数学II 第3章三角関数 — 三角関数のグラフ

三角関数はグラフに描くとサインカーブという独特の曲線を描く。ここでは、そのグラフについて調べていこう。

$y=sinx$ のグラフとその周辺のグラフ

三角関数の表しかた

$sinθ$ などの三角関数を定義したとき、 $θ$ は角度を意味していた。

しかし、三角関数を、ある数 $θ$ に対応する数を与える式、とより抽象的にみるならば、 $θ$ の意味を角度に限定する必要はない。このため、変数を $θ$ で表さず、 $y = sin x$ のように $x$ で表すことも多く、以下でもそのように扱っていく。

$y=sinx$ のグラフ

$y=sin x$ のグラフ

関数 $y = sin x$ について、 $0 ≦ x ≦ 2π$ の範囲で $x$ と $y$ の関係を表にすると、以下のようになる。 $x$ の値は $(1/6)π$ 刻みでとってある。

$x$	$\dots$	$0$	$(1/6)π$	$(1/3)π$	$(1/2)π$	$(2/3)π$	$(5/6)π$	$π$
$y$	$\dots$	$0$	$1/2$	$\sqrt3/2$	$1$	$\sqrt3/2$	$1/2$	$0$

$x$	$(7/6)π$	$(4/3)π$	$(3/2)π$	$(5/3)π$	$(11/6)π$	$2π$	$\dots$
$y$	$-1/2$	$-\sqrt3/2$	$-1$	$-\sqrt3/2$	$-1/2$	$0$	$\dots$

この関係をグラフで表すと次の図のようになる。

単位円を12等分した各点のy座標に対応する点が、xy平面上に打たれている。特に、単位円上の点A'から伸びる水平な破線が、xが(2/3)πのときの点Aに接続している。

たとえば、前の図の点 $A$ の $y$ 座標は動径のなす角が $(2/3)π$ であるときの動点 $A'$ の $y$ 座標である。

前の図の各点をなめらかにつなぐと次の図のようになる。

xy平面上に、xが0から2πまでの範囲で、x=π/2でy=1、x=πでy=0、x=3/2 πでy=-1、x=2πでy=0などの点を破線でなめらかにつないだ曲線が描かれている。

さらに、 $x$ の値が $2π$ 増えるごとに $sin x$ は同じ値を取ることに注意して、任意の実数を定義域としたグラフを書くと、次の図のようになる。

x軸とy軸の座標平面上に、y=sin xの曲線が描かれている。曲線は原点Oを通り、xが-2π、-π、0、π、2πのときx軸と交わり、yの値が1と-1の範囲で上下に波打って繰り返している。

この $y = sin x$ のグラフに表れる曲線のことを、正弦曲線(sine curve)という。

正弦曲線の値域の長さの半分を振幅(amplitude)という。 $y = sin x$ の振幅は $1$ である。

周期関数の定義

$y=sinx$ のように、 $x$ の変化に応じて同じ値をとる関数は、次のようにまとめることができる。

定義1周期関数の定義

関数 $f(x)$ が、ある正の実数 $p$ に対して次の条件

どんな実数 $x$ に対しても $f(x)=f(x+p)$ が成立

を満たすとき、この関数 $f(x)$ のことを周期関数(periodic function)という。また、上の条件を満たす実数 $p$ のうち、正の値で最小のものを、この周期関数 $f(x)$ の周期(period)という。

$f(x)=sinx$ とおくと、任意の実数 $x$ について $f(x)=f(x+2π)$ が成り立つので、関数 $y=f(x)=sin x$ は周期関数であり、周期は $2π$ である。グラフ $y=f(x)$ においては「 $x$ が $2π$ 増加するたびに同じ形が表れる」ことになる。

定理2 $＝ y＝sin x$ のグラフの特徴

振幅 $1$ ,周期 $2π$ の正弦曲線であり、 $y$ 切片は $0$ 。

$x$ の値の増加に対し、 $y$ の値は増加と減少を交互に繰り返す。

xy平面上にy=sinxの曲線が描かれ、yの値は1と-1の間で変化している。x軸の-3πから3πの範囲において、曲線の上下の変化に合わせて「増加」と「減少」が矢印とともに交互に記されている。

$y=Asinx$ のグラフとその性質

$y=Asin x$ のグラフとその性質

たとえば、 $y=sin x$ のグラフを $y$ 軸方向に $3$ 倍すると $y=3sin x$ のグラフになり、 $y=sin x$ のグラフを $y$ 軸方向に $-3$ 倍すると $y=-3sin x$ のグラフになる。

座標平面上に、y=sin xのグラフが破線、y=3sin xのグラフが実線、y=-3sin xのグラフが点線で重ねて描かれており、振幅が1と3で変化する様子を表している。

