点 $， A(x1,y1)，B(x2,y2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x,y)$ は

$x=(-n x1 + mx2)/(m-n), y=(-n y1 + my2)/(m-n)$

であることを示せ．

解答を見る

右図のように $P'$ は線分 $A'B'$ を $m :n$ に外分する点なので

$x=(-nx1 + mx2)/(m-n)$

であり， $y$ 座標の方も同様にして

$y=(-ny1 + my2)/(m-n)$

である．

解答を見る

点 $P$ は線分 $AB$ を $3:( - 1)$ に内分した点

点 $Q$ は線分 $AB$ を $( - 2):3$ に内分した点

点 $R$ は線分 $AB$ を $4:( - 3)$ に内分した点

と考えて，公式に当てはめればよい．

$P$ の座標は $(((-1)・2+3・3)/(3+(-1)), ((-1)・5+3・ 2)/(3+(-1)))$

次のような図を書いてみよう.

$Q$ の座標は $((3・2+(-2)・3)/((-2)+3), (3・5+(-2)・ 2)/((-2)+3))$

$R$ の座標は $(((-3)・2+4・ 3)/(4+(-3)), ((-3)・ 5+4・ 2)/(4+(-3)))$

なので $P (7/2, 12), Q (0, 11), R (6,-7)$
$P (11/2,-3),$ $Q (-12, 11),$

$R (18,-13)$

$P(((-1)・(-2)+3・3)/(3+(-1)). ,$

$.((-1)・3+3・(-1))/(3+(-1)))$

$Q((3・(-2)+(-2)・3)/((-2)+3). ,$

$.(3・3+(-2)・(-1))/((-2)+3))$

$R(((-3)・(-2)+4・ 3)/(4+(-3)). ,$

$.((-3)・ 3+4・(-1))/(4+(-3)))$

定理8座標平面上の外分点

座標平面上の2点 $， A(x1,y1)，B(x2,y2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x,y)$ は

$x=(-n x1 + mx2)/(m-n) , y=(-n y1 + my2)/(m-n)$

である．

問題4座標平面上の外分点

以下の点 $A, B$ について，それぞれ，線分 $AB$ を $3:1$ に外分する点 $P$ ， $2:3$ に外分する点 $Q$ ， $4:3$ に外分する点 $R$ の座標を求めよ．

$， A(2, 5)，B(3, 2)$
$， A( - 2, 3)，B(3, - 1)$

解答を見る

右図のように $P'$ は線分 $A'B'$ を $m :n$ に外分する点なので

$x=(-nx1 + mx2)/(m-n)$

であり， $y$ 座標の方も同様にして

$y=(-ny1 + my2)/(m-n)$

である．

解答を見る

点 $P$ は線分 $AB$ を $3:( - 1)$ に内分した点

点 $Q$ は線分 $AB$ を $( - 2):3$ に内分した点

点 $R$ は線分 $AB$ を $4:( - 3)$ に内分した点

と考えて，公式に当てはめればよい．

$P$ の座標は $(((-1)・2+3・3)/(3+(-1)), ((-1)・5+3・ 2)/(3+(-1)))$

次のような図を書いてみよう.

$Q$ の座標は $((3・2+(-2)・3)/((-2)+3), (3・5+(-2)・ 2)/((-2)+3))$

$R$ の座標は $(((-3)・2+4・ 3)/(4+(-3)), ((-3)・ 5+4・ 2)/(4+(-3)))$

なので $P (7/2, 12), Q (0, 11), R (6,-7)$
$P (11/2,-3),$ $Q (-12, 11),$

$R (18,-13)$

$P(((-1)・(-2)+3・3)/(3+(-1)). ,$

$.((-1)・3+3・(-1))/(3+(-1)))$

$Q((3・(-2)+(-2)・3)/((-2)+3). ,$

$.(3・3+(-2)・(-1))/((-2)+3))$

$R(((-3)・(-2)+4・ 3)/(4+(-3)). ,$

$.((-3)・ 3+4・(-1))/(4+(-3)))$

三角形の重心

どんな三角形でも，各頂点から引いた3本の中線は1点で交わる．この点を三角形の重心（centroid, center of gravity）という．図に示したように，重心は三角形の中線を $2:1$ に内分する．

以下では，座標平面上のにある三角形の重心の座標を求めてみよう．

△ABCの各頂点から対辺の中点へ引いた3本の中線が1点Gで交わっている。頂点Aからの線分は、点Gによって2対1の比に分けられている。

暗記3平面図形と座標

座標平面上に $，， A(x1, y1)，B(x2,y2)，C(x 3, y3)$ があり， $G$ を $△ABC$ の重心とする．

線分 $BC$ の中点を $N$ とする． $N$ の座標を求めなさい．
$G$ が線分 $AN$ を $2:1$ に内分する点であることを用い， $G$ の座標を求めなさい．

解答を見る

$N$ は $BC$ の中点なので， $((x2 +x3)/2, (y2 +y3)/2)$

$G$ の座標は

$((x1 + 2・(x2 +x3)/2)/(2+1). ,$

$.(y1 + 2・(y2 +y3)/2)/(2+1))$

座標平面上の内分点の座標

である．この $x$ 座標， $y$ 座標をそれぞれ計算して， $((x1 +x2 +x3)/3, (y1 +y2 +y3)/3)$ が $G$ の座標になる．

定理9座標平面上の三角形の重心の座標

座標平面上の3点 $，， A(x1, y1)，B(x2,y2)，C(x3, y3)$ について， $△ABC$ の重心 $G$ の座標は

$G((x1 +x2 +x3)/3, (y1 +y2 +y3)/3)$

である．

問題5三角形の重心

$，， A(3, 2)，B( - 1, 4)，C( - 3, - 5)$ に対し， $△ABC$ の重心 $G$ の座標を求めよ．
$，， A(1, a)，B(b, 2)，C(3, - 3)$ の重心が原点であるとき， $a, b$ の値を求めよ．

解答を見る

$G(x, y)$ とすると

$x=(3 +(-1) +(-3))/3=-1/3$

$y=(2 +4 +(-5))/3=1/3$
重心の座標が $(0, 0)$ なので

$((1 +b +3)/3, (a +2 +(-3))/3)=(0, 0)$

$\Leftrightarrow 1 +b +3 = 0 a +2 +(-3) = 0$

$∴(a, b) = (1,-4)$

最終更新: 2026-08-10

この節についてAIに質問する

この節に書かれている内容だけを根拠に答えます。個人情報は書かないでください。
送信のとき、機械による連投を防ぐ確認（Cloudflare Turnstile）を通します。

質問の内容

数学II 第2章 図形と方程式 — 数直線と座標平面上の点

数直線上の点

数直線上の2点間の距離

定理1数直線上の2点間の距離

内分・外分とは何か

定義2内分

定義3外分

数直線上の内分点の座標

定理4数直線上の内分点

数直線上の外分点の座標

暗記1数直線上の外分点

定理5数直線上の外分点

座標平面上の点

座標平面上の2点間の距離

定理6座標平面上の2点間の距離

問題12点間の距離

問題2中線定理の証明

座標平面上の内分点の座標

定理7座標平面上の内分点

問題3座標平面上の内分点

座標平面上の外分点の座標

暗記2座標平面上の外分点

定理8座標平面上の外分点

問題4座標平面上の外分点

三角形の重心

暗記3平面図形と座標

定理9座標平面上の三角形の重心の座標

問題5三角形の重心

この節についてAIに質問する

数学II 第2章図形と方程式 — 数直線と座標平面上の点