数学II 第3章三角関数 — 三角関数について

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三角関数の定義

三角関数の定義について

FTEXT 数学Iで学んだ三角比(trigonometric ratio)で扱う角を任意の実数とすれば，次の三角関数(trigonometric function)の定義となる．

定義1三角関数の定義

単位円周と動径の交点を $P,X(1, 0)$ とする．

$∠POX=θ$ ( $θ$ は任意の実数)とするとき

$cosθ =$ (動点 $P$ の $x$ 座標)

$sinθ =$ (動点 $P$ の $y$ 座標)

$tanθ =$ (動点 $P$ の $y$ 座標) $/$ (動点 $P$ の $x$ 座標) $=$ (動径 $OP$ の傾き)

とする．ただし，動点 $P$ の $x$ 座標が $0$ のとき，つまり $θ=π/2 +nπ$ ( $n$ は整数) のときは $tanθ$ は定義されない．

原点Oを中心とする半径1の円と動径OPがある。x軸の正の部分となす角をθとするとき、円上の点P(x, y)のx座標にcos θ、y座標にsin θと示されている。具体的な例で確認してみよう．

座標平面上の単位円において、始線OXから反時計回りに5/4π回転した動径OPが描かれている。点Pからx軸に下ろした垂線の足をQとした第3象限の直角三角形OPQが塗られている。

1) $θ=5/4π$ のとき

$△OPQ$ は $PQ:QO:OP=1:1:\sqrt2$ の直角三角形である．つまり， $P(-\sqrt2/2, -\sqrt2/2)$ なので

$cos5/4π=-\sqrt2/2, sin5/4π=-\sqrt2/2, tan5/4π=1$

座標平面上の単位円において、始線OXから時計回りに角-5/6πを表す動径OPが引かれている。点Pからx軸に下ろした垂線の足をQとすると、第3象限に直角三角形OPQが色付けされている。

2) $θ=-5/6π$ のとき

$△OPQ$ は $PQ:QO:OP=1:\sqrt3:2$ の直角三角形である．つまり， $P(-\sqrt3/2, -1/2)$ なので

$cos(-5/6π)=-\sqrt3/2, sin(-5/6π)=-1/2, tan(-5/6π)=1/\sqrt3$

座標平面上の単位円で、始線OXから時計回りに1周と4分の1回転したy軸負の方向に動径OPがある。回転角を示す矢印に-5/2 π、動径の長さに1と添えられている。

3) $θ=-5/2π$ のとき

$-5/2π=-1/2π -2π$ より， $X$ から負の方向へ $-1/2π$ 移動した $(0, -1)$ に $P$ があるので

$cos(-5/2π)=0, sin(-5/2π)=-1, tan(-5/2π)$ は定義できない

$tanθ$ には次のような意味もあることを理解しておこう．

定理2 $tanθ$ の図形的意味

$tanθ$ の定義は，動径 $OP$ の傾きであるが，傾きとは $x$ 軸方向に $1$ 増加するときの $y$ 軸方向の増加量である．そのため，図のように直線 $OP$ と直線 $x = 1$ の交点を $Q$ とすると， $Q$ の $y$ 座標が $tanθ$ になる．

座標平面上に原点Oを中心とする単位円と直線x=1が描かれている。角θを表す動径OPを延長した直線と、直線x=1の交点Qの座標が(1, tanθ)と示されている。

三角関数の定義域と値域

以上のことから，三角関数の定義域と値域は次のようにまとめられる．

定理3三角関数の定義域と値域

三角関数の定義域
1. $sinθ,cosθ$ の $θ$ は，任意の実数をとることができる．
2. $tanθ$ の $θ$ は， $π/2+nπ$ ( $n$ は整数)以外の任意の実数をとることができる．
三角関数の値域
1. 任意の実数 $θ$ に対し， $sinθ,cosθ$ は $- 1$ 以上 $1$ 以下の値をとる．
2. $π/2+nπ$ ( $n$ は整数)以外の任意の実数 $θ$ に対し， $tanθ$ は任意の実数をとる．

