数学B 第5章 平面ベクトルと平面図形 — 内分点・外分点の位置ベクトル

内分点の位置ベクトルの式から

OX = (nOA + mOB)/(m + n) = (n/(m + n))OA +(( m)/(m + n))OB

であり、これに OA =(ax,ay), OB =(bx,by)を用いて

OX = n/(m + n)(ax,ay)+m/(m + n)(bx,by) = 1/(m + n)(nax,nay)+ 1/(m + n) (mbx,mby) = 1/(m + n) (nax + mbx,nay + mby)

よって、点X の座標は( (nax + mbx)/(m + n) , (nay + mby)/(m + n) ) となる。

また、外分点の位置ベクトルの式から

OY =(−nOA + mOB)/(m – n) =((−n)/(m – n))OA + (m/(m – n))OB

であり、これに OA =(ax,ay), OB =(bx,by)を用いて

OY =(-n)/(m – n)(ax,ay)+ m/(m – n)(bx,by) =1/(m – n)(-nax,-nay)+ 1/(m – n) (mbx,mby) = 1/(m – n) (−nax + mbx,−nay + mby)

よって、点Y の座標は( (−nax + mbx)/(m – n) ,(−nay + mby)/(m – n)) となる。

上の例題の結果は、FTEXT数学II の『図形と方程式』でみた結果と一致する。

1. 辺BC の中点をM とおくと、中点の定義より BM :CM = 1 : 1 であるから

   AM = (1/2)AB + (1/2)AC

   また、重心G は中線AM 上にあり、重心の性質より AG : GM = 2 : 1であるから

   AG = (2/3)AM = 2/3((1/2)AB + (1/2)AC) = (1/3)AB + (1/3)AC

   よって、 AG =1/3AB + 1/3ACとなる。

2. OG =OA +AG であるから

   OG = a + (1/3)AB + (1/3)AC = a + 1/3(b − a)+ 1/3(c − a) = (1/3)a + (1/3)b + (1/3)c

   よって、 g =(1/3)a + (1/3)b + (1/3)cとなる。

1. 直線AIと線分BC の交点をDとすると、内心の定義より ∠BAD = ∠CADである。よって、角の二等分線の定理より BD : DC = c : b となるから

   AD = (b/(b + c))AB + (c/(b + c))AC

   であり

   BD = c/(b + c)・ a = ac/(b + c)

   である。

   また、内心の定義より ∠ABI = ∠DBI である。よって、角の二等分線の定理より

   AI : ID = AB : BD = c : ac/(b + c) = b + c : a

   である。

   以上より

   AI = (AI/AD)AD = (b + c)/(a + b + c) ・ ((b/(b + c))AB + (c/(b + c))AC) =(b/(a + b + c))AB + (( c)/(a + b + c))AC よって、 AI =(b/(a + b + c))AB + (( c)/(a + b + c))ACとなる。

2. OI =OA +AIであるから

   OI = a + (b/(a + b + c))AB + (( c)/(a + b + c))AC = a +( b)/(a + b + c)(b − a) + ( c)/(a + b + c)(c − a) =(a/(a + b + c))a + (b/(a + b + c))b + (( c)/(a + b + c))c

   よって

   i =(a/(a + b + c))a+ (b/(a + b + c))b + (( c)/(a + b + c))c

   となる。