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数学II 第2章 図形と方程式 — 数直線と座標平面上の点

数直線上の点

数直線上の2点間の距離

数直線上の2点間の距離

まずは，数直線上の点に関する知識から確認していこう．

\FTEXT 数学Iでも学んだように，数直線上の2点間の距離は次のようになる.

定理1数直線上の2点間の距離 §

数直線上の2点間の距離は

である．

図

内分・外分とは何か

内分・外分とは何か

線分の分割を表すのに，内分と外分という2つの方法がある．

定義2内分 §

正の数とする． 線分上の点について

が成り立つとき，点は線分を に

内分（interior division）

するといい， 点のことを内分点という．

図
定義3外分 §

正の数とする． 線分の延長上の点について

が成り立つとき，点は線分を に

外分（exterior division）

するといい， 点のことを外分点という．

右図のように，点は

  1. のときは，線分のの方向への延長上
  2. のときは，線分のの方向への延長上

にある．

図 図

数直線上の内分点の座標

数直線上の2点に対して，線分を に内分する点の座標を求めてみよう．

だから

ここで，右図より

数直線上の内分点の座標の図その１
数直線上の内分点の座標の図その１
  1. のとき， だから

  1. のとき， だから

1)，2)のいずれにせよ，は

数直線上の内分点の座標の図その２
数直線上の内分点の座標の図その２

となる．

定理4数直線上の内分点 §

数直線上の2点に対し，線分を に内分する点の座標は

である．

数直線上の内分点の座標

分子の は，右図のように座標と比を交差して掛けたものを足し合わせたもの，と覚えるとよい．

特に，が中点のとき， より， である．

図

数直線上の外分点の座標

数直線上の外分点の座標

暗記1数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に， 数直線上の2点に対し，線分を に外分する点の座標は

であることを示せ．ただし， とする．

解答を見る

だから

ここで，右図より

数直線上の外分点の解答の図その１
数直線上の外分点の解答の図その１
  1. のとき， だから

  1. のとき， だから

数直線上の外分点の解答の図その２
数直線上の外分点の解答の図その２

1)，2)のいずれにせよ，は

である．

上の例題は の場合でも同様の結論になるので，次のようにまとめられる．

定理5数直線上の外分点 §

数直線上の2点に対し，線分を に外分する点の座標は

である．

数直線上の外分点の座標

は，分母分子に を掛けることにより，と表すこともできるので， 外分点の公式は， のうちどちらかにマイナスをつけて

内分点の

公式に代入すると覚えるとよい．

座標平面上の点

座標平面上の2点間の距離

座標平面上の2点間の距離について考えよう．

右図のように点をとると

なので，三平方の定理より

なので， となる．

図
定理6座標平面上の2点間の距離 §

座標平面上の2点間の距離は

である．

問題12点間の距離

2点が次の座標にあるとき，2点の間の距離を求めよ．

  2. ，
  3. ，
解答を見る
問題2中線定理の証明

において，辺の中点をとする．このとき

であることを，座標平面を用いて示せ．

解答を見る

点を右図のように座標平面上で ，，とおいても一般性を失わない． 座標平面状の2点間の距離を考えて

同様に

よって， が成り立つ．

この例題のように，座標を用いて幾何（図形） の証明問題を解くこともできる． このようなアプローチの幾何学を 座標幾何学（coordinate geometry）という

注 解析幾何（analytic geometry）ともいう． デカルトが自著において，この方法を最初に用いたとされる．

座標平面上の内分点の座標

2点に対して，線分を に内分する点の座標を求めてみよう．

右図のようには線分を に内分する点なので

であり，座標の方も同様にして

である．

図
定理7座標平面上の内分点 §

座標平面上の2点に対し，線分を に内分する点の座標は

である．

特に，が中点のとき， より， ， である．

問題3座標平面上の内分点

以下の点について，それぞれ，線分を に内分する点，線分を に内分する点， 線分の中点の座標を求めよ．

  2. ，
解答を見る
  1. 座標平面上の内分点の解答の図その１
    座標平面上の内分点の解答の図その１

    の座標は

    の座標は

    の座標はなので

  2. 座標平面上の内分点の解答の図その２
    座標平面上の内分点の解答の図その２

    の座標は

    の座標は

    の座標はなので

座標平面上の外分点の座標

暗記2座標平面上の外分点

座標平面上の内分点を参考に 座標平面上の2点に対し，線分を に外分する点の座標は

であることを示せ．

解答を見る

右図のようには線分を に外分する点なので

であり， 座標の方も同様にして

である．

図
解答を見る

点は線分を に内分した点 の方が小さいのでを 倍

点は線分を に内分した 点の方が小さいのでを 倍

点は線分を に内分した 点の方が小さいのでを 倍

と考えて，公式に当てはめればよい．

  1. 座標平面上の外分点の解答の図
    座標平面上の外分点の解答の図

    の座標は

    次のような図を書いてみよう.

    の座標は

    の座標は

    なので

定理8座標平面上の外分点 §

座標平面上の2点に対し，線分を に外分する点の座標は

である．

問題4座標平面上の外分点

以下の点について，それぞれ，線分を に外分する点， に外分する点， に外分する点の座標を求めよ．

  2. ，
解答を見る

右図のようには線分を に外分する点なので

であり， 座標の方も同様にして

である．

図
解答を見る

点は線分を に内分した点 の方が小さいのでを 倍

点は線分を に内分した 点の方が小さいのでを 倍

点は線分を に内分した 点の方が小さいのでを 倍

と考えて，公式に当てはめればよい．

  1. 座標平面上の外分点の解答の図
    座標平面上の外分点の解答の図

    の座標は

    次のような図を書いてみよう.

    の座標は

    の座標は

    なので

三角形の重心

どんな三角形でも，各頂点から引いた3本の中線は1点で交わる． この点を三角形の重心（centroid, center of gravity）という． 図に示したように，重心は三角形の中線を に内分する．

以下では，座標平面上のにある三角形の重心の座標を求めてみよう．

図
暗記3平面図形と座標

座標平面上にがあり，をの重心とする．

  1. 線分の中点をとする．の座標を求めなさい．
  2. が線分を に内分する点であることを用い，の座標を求めなさい．
解答を見る

  1. はの中点なので， 座標平面上の内分点の座標

  2. の座標は

    座標平面上の内分点の座標

である．この 座標， 座標をそれぞれ計算して， がの座標になる．

定理9座標平面上の三角形の重心の座標 §

座標平面上の3点について， の重心の座標は

である．

三角形の重心

三角形の重心の座標は三角形の3頂点の座標の平均だと覚えるとよい．

問題5三角形の重心
  1. ， に対し，の重心の座標を求めよ．
  2. の重心が原点であるとき，の値を求めよ．
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  1. とすると

  2. 重心の座標がなので

元記事: http://www.ftext.org/text/section/110（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08

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