数学B 第2章 漸化式 — 分数漸化式:

分数型漸化式 の に関する

という方程式が異なる2つの実数解 をもつとき

とおくと， が等比数列となることを利用する．

に関する

という方程式が実数解 をもつとき(2解あるときはどちらでもよい)，この式より は

となるのを利用して， を計算すると

となる．ここで， とおくと

となり，簡単な分数型漸化式( の場合)に帰着される．

まず，特性方程式 を解く．

この異なる2解を利用して， とおくと

2解 を用いて とおくと， は必ず等比数列になる

ここから の塊をくくりだすのがポイント

数列 は等比数列になっている

となり，数列 は初項 ，公比 の等比数列となるので

ここで， であったから を の式に戻す

まず，特性方程式 を解く．

この解の1つ を利用して

解答2では，2解のうち片方しか利用せず，どちらを利用してもかまわない

を塊とみて，簡単な分数漸化式に帰着させるのがポイント

とおくと となり，簡単な分数漸化式に帰着されているのがよくわかる

と変形できる．この漸化式の逆数をとって

とおくと

となる．

線形2項間漸化式に帰着された

ここで， を満たす つまり， を用いて より

に，特性方程式の解 を代入

と変形できる．さらに， とおくと，数列 は

等比数列に帰着された

を満たすので， は

であったから を の式に戻す

さらに， であったから を の式に戻す