定理3 $＝ y＝Asin x$ のグラフの特徴

$y=sin x$ のグラフを、 $y$ 軸方向に $A$ 倍したグラフである、

振幅は $| A |$ ,周期は関数 $y=sin x$ と同じ $2π$ である。

$y=sin(x-α)$ のグラフ

$y=sin(x-α)$ のグラフ

例として、2つの関数

$y=sin x y=sin (x-(1/3)π)$

の関係を考えてみよう。

$x$	$\dots$	$0$	$(1/6)π$	$(1/3)π$	$(1/2)π$
$sin x$	$\dots$	$0$	$1/2$	$\sqrt3/2$	$1$
$sin (x-(1/3)π)$	$\dots$	$-\sqrt3/2$	$-1/2$	$0$	$1/2$

$x$	$(2/3)π$	$(5/6)π$	$π$	$\dots$
$sin x$	$\sqrt3/2$	$1/2$	$0$	$\dots$
$sin (x-(1/3)π)$	$\sqrt3/2$	$1$	$\sqrt3/2$	$\dots$

$y=sin (x-(1/3)π)$ の $y$ の値と $y=sin x$ の $y$ の値を一致させるには、 $y=sin (x-(1/3)π)$ の $x$ に、 $y=sin x$ の $x$ より $(1/3)π$ 大きい値を代入しなければならない。

つまり、 $y=sin (x-(1/3)π)$ の正弦曲線は、 $y=sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $(1/3)π$ だけ平行移動した正弦曲線であると分かる。

このことは、上の表においても確認することができる。

xy平面上に、破線のy=sin xと実線のy=sin(x-1/3 π)の2つの正弦曲線が描かれている。実線はx=1/3 πでx軸と交わり、x=5/6 πで最大値1をとる。

定理4 $＝ y＝sin(x-α)$ のグラフ

$y=sin(x-α)$ のグラフは、 $y=sin x$ のグラフを

「 $x$ 軸方向に $α$ 平行移動」

したグラフ、周期と振幅も $y=sin x$ と同じであり、それぞれ $2π$ と $1$ である。

$y=sinbx$ のグラフ

$y=sin bx$ のグラフ

例として、関数 $y=f(x)=sin 3x$ のグラフについて考えてみよう。この関数は

$f(0)=sin 0 =0, f((2/3)π)=sin 2π =0,$ $f((4/3)π)=sin 4π =0, f(2π)=sin 6π =0$

となり、結局、 $x$ が $0$ から $2π$ まで増加する間に、 $y$ は3度同じ値を繰り返すことが分かる。

座標平面上に、破線のy=sinxのグラフと実線のy=sin3xのグラフが描かれている。x軸にはπ/3刻みの目盛りがあり、y=sin3xは周期2/3πの曲線となっている。

こうして、 $y=sin x$ のグラフを、 $y$ 軸に対して $x$ 軸方向に $1/3$ 倍したグラフが、関数 $y = sin3x$ のグラフであると分かる。

定理5 $＝ y＝sin bx$ のグラフ

$y=sin bx$ のグラフは、 $y=sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $1/b$ 倍したものであり

周期は $2π/|b|$ ,振幅は $1$ である。

問題1三角関数のグラフ〜その1〜

以下の関数のグラフを書け。また、周期と振幅を求めよ。

$y=sin(x+(1/3)π)$
$y=2sin(x-(1/2)π)$
$y=sin 2x$
$y=sin(x/3)$

解答を見る

$y=sin{x- (-(1/3)π)}$ なので、 $y=sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $-(1/3)π$ 平行移動したグラフになる。

周期は $2π$ 、振幅は $1$ である。

← $y = sin x$ と同じ
$y=2sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $(1/2)π$ 平行移動したグラフになる。

周期は $2π$ 、振幅は $2$ である。

← $y = 2sin x$ と同じ
$y=sin 2x$ は、 $y=sin x$ の周期を $1/2$ にしたグラフになる。

周期は $2π\div 2 =π$ 、振幅は $1$ である。
$y=sin((1/3)x)$ は、 $y=sin x$ の周期を $3$ 倍したグラフになる。

← $1/(1/3)=3$ 倍

周期は $2π\times 3 =6π$ 、振幅は $1$ である。

$y=Asin(bx-α)$ のグラフ

$y=Asin(bx-α)$ のグラフ

$y=Asin(bx-α)$ のグラフ

たとえば、関数 $y=2sin (3x-π/4)$ について考えてみよう。

この関数の式は、 $y=2sin 3(x-π/12)$ と書けるので、次のことが分かる。

振幅は $2$ である。
周期は $y=2sin 3x$ と同じ $(2/3)π$ である。
$y=2sin 3x$ を $x$ 軸方向に $(1/12)π$ 平行移動したグラフになる。つまり、 $x=π/12$ のとき $y=sin 0$ であり、 $x=(3/4)π(=π/12+(2/3)π)$ のとき、 $y=sin 2π$ である。