三角関数の符号と動径の象限

三角関数の値の符号は，その角の動径がどの象限に含まれるかで決定する．まとめると次のようになる．

定理4三角関数の符号と動径の象限

三角関数の値の符号は，動径のある象限によって次のように決まる．

1) $sinθ$ の符号

原点Oを中心とする単位円において、x軸より上側の第1象限と第2象限にはプラス、x軸より下側の第3象限と第4象限にはマイナスの符号が書かれている。

2) $cosθ$ の符号

座標平面上の単位円において、y軸の右側にある第1象限と第4象限には「＋」、y軸の左側にある第2象限と第3象限には「−」の符号が表示されている。

3) $tanθ$ の符号

座標平面上の各象限におけるtanθの符号が示されており、第1象限と第3象限にはプラス、第2象限と第4象限にはマイナスが描かれている。

問題1任意の角に対する三角関数の値

以下の角度に対する，正弦，余弦，正接の値をそれぞれ求めよ．

$5/3π$
$7/6π$
$23/3π$
$-15/4π$

解答を見る

$P (1/2, -\sqrt3/2)$ なので

$cos5/3π=1/2$

$sin5/3π=-\sqrt3/2$

$tan5/3π=-\sqrt3$
$P (-\sqrt3/2, -12)$ なので

$cos7/6π=-\sqrt3/2$

$sin7/6π=-1/2$

$tan7/6π=\sqrt3/3$
$23/3π=5/3π +3・ 2π$ より， $5/3π$ の三角関数に等しい．1.より

$cos23/3π=1/2$

$sin23/3π=-\sqrt3/2$

$tan23/3π=-\sqrt3$
$-15/4π=1/4π +(-2)・ 2π$ より， $1/4π$ の三角関数に等しい．よって

$cos(-15/4π)=\sqrt2/2$

$sin(-15/4π)=\sqrt2/2$

$tan(-15/4π)=1$

問題2三角関数を含む方程式

$0≦ θ<2π$ のとき， $sinθ =-1/2$ を満たす $θ$ を求めよ．
$0≦ θ<4π$ のとき， $sinθ =-1/2$ を満たす $θ$ を求めよ．
$θ$ を任意の実数とする． $sinθ =-1/2$ を満たす $θ$ を求めよ．
$-π≦ θ<π$ のとき， $sinθ =-1/2$ を満たす $θ$ を求めよ．

解答を見る

(動点の $y$ 座標の値) $=-1/2$ であればよいので，求める $θ$ は，図の $∠POX, ∠P’OX$ に等しい．

$0≦ θ < 2π$ の範囲では

$∠POX=7/6π,$

$∠P’OX=11/6π$

となる．つまり， $θ=7/6π, 11/6π$ ．
$0≦ θ < 4π$ の範囲では

$∠POX=7/6π, 7/6π +2π ∠P’OX=11/6π, 11/6π +2π$

となる．つまり，

$θ=7/6π, 11/6π, 19/6π, 23/6π$ ．
$θ$ は任意なので， $n$ を整数として

$∠POX=7/6π +2nπ, ∠P’OX=11/6π +2nπ$

となる．つまり， $θ=7/6π +2nπ, 11/6π +2nπ$ ．
$-π≦ θ < π$ の範囲では

$∠POX=7/6π -2π, ∠P’OX=11/6π -2π$

となる．つまり， $θ=-5/6π, -1/6π$ ．

原点Oを中心とする単位円と直線y=-1/2の交点を第3象限のP、第4象限のP'とし、始線OXから動径OP、OP'まで時計回りに回転した負の角が矢印で表されている。

問題3三角関数を含む不等式

$0≦ θ<2π$ のとき， $cosθ <1/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ．
$0≦ θ<4π$ のとき， $cosθ <1/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ．
$θ$ を任意の実数とする． $cosθ <1/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ．
$-π≦ θ<π$ のとき， $cosθ <1/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ．

解答を見る

(動点の $x$ 座標の値) $<1/2$ であればよい．

そのためには，動点が図の太線部分にあればよい．

$0≦ θ < 2π$ の範囲では， $1/3π<θ<5/3π$ ．
$0≦ θ < 4π$ の範囲では， 1.の答えに加えて

$1/3π +2π <θ<5/3π +2π$

も満たすので， $1/3π <θ<5/3π, 7/3π <θ<11/3π$ ．
$θ$ は任意なので，

$1/3π +2nπ <θ<5/3π +2nπ$ ( $n$ は整数)

が求める答えとなる．
$-π≦ θ < π$ の範囲では

$-π ≦ θ<5/3π -2π, 1/3π <θ< π$

となる．つまり， $-π ≦ θ<-1/3π, 1/3π <θ<π$ ．

単位円と直線 x=1/2 があり、直線より左側の領域と、対応する円弧が太線で示されている。直線と円の交点のうち、第1象限の点Pにおける動径OPとx軸正の向きとのなす角は 1/3 π である。

