数直線と座標平面上の点の練習問題（全8問・解答つき）
数学II「数直線と座標平面上の点」（図形と方程式）の練習問題を8問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます
問題12点間の距離
2点A, Bが次の座標にあるとき，2点A, Bの間の距離を求めよ．
- A(1, 3)，B(5, 6)
- A( − 3, − 5)，B(2, 3)
- A(6, − 1)，B( − 2, 4)
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- AB=√((5-1)²+(6-3)²)=5
- AB=√({2-(-3)}²+{3-(-5)}²)
=√89
- AB=√((-2-6)²+{4-(-1)}²)
=√89
問題2中線定理の証明
△ABCにおいて，辺BCの中点をMとする．このとき
AB² + AC² =2(AM² + MB²)
であることを，座標平面を用いて示せ．
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点A，B，C，Mを右図のように座標平面上で A(a1, a2)，B(-c, 0)，C(c, 0)，M(0, 0)とおいても一般性を失わない． 座標平面上の2点間の距離を考えて
AB²+AC² =(√(a1+c)²+a2²)² +(√(a1-c)²+a2²)² =a1²+2a1c+c²+a2² +a1²-2a1c+c²+a2² =2(a1²+a2²+c²)
同様に
2(AM² + MB²) =2{(√a1²+a2²)²+(√c²)²} =2(a1²+a2²+c²)
よって， AB²+AC²=2(AM² + MB²)が成り立つ．
この例題のように，座標を用いて幾何（図形） の証明問題を解くこともできる． このようなアプローチの幾何学を 座標幾何学（coordinate geometry）という
問題3座標平面上の内分点
以下の点A, Bについて，それぞれ，線分ABを 3:1に内分する点P，線分ABを 2:3に内分する点Q， 線分ABの中点Mの座標を求めよ．
- A(2, 5)，B(3, 2)
- A( − 2, 3)，B(3, − 1)
- A(0, 0)，B(3, − 4)
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Pの座標は((1・2+3・3)/(3+1), (1・5+3・2)/(3+1))
Qの座標は((3・2+2・3)/(2+3), (3・5+2・2)/(2+3))
Mの座標は((2+3)/2, (5+2)/2)なので
P(11/4, 11/4)
Q(12/5, 19/5)
M(5/2, 7/2)
Pの座標は((1・(-2)+3・3)/(3+1), (1・3+3・(-1))/(3+1))
Qの座標は((3・(-2)+2・3)/(2+3), (3・3+2・(-1))/(2+3))
Mの座標は((-2+3)/2, (3+(-1))/2)なので
P(7/4, 0)
Q(0, 7/5)
M(1/2, 1)
P(9/4, -3)
Q(6/5, -8/5)
M(3/2, -2)
P((1・0+3・3)/(3+1), (1・0+3・(-4))/(3+1))
Q((3・0+2・3)/(2+3), (3・0+2・(-4))/(2+3))
M((0+3)/2, (0+(-4))/2)
問題4座標平面上の外分点
以下の点A, Bについて，それぞれ，線分ABを 3:1に外分する点P， 2:3に外分する点Q， 4:3に外分する点Rの座標を求めよ．
- A(2, 5)，B(3, 2)
- A( − 2, 3)，B(3, − 1)
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右図のようにP'は線分A'B'を m :n に外分する点なので
x=(-nx1 + mx2)/(m-n)
であり，y 座標の方も同様にして
y=(-ny1 + my2)/(m-n)
である．
解答を見る
点Pは線分ABを 3:( − 1)に内分した点 1の方が小さいので1を ( − 1)倍
点Qは線分ABを ( − 2):3に内分した 点2の方が小さいので2を ( − 1)倍
点Rは線分ABを 4:( − 3)に内分した 点3の方が小さいので3を ( − 1)倍
と考えて，公式に当てはめればよい．
Pの座標は(((-1)・2+3・3)/(3+(-1)), ((-1)・5+3・ 2)/(3+(-1)))
次のような図を書いてみよう.
