対数の計算法則の練習問題（全8問・解答つき）
数学II「対数の計算法則」（対数と対数関数）の練習問題を8問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます
問題1和と差に関する対数の性質の練習
a = log102，b = log103とするとき，次の対数をa，bで表せ．
- log1012
- log105
- log101/30
- log10225
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log1012=log10(2・2・3) =log102+log102+log103 =2a+b 和と差に関する対数の性質
log105=log1010/2
=log1010-log102和と差に関する対数の性質
=1-a log1010 = 1 である
log101/30=log101/2・3・5
=log101-log10(2・3・5) 和と差に関する対数の性質
=0-(log102+log103+log105) 和と差に関する対数の性質
=-{a+b+(1-a)} 2.より
=-1-b
log10225=log10(5・5・3・3)
=log105+log105+log103+log103, 和と差に関する対数の性質
=(1-a)+(1-a)+b+b, 2.より
=2-2a+2b
問題2対数の計算-その1-
次の式を簡単にせよ．
- log1025+log104
- log545+2log55/3
- log372-3log32
- log2√5-1/2log21/2-3/2log2√[3]10
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- 式を変形すると
log1025+log104
=log10(25×4) 和と差に関する対数の性質
=log1010²=2 対数の定義
- 式を変形すると
log545+2log55/3
=log545+log5(5/3)² 実数倍に関する対数の性質
=log545+log525/9
=log545×25/9 和と差に関する対数の性質
=log55³=3 対数の定義
- 式を変形すると
log372-3log32
=log372-log32³ 実数倍に関する対数の性質
=log372/8 和と差に関する対数の性質
=log33²=2 対数の定義
- 式を変形すると
log2√5-1/2log21/2-3/2log2√[3]10
=log25¹/2-log2(1/2)¹/2-log2(10¹/3)³/2 実数倍に関する対数の性質
=log25¹/2-log21/(2¹/2)-log210¹/2
=log2(5¹/2)/(2¹/2×10¹/2) 和と差に関する対数の性質
=log2(5¹/2)/(2¹/2×2¹/2×5¹/2)
=log22^-1=-1
問題3対数の証明-その2-
次の式を簡単にせよ．
- log9√27
- log26-log49
- log26-log2√27+log412
- (log29+log83)(log316+log94)
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- 式を変形すると
log9√27
=log93³/2
=3/2log93 実数倍に関する対数の性質
=3/2log99¹/2 log93=x ⇔ 9^x=3 ⇔ 3^2x=3として x=1/2を求めてもよい
=3/2・1/2=3/4
- 式を変形すると
log26-log49
=log26-log29/log24
△底の変換公式この問いのように対数の底が異なる場合は，まず底をそろえることを考えるとよい
=log26-1/2log29
=log26-log29¹/2 実数倍に関する対数の性質
=log26-log23
=log26/3 和と差に関する対数の性質
=log22=1
- 式を変形すると
log26-log2√27+log412
=log26-log23√3+log212/log24 底の変換公式底を2でそろえた
=log26-log23√3+1/2log212
=log26-log23√3+log212¹/2 実数倍に関する対数の性質
=log26-log23√3+log22√3
=log26・2√3/3√3 和と差に関する対数の性質
=log22²=2
- 式を変形すると
(log29+log83)底を2でそろえる (log316+log94)底を3でそろえる =(log23²+log23/log22³) ・(log32⁴+log32²/log33²) 底の変換公式参照 =(2log23+log23/3) ・(4log32+log32) =7/3log23・5log32 =35/3log23・1/log23 底の変換公式参照 次の例題も参考 =35/3
問題4底の変換公式の活用
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- 式を変形すると
logab・logbc =logab・logac/logab =logac 底の変換公式
- 式を変形すると
log23・log35・log58・log816
=log25・log58・log816 1.より
=log28・log816 1.より
=log216=4 1.より
問題5対数と指数の関係の利用
次の式を簡単にせよ．
- 16^log23
- 25^log1/54
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- 式を変形すると
16^log23=2^4log23
=2^log23⁴ 実数倍に関する対数の性質
=3⁴ 対数と指数の関係
=81
- 式を変形すると
25^log1/54=(1/5)^-2log1/54
=(1/5)^log1/54^-2 実数倍に関する対数の性質
=4^-2 対数と指数の関係
=1/16
覚えておきたい事項（3問）
暗記1和と差に関する対数の性質の証明
実数に拡張された指数法則
- a^xa^y=a^x+y
- 1'. a^x/a^y=a^x-y
に，aを底とする対数を考えることにより，和と差に関する対数の性質
- logaMN=logaM+logaN
- 1’. logaM/N=logaM-logaN
を証明せよ．
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- 1.指数法則 a^xa^y=a^x+y,において，aを底とする対数をとると 指数法則を対数の世界から眺めるため対数をとった
logaa^xa^y=logaa^x+y ⇔ logaa^xa^y=x+y 対数の定義
ここで， a^x = M，a^y = Nとおくと， x = logaM，y = logaNなので 対数の定義
logaMN=logaM+logaN
- 1' 指数法則 a^x/a^y=a^x-yにおいて，aを底とする対数をとると 指数法則を対数の世界から眺めるため対数をとった
logaa^x/a^y=logaa^x-y ⇔ logaa^x/a^y=x-y 対数の定義
ここで， a^x = M，a^y = Nとおくと， x = logaM，y = logaNなので 対数の定義
logaM/N=logaM-logaN
暗記2実数倍に関する対数の性質の証明
実数に拡張された指数法則
に，aを底とする対数を考えることにより，実数倍に関する対数の性質
を証明せよ．
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- 2.指数法則 (a^x)^y = a^xyにおいて，aを底とする対数をとると 指数を法則を対数の世界から眺めるため対数をとった
loga(a^x)^y=logaa^xy ⇔ loga(a^x)^y=xy 対数の定義
ここで， a^x = M，y = rとおくと， x = logaMなので 対数の定義
logaM^r=rlogaM
暗記3底の変換公式の証明
a^x = bが成り立っているとして，cを定数とする対数を考えることにより，底の変換公式
を証明せよ． ただし，a，b，cは正の数であり， a≠1，c≠1とする．
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a^x = bにおいて，cを底とする対数を考えると
logca^x=logcb ⇔ xlogca=logcb ⇔ x=logcblogca 実数倍に関する対数の性質
いま， a^x = bより logab = xなので， logab=logcblogcaが成立する．