問題4範囲をもつ変数の置き換え

$0≦ θ <2π, θ'=2 θ -π/3$ とする． $θ'$ のとりうる範囲を求めよ．
$0≦ θ <2π$ のとき，方程式 $sin(2 θ -π/3) =\sqrt3/2$ を満たす $θ$ の値を求めよ．
$0≦ θ <2π$ のとき，不等式 $sin(2 θ -π/3) <\sqrt3/2$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ．

解答を見る

1.の $θ'$ を用いると，与えられた方程式は $sinθ' =\sqrt3/2$ となる． 1.より $-π/3 ≦ θ' <11/3π$ なので，図より

$θ' =13π, 23π, 73π, 83π$ となる．

$θ=θ'/2+π/6$ なので

$θ= 13π, 12π, 43π, 32π$
1.の $θ'$ を用いると，与えられた不等式は $sinθ' <\sqrt3/2$ となる． 1.より $-π/3 ≦ θ' <11/3π$ なので

$-π/3≦ θ' <13π, 23π< θ' <73π,$ $83π< θ' <11/3π$ となる． $θ'=2θ-π/3$ を代入して $θ$ について解けば

←たとえば

$2/3π< 2θ-π/3 <7/3π \Leftrightarrow π< 2θ<83π \Leftrightarrow π/2< θ<4/3π$ $0≦θ< π/3, π/2<θ<43π, 32π<θ <2π$

三角関数の相互関係

三角関数の相互関係について

三角関数においても，FTEXT 数学Iで学んだ三角比の相互関係

$tanθ=sinθ/cosθ,sin²θ+cos²θ=1, 1+1tan²θ=1sin²θ,tan²θ+1=1cos²θ$

が成り立つ．

定理5拡張された三角関数の相互関係

任意の実数 $θ$ について，次の式が成り立つ(ただし，分母が $0$ となる場合を除く)．

1) $sinθ,cosθ,tanθ$ の関係

$tanθ=sinθ/cosθ$

2) $と sinθとcosθ$ の関係

$sin²θ+cos²θ=1$

3) $と tanθとsinθ$ の関係

$1+1tan²θ=1sin²θ$

4) $と cosθとtanθ$ の関係

$tan²θ+1=1cos²θ$

問題5三角関数の相互関係の利用

$cosθ=1/3$ のとき，以下の問いに答えなさい．
1. $0 < θ < π$ のとき， $sinθ, tanθ$ の値を求めなさい．
2. $-π/2<θ<π/2$ のとき， $sinθ, tanθ$ の値を求めなさい．
$π<θ<2π, tanθ=2$ のとき， $cosθ, sinθ$ の値を求めなさい．

解答を見る

$sin²θ=1-cos²θ=8/9$ より， $sinθ=\pm2\sqrt2/3$ ．

←拡張された三角関数の相互関係
1. $0 < θ < π$ より， $sinθ > 0$ なので
  
  $sinθ=2\sqrt2/3$ ．また， $tanθ=(2\sqrt2/3)/(1/3)=2\sqrt2$ ．
  
  ←拡張された三角関数の相互関係
2. $-π/2<θ<π/2$ より $sinθ$ は正負どちらでもよい．よって $sinθ=\pm2\sqrt2/3$ , $tanθ=(\pm2\sqrt2/3)/(1/3)=\pm 2\sqrt2$ ．
$1cos²θ=1+tan²θ=5$ より， $cosθ=\pm\sqrt(1/5)$ ．

←拡張された三角関数の相互関係

ここで， $π<θ<2π, tanθ>0$ より $θ$ は第 $3$ 象限の角に対応し， $cosθ < 0$ ．よって， $cosθ=-1/\sqrt5$ ．

また， $sinθ =tanθ=2\times 1/\sqrt5=-2/\sqrt5$ ．

←拡張された三角関数の相互関係

問題6 $sinθ\pmcosθ$ と $sinθ$ の関係

1. $cosθ +sinθ=1/2$ のとき， $sinθ$ , $sinθ -cosθ$ の値を求めなさい．
2. さらに， $0 < θ < π$ であるとき， $sinθ, cosθ$ の値を求めなさい．
$-π/2<θ<π/2$ , $cosθ=1/3$ のとき， $sinθ, cosθ$ の値を求めなさい．

