数直線と座標平面上の点の練習問題（全8問・解答つき）

1. AB=√((5-1)²+(6-3)²)=5
2. AB=√({2-(-3)}²+{3-(-5)}²) =√89
3. AB=√((-2-6)²+{4-(-1)}²) =√89

線分の長さは座標軸のとり方によらないので、直線BCをx軸、BCの中点Mを原点にとり、 BC = 2c (c > 0)とおく。 点A, B, C, Mを座標平面上で A(a1, a2), B(-c, 0), C(c, 0), M(0, 0)とおいても一般性を失わない。 座標平面上の2点間の距離を考えて

AB²+AC² =(√(a1+c)²+a2²)² +(√(a1-c)²+a2²)² =a1²+2a1c+c²+a2² +a1²-2a1c+c²+a2² =2(a1²+a2²+c²)

同様に

2(AM² + MB²) =2{(√a1²+a2²)²+(√c²)²} =2(a1²+a2²+c²)

よって、 AB²+AC²=2(AM² + MB²)が成り立つ。

この例題のように、座標を用いて幾何（図形） の証明問題を解くこともできる。 このようなアプローチの幾何学を 座標幾何学（coordinate geometry）という

1. 

   Pの座標は((1・2+3・3)/(3+1), (1・5+3・2)/(3+1))

   Qの座標は((3・2+2・3)/(2+3), (3・5+2・2)/(2+3))

   Mの座標は((2+3)/2, (5+2)/2)なので

   P(11/4, 11/4)

   Q(12/5, 19/5)

   M(5/2, 7/2)

2. 

   Pの座標は((1・(-2)+3・3)/(3+1), (1・3+3・(-1))/(3+1))

   Qの座標は((3・(-2)+2・3)/(2+3), (3・3+2・(-1))/(2+3))

   Mの座標は((-2+3)/2, (3+(-1))/2)なので

   P(7/4, 0)

   Q(0, 7/5)

   M(1/2, 1)

3. P(9/4, -3)

   Q(6/5, -8/5)

   M(3/2, -2)

   Q((3・0+2・3)/(2+3), (3・0+2・(-4))/(2+3))

   M((0+3)/2, (0+(-4))/2)

点A, B, Qからx軸に下ろした垂線の足を、それぞれA', B', Q'とする。 AA' ∥ BB' ∥ QQ'より、 A'Q' : Q'B' = AQ : QB = m : nである。

次の図のようにQ'は線分A'B'を m :n に外分する点なので

x=(-nx1 + mx2)/(m-n)

であり、y 座標の方も同様にして

y=(-ny1 + my2)/(m-n)

である。

点Pは線分ABを 3:( − 1)に内分した点

点Qは線分ABを ( − 2):3に内分した 点

点Rは線分ABを 4:( − 3)に内分した 点

と考えて、公式に当てはめればよい。

1. 

   Pの座標は(((-1)・2+3・3)/(3+(-1)), ((-1)・5+3・ 2)/(3+(-1)))

   Qの座標は ((3・2+(-2)・3)/((-2)+3), (3・5+(-2)・ 2)/((-2)+3))

   Rの座標は (((-3)・2+4・ 3)/(4+(-3)), ((-3)・ 5+4・ 2)/(4+(-3)))

   なので P (7/2, 12), Q (0, 11), R (6,-7)

2. P (11/2,-3), Q (-12, 11),

   R (18,-13)

   .((-1)・3+3・(-1))/(3+(-1)))

   Q((3・(-2)+(-2)・3)/((-2)+3). ,

   .(3・3+(-2)・(-1))/((-2)+3))

   R(((-3)・(-2)+4・ 3)/(4+(-3)). ,

   .((-3)・ 3+4・(-1))/(4+(-3)))

1. G(x, y)とすると

   x=(3 +(-1) +(-3))/3=-1/3

   y=(2 +4 +(-5))/3=1/3

2. 重心の座標が(0, 0)なので

   ((1 +b +3)/3, (a +2 +(-3))/3)=(0, 0)

   ⇔ 1 +b +3 = 0 a +2 +(-3) = 0

   ∴(a, b) = (1,-4)