数学I 第6章 平面図形・空間図形の計量 — 三角比の応用

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ここでは、三角形の分析を行うための基本ツールである、正弦定理や余弦定理などを学んでいこう。

三角形の面積と三角比

三角形の面積

△ABC の面積を、2辺の長さ a、b と、その間の角度 θ を用いて表すことを考えてみよう。次の1つめの図は θ が鋭角の場合、次の2つめの図は θ が鈍角の場合を表している。

前の図の三角形において、底辺を a とすれば高さは h であるから、三角形の面積 S はどちらも S=ah/2 である。

ここで高さ h は、上の1つめの図では、 h=bsinθ であり、上の2つめの図でも h=bsin(180°-θ)=bsinθ である。すなわち、θ が鋭角、鈍角のどちらの場合でも、高さは h=bsinθ となり S=ah/2=a・bsinθ2=(1/2)absinθ と表すことができる（これは、 θ=90° の直角三角形の場合も含んでいる）。

§

定理1三角形の面積

図の三角形の面積 S は S=(1/2)absinθ で表せる。

正弦定理

正弦定理について

三角形の3つの頂点を通る円を、その三角形の外接円 (circumscribed circle) という。1つの三角形に対し、外接円は1つに定まる。

いま、図のような三角形とその外接円を考える。

このとき、外接円の半径を R とすると a/sinA=2R が成り立つ。これを、正弦定理 (sine theorem) という。この式が成り立つことを、∠A が鋭角、直角、鈍角の場合に分けて以下にみていこう。

1. ∠A が鋭角のとき

   図のように、△ABC に外接する円に、直径 BD を引くと、下図のようになる。

   

   

   いま、BD は直径であるから、半円の弧に対する円周角より ∠BCD=90° となる。よって、図の △DBC は直角三角形となるから sinD=a/2R であり、円周角の定理より A=D であるから sinA=a/2R ∴a/sinA=2R となり成立。

2. ∠A が直角のとき

   A=90° であるから、弧 BC に対する中心角は円周角 A の2倍の 180° となり、BC は外接円の直径である。よって、 sinA=1,a=2R であるから

   

   a/sinA=a/1=2R となり成立。

暗記1正弦定理の導出

上の続きとして、∠A が鈍角のとき正弦定理が成り立つことを証明せよ。

解答を見る

△ABC に外接する円に、直径 BD を引くと、図のようになる。

いま、BD は直径であるから、半円の弧に対する円周角より ∠BCD=90° となる。よって、図の △DBC は直角三角形となるから sinD=a/2R であり、円に内接する四角形の性質から A=180°-D であるから sin(180°-A)=sinA=a/2R ∴a/sinA=2R となり成立。

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定理2正弦定理

△ABC において a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R が成り立つ。

ただし、R は △ABC の外接円の半径とする。

問題1正弦定理の利用～その1～

△ABC において、 a=12、 A=45°、 B=60° のとき、b の値を求めよ。また、△ABC の外接円の半径を求めよ。

解答を見る

正弦定理より、 a/sinA=b/sinB であるから b=asinB/sinA =12sin60°/sin45° =(12×√3/2)/(√2/2) =6√6 同じく正弦定理より、 2R=a/sinA であるから R=a/2sinA =12/2sin45° =12/(2×√2/2) =12/√2 =6√2

問題2正弦定理の利用～その2～

△ABC において、各辺の長さが a:b:c=2:4:5 であるとき、 sinA:sinB:sinC の値を求めよ。

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△ABC の外接円の半径を R とすると、正弦定理より a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC であるから 2RsinA:2RsinB:2RsinC=2:4:5 ∴sinA:sinB:sinC=2:4:5

余弦定理

第1余弦定理

図のような三角形の2つの角と2辺の長さの間に次の関係式が成り立つ。

c=bcosA+acosB これを、第1余弦定理 (first cosine theorem) という。

この式が成り立つことを、A が鋭角、直角、鈍角の場合に分けて、以下に見ていこう。

1. A が鋭角のとき

   

   線分 AB 上に、図のように垂線 CH をひくと bcosA+acosB =AH+BH =AB=c となり成立。

   なお、B が鈍角のときは、垂線の足 H が点 B の外側に出るため AH+BH=AB とはならないが、頂点 A と B を入れかえて考えれば、下の A が鈍角のときと同じ議論になる。

2. A が直角のとき

   

   A=90° より、 cosA=0 となるので bcosA⁰+acosB =acosB （注） 直角三角形よりcosB=c/a =c となり成立。

暗記2第1余弦定理の導出

上の続きとして、A が鈍角のときも第1余弦定理が成り立つことを証明せよ。

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直線 AB 上に、図のように垂線 CH をひくと bcosA+acosB =-bcos(180°-A)+acosB =-AH+BH =BH-AH=AB=c

§

定理3第1余弦定理

△ABC において c=bcosA+acosB b=acosC+ccosA a=ccosB+bcosC が成り立つ。

第2余弦定理（余弦定理）

三角形の1つの角と3辺の長さの間に次の関係式が成り立つ。 a²=b²+c²-2bccosθ これを、第2余弦定理 (second cosine theorem) といい、単に余弦定理 (cosine theorem) というときにはこちらを指す。

ここで θ は、長さ b、c の2辺のはさむ角であり、△ABC でいえば ∠A にあたる。

この式が成り立つことを、A が鋭角、直角、鈍角の場合に分けて、以下に見ていこう。

1. A が鋭角のとき

   

   図のように、線分 AB 上に垂線 CH をひき、△BCH に三平方の定理を用いると a²=BC²=CH²+BH² =(bsinA)²+(c-bcosA)² =b²sin²A+c²-2bccosA+b²cos²A =b²(sin²A+cos²A)+c²-2bccosA =b²+c²-2bccosA となり成立。

   なお、B が鈍角のときは、垂線の足 H が点 B の外側に出るため BH=bcosA-c となるが、 BH²=(c-bcosA)² は変わらないので、上と同じ計算で成り立つ。

2. A が直角のとき

   

   A=90° より、 cosA=0 となるので a²=BC²=CA²+AB² =b²+c² =b²+c²-2bccosA0 となり成立。

暗記3余弦定理の導出

上の続きとして、A が鈍角のときも余弦定理が成り立つことを証明せよ。

解答を見る

直線 AB 上に、図のように垂線 CH をひき、△BCH に三平方の定理を用いると a²=BC²=CH²+BH² ={bsin(180°-A)}²+ {c+bcos(180°-A)}² =(bsinA)²+(c-bcosA)² （注） 180°-θの三角比 =b²sin²A+c²-2bccosA+b²cos²A =b²(sin²A+cos²A)+c²-2bccosA （注） 拡張された三角比の相互関係 =b²+c²-2bccosA となり成立。

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定理4第2余弦定理（余弦定理）

△ABC において a²=b²+c²-2bccosA b²=c²+a²-2cacosB c²=a²+b²-2abcosC が成り立つ。

問題4余弦定理の利用～その2～

△ABC において、 a=√21、 b=4、 c=5 のとき、A の値を求めよ。また、cosB を求めよ。

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△ABC に点 A からみる余弦定理を用いると、 cosA=(b²+c²-a²)/2bc。これより cosA=(4²+5²-(√21 )²)/2・4・5=1/2 よって、 A=60° となる。

同じく余弦定理を用いると、 cosB=(c²+a²-b²)/2ca。これより cosB=(5²+(√21 )²-4²)/2・5・√21 =30/10√21=√21/7

最終更新: 2026-08-19