数学II 第5章対数と対数関数 — 対数関数

対数関数のグラフ

点 $(a, b)$ と点 $(b, a)$ の関係

点 $(a,b)$ と点 $(b,a)$ の関係

点 $(a,b)$ と点 $(b,a)$ の関係

座標平面上のある点 $A(a, b) (a\neq b)$ に対して，この点の $x$ 座標の値 $a$ と $y$ 座標の値 $b$ を交換した点 $B(b, a)$ をつくる．

このとき，2点 $， A，B$ の中点の座標は $((a+b)/2, (a+b)/2)$ なので，直線 $y = x$ 上にあることがわかる．また，2点 $， A，B$ を結ぶ直線は，傾きが $(a-b)/(b-a)=-1$ なので，直線 $y = x$ と直交するのがわかる．以上のことから，2点 $， A，B$ は，右図のように，直線 $y = x$ に関して対称となる．

このことを踏まえて，以下に述べる対数関数についてみていこう．

座標平面上に直線y=xがあり、2点A(a, b)とB(b, a)を結ぶ点線が直線y=xと直交している。さらに、直線y=xとの交点によってその点線が2等分されていることが記号で示されている。

対数関数とは何か

定義1対数関数の定義

$a>0, a\neq1$ のとき，正の実数 $x$ に対して

$y=logax$

で表される関数を， $a$ を底てい（base）とする $x$ の対数関数（logarithmic function）という．

この対数関数 $y = logzx$ のグラフがどのような形になるのかを調べるため，以下のように考えていく．

STEP1

まず，対数の定義より

$y=a^x\Leftrightarrowx=logay$

であるから，指数関数 $y = a^x$ のグラフと， $x = logay$ のグラフは等しい．

STEP2

この $x = logay$ を満たす点 $(x,y)$ の $x$ 座標と $y$ 座標を入れ換えたものが，対数関数 $y = logax$ を満たすものとなるから

$y = ax$ と $y = logax$ は，直線 $y = x$ に関して対称なグラフ

となる．

これをもとに対数関数 $y = logax$ のグラフについてまとめると次のようになる

定理2指数関数と対数関数のグラフ

指数関数 $y = a^x$ と対数関数 $y = logax$ のグラフは，次のような関係になる．

a>1のときと0<a<1のときのそれぞれにおいて、指数関数y=a^xと対数関数y=log_a xの曲線が、直線y=xに関して互いに対称な関係で描かれている。

対数関数の性質

対数関数の性質について

対数関数のグラフで学んできたことをまとめると，次のようになる．対数関数 $y = logax$ のグラフを見ながら１つ１つ確認しよう．

定理3対数関数の性質

指数関数の性質について，次のようにまとめることができる．

a>1のとき右上がりの曲線y=log_a x上でx_1<x_2のときlog_a x_1<log_a x_2となり、0<a<1のとき右下がりの曲線上でlog_a x_1>log_a x_2となる位置関係を表している。

問題1対数の大小関係

次の値を小さいものから順に並べよ．

$1/2log21/3, -1, log23^-1$
$1/2, 1/2log35, -log31/2$

解答を見る

対数関数の性質より

左から順に

$1/2log21/3=log2(1/3)¹/2=log21/\sqrt3 -1=log22^-1=log21/2$

$log23^-1=log21/3$

$y = log2x$ は増加関数で， $1/3<1/2<1/\sqrt3$ だから

$log21/3<log21/2<log21/\sqrt3 ∴log23^-1<-1<1/2log21/3$

対数関数の性質より

左から順に

$1/2=log3(3)¹/2=log3\sqrt3 1/2log35=log35¹/2=log3\sqrt5$

$-log31/2=log3(1/2)^-1=log32$

$y = log3x$ は増加関数で， $\sqrt3<2<\sqrt5$ だから

$log3\sqrt3<log32<log3\sqrt5 ∴1/2<-log31/2<1/2log35$

問題2対数を含む1次方程式・1次不等式-その1-

次の方程式，または不等式を解け．

$log2x=2$
$log3x<1$
$log1/3x>1$
$log1/2(x+1)>3$