Qの座標は ((3・2+(-2)・3)/((-2)+3), (3・5+(-2)・ 2)/((-2)+3))
Rの座標は (((-3)・2+4・ 3)/(4+(-3)), ((-3)・ 5+4・ 2)/(4+(-3)))
なので P (7/2, 12), Q (0, 11), R (6,-7)
P (11/2,-3),
Q (-12, 11),
R (18,-13)
P(((-1)・(-2)+3・3)/(3+(-1)). ,
.((-1)・3+3・(-1))/(3+(-1)))
Q((3・(-2)+(-2)・3)/((-2)+3). ,
.(3・3+(-2)・(-1))/((-2)+3))
R(((-3)・(-2)+4・ 3)/(4+(-3)). ,
.((-3)・ 3+4・(-1))/(4+(-3)))
問題5三角形の重心
- A(3, 2)，B( − 1, 4)，C( − 3, − 5)に対し，△ABCの重心Gの座標を求めよ．
- A(1, a)，B(b, 2)，C(3, − 3)の重心が原点であるとき，a, bの値を求めよ．
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G(x, y)とすると
x=(3 +(-1) +(-3))/3=-1/3
y=(2 +4 +(-5))/3=1/3
重心の座標が(0, 0)なので
((1 +b +3)/3, (a +2 +(-3))/3)=(0, 0)
⇔ 1 +b +3 = 0 a +2 +(-3) = 0
∴(a, b) = (1,-4)
覚えておきたい事項（3問）
暗記1数直線上の外分点
数直線上の内分点を参考に， 数直線上の2点A(x1)，B(x2)に対し，線分ABを m : n に外分する点Qの座標(x)は
x=(-n x1+mx2)/(m-n)
であることを示せ．ただし， x1 < x2とする．
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AQ:QB = m : n だから
nAQ = mQB 1
ここで，右図より
1) m > nのとき， x1 < x1 < xだから
AQ = x − x1，QB = x − x2
2) m < nのとき， x > x1 > x2だから
AQ=x1 − x，QB=x2 – x
1)，2)のいずれにせよ，は
n(x-x1)=m(x-x2),
⇔ (m-n)x=-nx1+mx2
∴x=(-nx1 + mx2)/(m-n)
である．
上の例題は x1 > x2の場合でも同様の結論になるので，次のようにまとめられる．
暗記2座標平面上の外分点
座標平面上の内分点を参考に 座標平面上の2点A(x1,y1)，B(x2,y2)に対し，線分ABを m : n に外分する点Qの座標(x,y)は
x=(-n x1 + mx2)/(m-n), y=(-n y1 + my2)/(m-n)
であることを示せ．
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右図のようにP'は線分A'B'を m :n に外分する点なので
x=(-nx1 + mx2)/(m-n)
であり，y 座標の方も同様にして
y=(-ny1 + my2)/(m-n)
である．
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点Pは線分ABを 3:( − 1)に内分した点 1の方が小さいので1を ( − 1)倍
点Qは線分ABを ( − 2):3に内分した 点2の方が小さいので2を ( − 1)倍
点Rは線分ABを 4:( − 3)に内分した 点3の方が小さいので3を ( − 1)倍
と考えて，公式に当てはめればよい．
-
Pの座標は(((-1)・2+3・3)/(3+(-1)), ((-1)・5+3・ 2)/(3+(-1)))
次のような図を書いてみよう.
Qの座標は ((3・2+(-2)・3)/((-2)+3), (3・5+(-2)・ 2)/((-2)+3))
Rの座標は (((-3)・2+4・ 3)/(4+(-3)), ((-3)・ 5+4・ 2)/(4+(-3)))
なので P (7/2, 12), Q (0, 11), R (6,-7)
P (11/2,-3),
Q (-12, 11),
R (18,-13)
P(((-1)・(-2)+3・3)/(3+(-1)). ,
.((-1)・3+3・(-1))/(3+(-1)))
Q((3・(-2)+(-2)・3)/((-2)+3). ,
.(3・3+(-2)・(-1))/((-2)+3))
R(((-3)・(-2)+4・ 3)/(4+(-3)). ,
.((-3)・ 3+4・(-1))/(4+(-3)))
暗記3平面図形と座標
座標平面上にA(x1, y1)，B(x2,y2)，C(x 3, y3)があり，Gを△ABCの重心とする．
- 線分BCの中点をNとする．Nの座標を求めなさい．
- Gが線分ANを 2:1に内分する点であることを用い，Gの座標を求めなさい．
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NはBCの中点なので，((x2 +x3)/2, (y2 +y3)/2) 座標平面上の内分点の座標
Gの座標は
((x1 + 2・(x2 +x3)/2)/(2+1). ,
.(y1 + 2・(y2 +y3)/2)/(2+1)) 座標平面上の内分点の座標
である．このx 座標，y 座標をそれぞれ計算して， ((x1 +x2 +x3)/3, (y1 +y2 +y3)/3)がGの座標になる．