平面ベクトルの1次独立の練習問題（全3問・解答つき）

AB = b，AC = c とおく．

まず，G は線分CD 上にあるから， CG : GD = s : 1 – sとおくと

AG = sAD + (1 − s)AC 『内分点の位置ベクトル』 ⇔ AG= s ・ 1/2b + (1 − s) ・ c ⇔ AG = s/2b + (1 − )c 1

と表すことができる．

また，Gは線分BE上にあるから， BG : GE = t : 1 – tとおくと

AG = (1 − t)AB + tAE 『内分点の位置ベクトル』 ⇔ AG = (1 − t) ・ b + t ・ 1/2c ⇔ AG = (1 − t)b + t/2c 2

と表すことができる．

いま，a とb は1 次独立であるから， ，より

\begin{eqnarray} \left{ s/2= 1 – t 1 − s = t/2 \right. \Longleftrightarrow \left{ s = 2/3 t = 2/3 \right. \end{eqnarray}

よって

CG : GD = 2/3: 1 – 2/3 = 2/3: 1/3 = 2 : 1．

AB = b，AC = c とおく．

まず，直線AD は∠BAC の二等分線なので，適当な実数s を用いて

AD = s(1/cAB + 1/bAC)

1/cAB， 1/bAC は大きさが1 で等しいので 1/cAB+ 1/bACは∠BACを2 等分する直線上にある．

これを角の二等分ベクトル(anglebisection vector) という．

⇔ AD = s/cAB + s/bAC ⇔ AD = s/cb + s/bc 1

と表すことができる．

また，点D は辺BC 上の内分点なので， BD : DC = t :1 − tとおくと

AD = (1 − t)AB + tAC ⇔ AD = (1 − t)b + tc 2

と表すことができる．

いま，a とb は1 次独立であるから， ，より

\begin{eqnarray} \left{ s/c= 1 – t s/b= t \right. \Longleftrightarrow \left{ s = bc/(b+c) t = c/(b+c) \right. \end{eqnarray}

よって

BD : DC = c/(b+c): 1 − c/(b+c) = c/(b+c): b/(b+c) = c : b

O を基準にした位置ベクトルを考えてみる．

まず，点P は線分BM 上にあるから， BP : PM = s : 1−sとおくと

OP = sOM + (1 − s)OB 『内分点の位置ベクトル』 ⇔ OP = s ・ 2/5OA+ (1 − s)OB ⇔ OP = 2s/5a + (1 − s)b 1

と表すことができる．

また，点P は辺AN上にあるから， AP : PN = t : 1 − tとおくと

OP = (1 − t)OA + tON 『内分点の位置ベクトル』 ⇔ OP = (1 − t)OA + t ・ 4/7OB ⇔ OP = (1 − t)a + 4t/7b 2

と表すことができる．

いま，a とb は1 次独立であるから，，より

\begin{eqnarray} \left{ 2s/5= 1 – t 1-s= 4t/7 \right. \Longleftrightarrow \left{ s = 5/9 t = 7/9 \right. \end{eqnarray}

よって

OP =2/9a +4/9b