数学B 第5章平面ベクトルと平面図形 — 位置ベクトル

位置ベクトルの定義

平面上で，基準とする点 $O$ をあらかじめ定めておくと，任意の点 $P$ の位置は

$p =OP$

という $p$ によって表すことができる．

この $p$ を，点 $O$ に関する点 $P$ への位置ベクトル(position vector) という．また，位置ベクトルが $p$ である点 $P$ を， $P (p)$ と表す．

点 $O$ に関して，2 点 $， A，B$ がそれぞれ， $， A(a)，B(b)$ であるとき

$AB =OB -OA$ であるから， $AB$ は $AB = b - a$

と表される．

つまり， $AB$ は「終点 $B$ の位置ベクトルから，始点 $A$ の位置ベクトルを引いた差」に等しい．

座標平面内で原点 $O$ を基準にとると，平面上の任意の点 $P(x0, y0)$ への位置ベクトル $p$ は， $p =(x0,y0)$ となる．

実際，成分は「終点の座標から始点の座標を引いたもの」であり， $p =OP$ の始点は原点 $O(0, 0)$ ，終点は点 $P(x0, y0)$ であるから， $p =(x0 - 0,y0 - 0)=(x0,y0)$ である．

また，逆に原点 $O$ に関する点 $P$ の位置ベクトル $p$ が $p =(x0,y0)$ であるとき，点 $P$ の座標は $(x0, y0)$ となる（上の式を逆にたどればよい）．

つまり

$「点の座標がである」「原点に関する点への位置ベクトルはである」「点P の座標が(x0, y0) である」 \Leftrightarrow 「原点O に関する点P への位置ベクトルは p =(x0,y0)である」$

となる．

$， a =(1,2)，b =(-4,-1)$ とする．

座標平面上の点 $A(3, 1)$ から $3a + 2b$ だけ移動した点 $P$ の座標を求めよ．

解答を見る

まず， $AP = 3a + 2b$ であるから

$AP = 3 (1,2)+ 2 (-4,-1) = (3,6)+ (-8,-2) = (3 - 8,6 - 2) = (-5,4)$

また， $AP =OP -OA$ であるから

$OP =AP +OA =(-5,4)+ (3,1) = (-5 + 3,4 + 1)= (-2,5)$

よって， $OP =(-2,5)$ であるから，点 $P$ の座標は $(-2, 5)$ である．

最終更新: 2026-08-12

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