数学II 第8章 本文の補足 II — 一般の場合の相加平均と相乗平均の関係

はじめに、 a1, a2, …, an のどれかが 0 のときは、（右辺）の相乗平均が 0 となり、 （左辺）の相加平均は 0 以上であるから、関係式は明らかに成り立つ。 そこで以下では、 a1, a2, …, an はすべて正であるとしてよい。

証明は、次の2つの手を組み合わせて行う。

1. 手順1 n 個の場合が成り立つならば、 2n 個の場合も成り立つ（個数を2倍に増やす手）
2. 手順2 n 個の場合が成り立つならば、 n-1 個の場合も成り立つ（個数を1つ減らす手）

n = 2 の場合は不等式の証明ですでに示してあるので、手順1を k 回繰り返せば n=2^k+1 の場合が証明できる。 その後、手順2を繰り返し用いれば、どの自然数 n にも降りてくることができ、 すべての自然数 n で相加相乗平均の関係式が証明できる。

手順1（個数を2倍に増やす）

n 個の正の数で関係式が成り立つことを前提として、 2n 個の正の数 a1, a2, …, a2n でも関係式が成り立つことを示す。

前半の n 個と後半の n 個の相乗平均を、それぞれ

G1=√[n]a1a2… an G2=√[n]an+1an+2… a2n

とおくと、 G1>0 、 G2>0 であり、前提より

(a1+a2+…+an)/n≧ G1 an+1+an+2+…+a2nn≧ G2

が成り立つ。また、 G1 と G2 をかけると

G1G2=√[n]a1a2… a2n

である。よって、 2n 個の数の相加平均は

a1+a2+…+a2n2n =1/2((a1+…+an)/n+an+1+…+a2nn) ≧(G1+G2)/2 ≧√G1G2 =√√[n]a1a2… a2n =√[2n]a1a2… a2n

となり、 2n 個の場合も成り立つことが示された。

n = 2 の場合から出発してこの手順を k 回繰り返せば、 n=4, 8, …, 2^k+1 の場合が次々に証明できる。

手順2（個数を1つ減らす）

n≧2 とする。 n 個の正の数で関係式が成り立つこと、すなわち

√[n]a1a2…an≦(a1+a2+…+an)/n

を前提として、 n-1 個の正の数 a1, a2, …, an-1 でも関係式が成り立つことを示す。

n-1 個の数に、つけ加えても相加平均が変わらないような数 x 、つまり

a1+a2+…+an-1+xn =a1+a2+…+an-1n-1

となる x=a1+a2+…+an-1n-1 (>0) を用いる。

つまり、 a1, a2, …, an-1, x という n 個の数の相加平均は、 x 自身に等しい。

そこで、この n 個の数に前提を用いると

√[n]a1a2… an-1x ≦a1+a2+…+an-1+xn=x

となる。両辺とも正であるから、両辺を n 乗しても不等号の向きは変わらず

a1a2… an-1・a1+a2+…+an-1n-1 ≦(a1+a2+…+an-1n-1)^n

両辺を x=a1+a2+…+an-1n-1>0 で割ると

a1a2… an-1 ≦(a1+a2+…+an-1n-1)^n-1

両辺とも正なので、 n-1 乗根をとって

∴√[n-1]a1a2… an-1≦a1+a2+…+an-1n-1

となり、 n-1 個の場合も成り立つことが示された。 この手順を使えば、個数を1つずつ、いくらでも降りてくることができる。

すべての自然数で成り立つこと

以上の2つの手順から、どの自然数 n でも関係式が成り立つことがわかる。

実際、 n≧2 である自然数 n に対して、 n≦2^k+1 となる自然数 k を1つとると、 n = 2 の場合から手順1を k 回繰り返して 2^k+1 個の場合が示され、 そこから手順2を 2^k+1-n 回繰り返せば、 n 個の場合に降りてくることができる。 n = 1 のときは、関係式は a1≧ a1 となって当然成り立つ。