数学B 第5章 平面ベクトルと平面図形 — 平面ベクトルの1次独立

ベクトルの1次結合の定義

ベクトルの1次結合の定義

§

定義11 次結合の定義

2 つのベクトル, に対して,適当な実数を用いて

と表されるベクトルのことを,1 次結合(linear combination) という.

たとえば,右図において, の1 次結合で表すと

となる.

このように,あるベクトルを2 つの で表すことを, へのベクトルの分解(resolution) という.

平行四辺形の網目格子の中に、点Oを始点とする2つのベクトルaとベクトルbが描かれている。さらに、これらを伸ばして足し合わせた点Pと点Qへ向かうベクトルOPとベクトルOQが示されている。

ベクトルの1次独立の定義

ベクトルの1次独立の定義

§

定義21 次独立の定義

1 次独立(linearly independent)である」とは

を満たす実数 のときに限る,ことである.

方眼の上に、同じ点を始点とする2つのベクトルaとベクトルbがある。ベクトルaは右へ4マス・上へ1マス、ベクトルbは右へ1マス・上へ3マス進む向きを指している。

たとえば,右図のように平行でない では

となる のときに限られるので,は1 次独立である.

方眼上に、同じ始点から同じ方向に伸びる平行なベクトルaとベクトルbが描かれている。ベクトルaは右に4マス上に2マス、ベクトルbは右に6マス上に3マス進む矢印である。

また,左図のように平行な では, のとき以外にも,たとえば のときにも

を満たすので, は1 次独立であるとはいえない.

つまり,次のようなことがいえる.

§

定理31 次独立なベクトルと平行でないベクトル

が1 次独立であるならば, は平行でない.逆に, が平行でなければ, は1 次独立である.

つまり

が1 次独立」

である.

証明は背理法による.

1次独立な平面ベクトルに関する定理

1次独立な平面ベクトルに関する定理

1 次独立なベクトルの1 次結合に関して,次の定理が成り立つ.

§

定理41 次独立な平面ベクトルに関する定理

ある が,1 次独立な2 つのベクトル の1 次結合で

と2 通りに表されたとする.このとき

\begin{eqnarray} \left{ \right. \end{eqnarray}

が成り立つ.つまり, は1 通りでしか表せない.

証明

と表されるので

ここで, は1 次独立であるから,その定義より

\begin{eqnarray} \left{ \right. \Longleftrightarrow \left{ \right. \end{eqnarray}

問題1重心の定理

の重心を とし,辺 の中点を,辺 の中点を とするとき

であることを,ベクトルの1 次独立を用いて証明せよ.

解答を見る

とおく.

まず, は線分 上にあるから, とおくと

と表すことができる.

また,は線分上にあるから, とおくと

と表すことができる.

いま, は1 次独立であるから, より

\begin{eqnarray} \left{ \right. \Longleftrightarrow \left{ \right. \end{eqnarray}

よって

問題2角の二等分線の定理

である において,の2 等分線と辺 の交点を するとき

であることを,ベクトルの1 次独立を用いて証明せよ.

解答を見る

とおく.

まず,直線 の二等分線なので,適当な実数 を用いて

これを角の二等分ベクトル(anglebisection vector) という.

と表すことができる.

また,点 は辺 上の内分点なので, とおくと

と表すことができる.

いま, は1 次独立であるから, より

\begin{eqnarray} \left{ \right. \Longleftrightarrow \left{ \right. \end{eqnarray}

よって

問題3直線の交点の位置ベクトル

において,辺 に内分する点を,辺 に内分する点をとし,線分 と線分 の交点を とする. を用いて表せ.

解答を見る

を基準にした位置ベクトルを考えてみる.

まず,点 は線分 上にあるから, とおくと

と表すことができる.

また,点 は辺上にあるから, とおくと

と表すことができる.

いま, は1 次独立であるから,より

\begin{eqnarray} \left{ \right. \Longleftrightarrow \left{ \right. \end{eqnarray}

よって

最終更新: 2026-08-10

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