数学B 第5章 平面ベクトルと平面図形 — 内分点・外分点の位置ベクトル

内分点の位置ベクトルの式から

OX = (nOA + mOB)/(m + n) = n/(m + n)OA +( m)/(m + n)OB

であり，これに OA =(ax,ay)，OB =(bx,by)を用いて

OX = n/(m + n)(ax,ay)+m/(m + n)(bx,by) = 1/(m + n)(nax,nay)+ 1/(m + n) (mbx,mby) = 1/(m + n) (nax + mbx,nay + mby)

よって，点X の座標は( (nax + mbx)/(m + n) , (nay + mby)/(m + n) ) となる．

また，外分点の位置ベクトルの式から

OY =(−nOA + mOB)/(m – n) =(−n)/(m – n)OA + m/(m – n)OB

であり，これに OA =(ax,ay)，OB =(bx,by)を用いて

OX =(-n)/(m – n)(ax,ay)+ m/(m – n)(bx,by) =1/(m – n)(-nax,-nay)+ 1/(m – n) (mbx,mby) = 1/(m – n) (−nax + mbx,−nay + mby)

よって，点Y の座標は( (−nax + mbx)/(m – n) ,(−nay + mby)/(m – n)) となる．

上の例題の結果は，FTEXT数学II の『図形と方程式』でみた結果と一致する．

1. 辺BC の中点をM とおくと，重心の定義より BM :CM = 1 : 1 であるから

   AM = 1/2AB + 1/2AC

   また，重心の性質より AG : GM = 2 : 1であるから

   AG = 2/3AM = 2/3(1/2AB + 1/2AC) = 1/3AB + 1/3AC

   よって， AG =1/3AB + 1/3ACとなる．

2. OG =OA +AG であるから

   OG = a + 1/3AB + 1/3AC = a + 1/3(b − a)+ 1/3(c − a) = 1/3a + 1/3b + 1/3c

   よって， g =1/3a + 1/3b + 1/3cとなる．

1. 直線AIと線分BC の交点をDとすると，内心の定義より ∠BAD = ∠CADである．よって，角の二等分線の定理より BD : DC = c : b となるから

   AD = b/(b + c)AB + c/(b + c)AC

   であり

   BD = c/(b + c)・ a = ac/(b + c)

   である．

   また，内心の定義より ∠ABI = ∠DBI である．よって，角の二等分線の定理より

   AI : ID = AB : BD = c : ac/(b + c) = b + c : a

   である．

   以上より

   AI = AI/ADAD = (b + c)/(a + b + c) ・ (b/(b + c)AB + c/(b + c)AC) =b/(a + b + c)AB + ( c)/(a + b + c)AC よって， AI =b/(a + b + c)AB + ( c)/(a + b + c)ACとなる．

2. OI =OA +AIであるから

   OI = a + b/(a + b + c)AB + ( c)/(a + b + c)AC = a +( b)/(a + b + c)(b − a) + ( c)/(a + b + c)(c − a) =a/(a + b + c)a + b/(a + b + c)b + ( c)/(a + b + c)c

   よって

   i =a/(a + b + c)a+ b/(a + b + c)b + ( c)/(a + b + c)c

   となる．