数学II 第5章 対数と対数関数 — 対数の計算法則

対数の計算に関して、大変興味深いいくつかの計算方法が成り立つ。ここでは、その計算方法について見ていこう。

和と差に関する対数の性質

和と差に関する対数の性質について

常用対数表には,を底とする対数の概算値がまとめてある. この表によれば

なので

が成り立っているのがわかる. このような関係が成り立つのは偶然ではなく,一般的には次のようにまとめられる.

§

定理1和と差に関する対数の性質

を満たし, とするとき

  • 1'.

が成り立つ.

たとえば, などもいえる.

暗記1和と差に関する対数の性質の証明

実数に拡張された指数法則

  • 1'.

に,を底とする対数を考えることにより,和と差に関する対数の性質

  • 1’.

を証明せよ.

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  • 1.指数法則 ,において,を底とする対数をとると

ここで, とおくと, なので

  • 1' 指数法則 において,を底とする対数をとると

ここで, とおくと, なので

問題1和と差に関する対数の性質の練習

とするとき,次の対数をで表せ.

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,

,

実数倍に関する対数の性質

実数倍に関する対数の性質について

常用対数表の表によれば

なので

が成り立っているのがわかる. このような関係が成り立つのは偶然ではなく,一般的には次のようにまとめられる.

§

定理2実数倍に関する対数の性質

を満たし, は任意の実数のとき

が成り立つ.

たとえば, などもいえる.

暗記2実数倍に関する対数の性質の証明

実数に拡張された指数法則

に,を底とする対数を考えることにより,実数倍に関する対数の性質

  • 2'.

を証明せよ.

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  • 2.指数法則 において,を底とする対数をとると

ここで, とおくと, なので

問題2対数の計算-その1-

次の式を簡単にせよ.

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  1. 式を変形すると

  2. 式を変形すると

  3. 式を変形すると

  4. 式を変形すると

底の変換公式

底の変換公式について

ある対数の値は,底の違う別の対数の比で表すことができ

となる.

この式を使えば,たとえば底がの対数であるも,常用対数表をもちいて

と計算することができる.

§

定理3底の変換公式

は正の数で, のとき

が成り立つ.特に, のとき, である.

この公式を使うことにより,底の違う対数の和や差も,底をそろえ,計算できるようになる. これについては後の例題でみる.

暗記3底の変換公式の証明

が成り立っているとして,を底とする対数を考えることにより,底の変換公式

を証明せよ. ただし,は正の数であり, とする.

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  • 3.の証明

において,を底とする対数を考えると

いま, より なので, が成立する.

問題3対数の証明-その2-

次の式を簡単にせよ.

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  1. 式を変形すると

  1. 式を変形すると

底の変換公式この問いのように対数の底が異なる場合は,まず底をそろえることを考えるとよい

  1. 式を変形すると

  1. 式を変形すると

問題4底の変換公式の活用

次の問いに答えよ.

  1. を証明せよ. ただし,は正の数とし, とする.

  2. 1.を利用して

    を計算せよ.

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  1. 式を変形すると

  1. 式を変形すると

対数と指数の関係

対数と指数の関係について

が成り立つとき,対数の定義より である. この に代入することにより

が成り立つ.

この式が成り立つ理由は次のように考えられる.

まず,対数の定義から 「は何乗するとになるのか?」という問いの答えであった. そして,その値を実際に の指数としてもちいるのだから,それがになるのは当然である.

§

定理4対数と指数の関係

を満たし, のとき

が成り立つ.

問題5対数と指数の関係の利用

次の式を簡単にせよ.

解答を見る
  1. 式を変形すると

  1. 式を変形すると

最終更新: 2026-08-13

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