三角比の応用の練習問題（全7問・解答つき）
数学I「三角比の応用」（平面図形・空間図形の計量）の練習問題を7問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます
問題1正弦定理の利用～その1～
△ABC において、 a=12、 A=45°、 B=60° のとき、b の値を求めよ。また、△ABC の外接円の半径を求めよ。
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正弦定理より、 a/sinA=b/sinB であるから
b=asinB/sinA =12sin60°/sin45° =(12×√3/2)/(√2/2) =6√6
同じく正弦定理より、 2R=a/sinA であるから
R=a/2sinA =12/2sin45° =12/(2×√2/2) =12/√2 =6√2
問題2正弦定理の利用～その2～
△ABC において、各辺の長さが a:b:c=2:4:5 であるとき、 sinA:sinB:sinC の値を求めよ。
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△ABC の外接円の半径を R とすると、正弦定理より
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
であるから
2RsinA:2RsinB:2RsinC=2:4:5 ∴sinA:sinB:sinC=2:4:5
問題3余弦定理の利用～その1～
△ABC において、 b=3、 c=4√2、 A=45° のとき、a の値を求めよ。
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点 A からみる余弦定理より
a²=b²+c²-2bccosA =3²+(4√2)²-2・3・4√2cos45° =9+32-24√2×√2/2=17
よって、 a=√17 である。
△ABC の3辺の長さ a,b,c がわかっているとき、∠A の大きさは、余弦定理を変形した
cosA=(b²+c²-a²)/2bc
から求めることができる。
問題4余弦定理の利用～その2～
△ABC において、 a=√21、 b=4、 c=5 のとき、A の値を求めよ。また、cosB を求めよ。
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△ABC に点 A からみる余弦定理を用いると、 cosA=(b²+c²-a²)/2bc。これより
cosA=(4²+5²-(√21 )²)/2・4・5=1/2
よって、 A=60° となる。
同じく余弦定理を用いると、 cosB=(c²+a²-b²)/2ca。これより
cosB=(5²+(√21 )²-4²)/2・5・√21 =30/10√21=√21/7
ちなみに、 √21/7≒0.655 であるので、三角比の表より B≒49° である。
覚えておきたい事項（3問）
暗記1正弦定理の導出
上の続きとして、∠A が鈍角のとき正弦定理が成り立つことを証明せよ。
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△ABC に外接する円に、直径 BD を引くと、図のようになる。
いま、図の △DBC は直角三角形となるから sinD=a/2R であり、円に内接する四角形の性質から A=180°-D であるから
sin(180°-A)=sinA=a/2R ∴a/sinA=2R
となり成立。
暗記2第1余弦定理の導出
上の続きとして、A が鈍角のときも第1余弦定理が成り立つことを証明せよ。
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直線 AB 上に、図のように垂線 CH をひくと
bcosA+acosB =-bcos(180°-A)+acosB =-AH+BH =BH-AH=AB=c
暗記3余弦定理の導出
上の続きとして、A が鈍角のときも余弦定理が成り立つことを証明せよ。
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直線 AB 上に、図のように垂線 CH をひき、△BCH に三平方の定理を用いると
a²=BC²=CH²+BH² ={bsin(180°-A)}²+ {c+bcos(180°-A)}² =(bsinA)²+(c-bcosA)² 180°-θの三角比 =b²sin²A+c²-2bccosA+b²cos²A =b²(sin²A+cos²A)+c²-2bccosA 拡張された三角比の相互関係 =b²+c²-2bccosA
となり成立。