以上より、グラフは次のようになる。

座標平面上に、関数 y=2sin 3x の破線のグラフと、関数 y=2sin(3x-π/4) の実線のグラフが描かれている。実線は破線を x 軸方向に 12分のπ 平行移動した波形である。

定理6 $＝ y＝Asin(bx-α)$ のグラフ

$y=Asin(bx-α)=Asin b(x-α/b)$ のグラフは、 $y=Asin bx$ のグラフを「 $x$ 軸方向に $α/b$ 平行移動」したグラフである。

周期も振幅も $y=Asin bx$ と同じであり、それぞれ $2π/|b|,|A|$ である。

三角関数のグラフを書く手順

三角関数のグラフを書く時は、おおよそ次のiii., ii., i.の順で考えるとよい。つまり

iii. $y$ 座標が $sin 0$ になるときの $x$ の値を求める。正弦曲線はそこから始まる。
ii.周期を求め、 $y$ 座標が $sin 2π$ になるときの $x$ の値を求める。これにより、iii.で求めた値から始まる正弦曲線の1周期分の終端が決まる。
i.振幅を決める。最後に、 $y$ 切片を計算できる場合は計算する。

問題2三角関数のグラフ〜その2〜

以下の関数のグラフを書け。

$y=sin(2x-(1/3)π)$
$y=2sin(2x+(1/2)π)$
$y=sin(x/3+π/3)$

解答を見る

$y=sin2(x- (1/6)π)$ なので
$y=2sin2{x- (-(1/4)π)}$ なので
$y=sin(1/3){x- (-π)}$ なので

$y=cosx$ 、 $y=tanx$ のグラフとその周辺のグラフ

$y=cosx$ のグラフ

$y=cos x$ のグラフ

$cos x=sin(x+ π/2)$ ,つまり $y=sinx$ のグラフを $x$ 軸方向に $-π/2$ 平行移動させたものが、 $y=cosx$ のグラフである。それゆえ、 $y=cos x$ のグラフも正弦曲線になる。

グラフ $y=cosx$ の $1$ 周期分を次の図の太線で示した。

y軸上で1を通る実線のy=cos xと、原点を通る破線のy=sin xのグラフが描かれており、y=cos xのxが0から2πまでの1周期分が太線で強調されている。

定理7 $＝ y＝cos x$ のグラフの特徴

周期が $2π,$ 振幅が $1$ の正弦曲線であり、 $y$ 切片が $1$ である。

$y=tanx$ のグラフ

$y=tan x$ のグラフ

関数 $y = tan x$ について、 $-π/2 ≦ x ≦ π/2$ の範囲で $x$ と $y$ の関係を表にすると、以下のようになる。 $x$ の値は $(1/6)π$ 刻みでとってある。

$x$	$\dots$	$-(1/2)π$	$-(1/3)π$	$-(1/6)π$	$0$	$(1/6)π$	$(1/3)π$	$(1/2)π$	$\dots$
$tanx$	$\dots$	―	$-\sqrt3$	$-\sqrt3/3$	$0$	$\sqrt3/3$	$\sqrt3$	―	$\dots$

単位円の接線上の点のy座標と、xy平面上のy=tan xのグラフ上の点が対応している。特に接線上の点A'の高さが、点A(1/3 π, √3)のy座標と一致することが点線で示されている。

座標平面上に、x=-π/2、π/2、3/2 πの垂直な点線の間で増加するy=tan xの曲線が描かれている。曲線は原点Oや(π, 0)、(2π, 0)を通り、同じ形が繰り返されている。

これをグラフで表し、曲線でつなぐと前の図のようになる。

たとえば、単位円の半径は $1$ なので、 $A'$ の $y$ 座標は $tan(1/3) π$ となり、これは、 $A$ の $y$ 座標と一致する。

さらに、 $x$ の値が $π$ 増えるごとに、 $tan$ の値は同じ値を取ったので、 $x$ を任意の実数を定義域としてグラフを書くと、上の図のようになる。

ここで、 $x=π/2$ の近くでは $y = tan x$ のグラフがどうなっているか考えてみよう。次の図は、 $x=π/2$ の付近のグラフを拡大したものである。

$x$ が $0$ から $π/2$ に向かって大きくなるにつれ、 $y$ 座標は無限大へ近づき、グラフは直線 $x=π/2$ に限りなく近づく。
$x$ が $π$ から $π/2$ に向かって小さくなるにつれ、 $y$ 座標は負の無限大へ近づき、グラフは直線 $x=π/2$ に限りなく近づく。

