平面ベクトルの1次独立の練習問題（全3問・解答つき）

AB = b, AC = c とおく。

まず、G は線分CD 上にあるから、 CG : GD = s : 1 – sとおくと

AG = sAD + (1 − s)AC （注）『内分点の位置ベクトル』 ⇔ AG= s ・ (1/2)b + (1 − s) ・ c ⇔ AG = (s/2)b + (1 − s)c ①

と表すことができる。

また、Gは線分BE上にあるから、 BG : GE = t : 1 – tとおくと

AG = (1 − t)AB + tAE （注）『内分点の位置ベクトル』 ⇔ AG = (1 − t) ・ b + t ・ (1/2)c ⇔ AG = (1 − t)b + (t/2)c ②

と表すことができる。

いま、b とc は1 次独立であるから、 ①, ②より

\begin{eqnarray} \left{ s/2= 1 – t 1 − s = t/2 \right. \Longleftrightarrow \left{ s = 2/3 t = 2/3 \right. \end{eqnarray}

よって

CG : GD = 2/3: 1 – 2/3 = 2/3: 1/3 = 2 : 1

AB = b, AC = c とおく。このとき |b| = AB = c, |c| = AC = b であり、長さを表すb, c とは入れかわっていることに注意する。

まず、直線AD は∠BAC の二等分線なので、適当な実数s を用いて

AD = s((1/c)AB + (1/b)AC)

これを角の二等分ベクトル(anglebisection vector) という。

⇔ AD = (s/c)AB + (s/b)AC ⇔ AD = (s/c)b + (s/b)c ①

と表すことができる。

また、点D は辺BC 上の内分点なので、 BD : DC = t :1 − tとおくと

AD = (1 − t)AB + tAC ⇔ AD = (1 − t)b + tc ②

と表すことができる。

いま、b とc は1 次独立であるから、 ①, ②より

\begin{eqnarray} \left{ s/c= 1 – t s/b= t \right. \Longleftrightarrow \left{ s = bc/(b+c) t = c/(b+c) \right. \end{eqnarray}

よって

BD : DC = c/(b+c): 1 − c/(b+c) = c/(b+c): b/(b+c) = c : b

O を基準にした位置ベクトルを考えてみる。

まず、点P は線分BM 上にあるから、 BP : PM = s : 1−sとおくと

OP = sOM + (1 − s)OB （注） 『内分点の位置ベクトル』 ⇔ OP = s ・ (2/5)OA+ (1 − s)OB ⇔ OP = (2s/5)a + (1 − s)b ①

と表すことができる。

また、点P は辺AN上にあるから、 AP : PN = t : 1 − tとおくと

OP = (1 − t)OA + tON （注） 『内分点の位置ベクトル』 ⇔ OP = (1 − t)OA + t ・ (4/7)OB ⇔ OP = (1 − t)a + (4t/7)b ②

と表すことができる。

いま、a とb は1 次独立であるから、①, ②より

\begin{eqnarray} \left{ 2s/5= 1 – t 1-s= 4t/7 \right. \Longleftrightarrow \left{ s = 5/9 t = 7/9 \right. \end{eqnarray}

よって

OP =(2/9)a +(4/9)b