数学I 第7章本文の補足 I — グラフの移動について

グラフの移動について

平行移動について

関数 $y=f(x)$ のグラフ $C$ を、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ 平行移動したグラフ $C'$ は、一般にどのような関数で表されるのだろうか。

$C$ 上の点 $P(u, v)$ が、平行移動によって $C'$ 上の点 $Q(x, y)$ に移動したとすると $x=u+p , y=v+q$ つまり、 $u=x-p$ 、 $v=y-q$ である。

座標平面上に2つの曲線 C と C' が描かれており、曲線 C 上の点 P から x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動した位置にある曲線 C' 上の点 Q へ向かう矢印が示されている。ここで、 $P(u, v)$ は曲線 $C$ 上の点であるから、 $v=f(u)$ を満たすので $x$ 、 $y$ は $y-q=f(x-p)$ を満たす。

定理1関数 $y=f(x)$ の平行移動

関数 $y=f(x)$ のグラフを、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフを表す関数は $にに xにx-p, yにy-q$ を代入した式 $y-q=f(x-p)$ で表される。

対称移動について

関数 $y=f(x)$ のグラフ $C$ を、 $x$ 軸に関して対称に移動したグラフ $Cx$ を表す関数について考える。

$C$ 上の点を $P(x, v)$ が、 $x$ 軸に関して対称に移動することによって $Cx$ 上の点 $Q(x, y)$ に移動したとすると $y=-v$ つまり、 $v=-y$

座標平面上にx軸に関して対称な2つの曲線CとCxがあり、曲線C上の点Pと曲線Cx上の点Qを結ぶ線分PQは、x軸と垂直に交わり2等分されている。ここで、 $P(x, v)$ は曲線 $C$ 上の点であるから、 $v=f(x)$ を満たすので $x$ 、 $y$ は $-y=f(x)\Leftrightarrowy=-f(x)$ を満たす。

また、関数 $y=f(x)$ のグラフ $C$ を、 $y$ 軸に関して対称に移動したグラフ $Cy$ を表す関数について考える。

$C$ 上の点 $P(u, v)$ が、 $y$ 軸に関して対称に移動することによって $Cy$ 上の点 $Q(x, y)$ に移動したとすると $x=-u$ つまり、 $u=-x$

xy平面上に、y軸に関して線対称な2つの曲線CとCyがある。C上の点PとCy上の点Qを結ぶ線分PQはy軸と垂直に交わり、y軸から各点までの長さが等しい。ここで、 $P(u, v)$ は曲線 $C$ 上の点であるから、 $y=f(u)$ を満たすので $x$ 、 $y$ は $y=f(-x)$ を満たす。

最後に、関数 $y=f(x)$ のグラフ $C$ を、原点に関して対称に移動したグラフ $C0$ を表す関数について考える。

$C$ 上の点を $P(u, v)$ が、原点に関して対称に移動することによって $Cy$ 上の点 $Q(x, y)$ に移動したとすると $x=-u , y=-v$ つまり、 $u=-x$ 、 $v=-y$ である。

座標平面上で、曲線C上の点Pと曲線C0上の点Qが、原点Oを通る1本の点線で結ばれている。線分OPと線分OQの長さが等しく、点Pと点Qが原点に関して対称な位置にある様子を表している。ここで、 $P(u, v)$ は曲線 $C$ 上の点であるから、 $v=f(u)$ を満たすので $x$ 、 $y$ は $-y=f(-x)\Leftrightarrowy=-f(-x)$ を満たす。

定理2関数 $y=f(x)$ の対称移動

関数 $y=f(x)$ のグラフを、 $x$ 軸に関して、 $y$ 軸に関して、原点に関して対称移動したグラフを表す関数は、それぞれ

$y=-f(x)$ 　 $x$ 軸に関する対称移動
$y=f(-x)$ 　 $y$ 軸に関する対称移動
$y=-f(-x)$ 　原点に関する対称移動

となる。

最終更新: 2026-08-10

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