このように、曲線 $C$ がある直線 $l$ に限りなく近づくとき、直線 $l$ を曲線 $C$ の漸近線(asymptotic line)という。

x軸上の値 π/2 を通る縦の点線の左側と右側で、曲線がそれぞれ上方と下方へ伸びてその点線へ近づく様子が、矢印と「近づく」という文字で表されている。

定理8 $＝ y＝tan x$ のグラフの特徴

周期が $π$ の曲線である。

$x=π/2 +nπ$ （ $n$ は整数）が漸近線になる。

$y=Acos(bx+a)$ 、 $y=Atan(bx+a)$ のグラフ

$y=Acos(bx+a),y=Atan(bx+a)$ のグラフ

基本的には、 $y = Asin(bx + α)$ の時と同じように考えればよい。

たとえば、関数 $y=4cos(2x-π/3)$ の場合は、 $y=4cos2(x-π/6)$ とも表せるので、次のことが分かる。

$y$ 座標が $cos0$ になるのは $x=(1/6)π$ のとき。
周期は $2π/2=π$ , $y$ 座標が $cos2π$ になるのは $x=(1/6)π+π=(7/6)π$ のとき。
振幅は $4$ , $y$ 切片は $4cos(-(1/3)π)=2$ である。

破線で表された y=4cos 2x の曲線と、それを x 軸方向に 1/6 π 平行移動した実線の y=4cos(2x-1/3 π) の曲線が、座標平面上に重ねて描かれている。

$y=Atan(bx+a)$ の場合も同様であるが、周期は $π/|b|$ となり、漸近線は $tan$ の中身が $π/2+nπ$ （ $n$ は整数）になる $x$ の値である。

問題3三角関数のグラフ〜その3〜

以下の関数のグラフを書け。漸近線があればその式を求めよ。

$y=cos(2x-π/3)$
$y=cos(x/3+π/3)$
$y=tan(x-π/2)$
$y=tan(2x+π/3)$

解答を見る

$y=cos2(x- (1/6)π)$ なので
$y=cos(1/3){x-(-π)}$ なので
$y = tan x$ を $x$ 軸方向に $π/2$ 平行移動すればよいので

漸近線は直線 $x = nπ$ ( $n$ は整数)になる。
$y=tan2(x+π/6)$ なので

$y=tan x$ の漸近線は $x=π/2+nπ$ ( $n$ は整数)なので、 $2x+π/3=π/2+nπ$ より

漸近線は直線 $x=π/12 +n/2 π$ ( $n$ は整数)になる。

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学II 第3章 三角関数 — 三角関数のグラフ

y=sinxのグラフとその周辺のグラフ

三角関数の表しかた

y=sinx のグラフ

周期関数の定義

定義1周期関数の定義

定理2＝y＝sin xのグラフの特徴

y=Asinx のグラフとその性質

定理3＝y＝Asin xのグラフの特徴

y=sin(x-α) のグラフ

定理4＝ y＝sin(x-α)のグラフ

y=sinbx のグラフ

定理5＝y＝sin bxのグラフ

問題1三角関数のグラフ〜その1〜

y=Asin(bx-α) のグラフ

定理6＝ y＝Asin(bx-α)のグラフ

三角関数のグラフを書く手順

問題2三角関数のグラフ〜その2〜

y=cosx、 y=tanxのグラフとその周辺のグラフ

y=cosx のグラフ

定理7＝y＝cos xのグラフの特徴

y=tanx のグラフ

定理8＝y＝tan xのグラフの特徴

y=Acos(bx+a)、 y=Atan(bx+a) のグラフ

問題3三角関数のグラフ〜その3〜

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数学II 第3章三角関数 — 三角関数のグラフ

$y=sinx$ のグラフとその周辺のグラフ

$y=sinx$ のグラフ

定理2 $＝ y＝sin x$ のグラフの特徴

$y=Asinx$ のグラフとその性質

定理3 $＝ y＝Asin x$ のグラフの特徴

$y=sin(x-α)$ のグラフ

定理4 $＝ y＝sin(x-α)$ のグラフ

$y=sinbx$ のグラフ

定理5 $＝ y＝sin bx$ のグラフ

$y=Asin(bx-α)$ のグラフ

定理6 $＝ y＝Asin(bx-α)$ のグラフ

$y=cosx$ 、 $y=tanx$ のグラフとその周辺のグラフ

$y=cosx$ のグラフ

定理7 $＝ y＝cos x$ のグラフの特徴

$y=tanx$ のグラフ

定理8 $＝ y＝tan x$ のグラフの特徴

$y=Acos(bx+a)$ 、 $y=Atan(bx+a)$ のグラフ