解答を見る

1. $cosθ +sinθ=1/2$ の両辺を $2$ 乗して
$1+2cosθ=14 \Leftrightarrow cosθ=-3/8$

←拡張された三角関数の相互関係

また，この値を代入すれば，

$(cosθ -sinθ)² =1-2cosθ =7/4$

よって， $cosθ -sinθ=\pm\sqrt7/2$ ． 2. 1.より，次の連立方程式が成立する．

$cosθ +sinθ=1/2 cosθ -sinθ=\pm\sqrt7/2$

上の式を $①$ ，下の式を $②$ とすると， $①-②$ より $2sinθ=1\mp\sqrt7/2$ であるが， $0 < θ < π$ より $sinθ > 0$ なので， $sinθ=(1+\sqrt7)/4$ ．つまり， $cosθ -sinθ=-\sqrt7/2$ と分かるので， $①+②$ より $cosθ=(1-\sqrt7)/4$ となる．
まず， $cosθ \pm sinθ$ の $2$ 乗をそれぞれ考えて

$(cosθ+sinθ)² =1+2cosθ=53 (cosθ-sinθ)² =1-2cosθ=13 \Leftrightarrow cosθ+sinθ=\pm\sqrt15/3, cosθ-sinθ=\pm\sqrt3/3$

←拡張された三角関数の相互関係

である．ここで， $-π/2<θ<π/2$ より $． cosθ > 0． cosθ > 0$ なので $sinθ > 0$ と分かる．

よって， $cosθ>0, sinθ>0$ から $cosθ + sinθ > 0$ ．

$cosθ +sinθ=\sqrt15/3 cosθ -sinθ=\pm\sqrt3/3$

この連立方程式を解いて（複合同順）

$(cosθ, sinθ)$ $=(\sqrt15\pm\sqrt3/6, \sqrt15\mp\sqrt3/6)$

三角関数の性質

$θ+2nπ$ の三角関数

$π+2nπ$ の三角関数

$π+2nπ$ の三角関数

$n$ が整数のとき，角 $θ+2nπ$ の動径は，角 $θ$ の動径と一致するので，次の公式が成り立つ．

定理6 $π+θ$ の三角比

任意の角 $θ$ について

$sin(θ+2nπ)=sinθ cos(θ+2nπ)=cosθ tan(θ+2nπ)=tanθ$

が成り立つ．ただし， $n$ は整数とする．

$-θ$ の三角関数

暗記1 $-θ$ の三角関数

$sin(-θ),cos(-θ),tan(-θ)$ を，それぞれ $sinθ,cosθ,tanθ$ で表せ．

解答を見る

図のように，単位円周上に角 $θ$ の動径 $OP$ と角 $-θ$ ( $=θ'$ とする)の動径 $OP'$ をとる．

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると， $と △OPQと△OP'Q'$ は合同なので，点 $P'$ の座標は $(x, -y)$ となるから

$sinθ'=-y=-sinθ cosθ'=x=cosθ tanθ'=(-y)/x=-tanθ$

原点Oを中心とする単位円において、動径OPが示す角θの点P(x, y)と、動径OP'が示す角θ'の点P'(x, -y)がx軸に関して対称に描かれている。左上にはθ'=-θと記されている。

定理7 $-θ$ の三角比

任意の角 $θ$ について

$sin(-θ)=-sinθ cos(-θ)=cosθ tan(-θ)=-tanθ$

が成り立つ．

単位円上に、角θを表す動径OPと点P(x, y)、角θ'=-θを表す動径OP'と点P'(x, -y)が描かれており、2点P, P'はx軸に関して対称の位置にある。

$θ+π$ の三角関数

暗記2 $θ+π$ の三角関数

$sin(θ+π),cos(θ+π),tan(θ+π)$ を，それぞれ $sinθ,cosθ,tanθ$ で表せ．

解答を見る

図のように，単位円周上に角 $θ$ の動径 $OP$ と角 $π +θ$ ( $= θ'$ とする)の動径 $OP'$ をとる．

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると， $と △OPQと△OP'Q'$ は合同なので，点 $P'$ の座標は $(-x, -y)$ となるから

$sinθ'=-y=-sinθ cosθ'=-x=-cosθ tanθ'=(-y)/(-x)=y/x=tanθ$

単位円上の点P(x, y)を表す動径OPと、角θからπ回転させた動径OP'上の点P'(-x, -y)があり、x軸に下ろした垂線による直角三角形OPQとOP'Q'が原点対称に塗られている。

定理8 $θ+π$ の三角比

任意の角 $θ$ について

$sin(θ+π)=-sinθ cos(θ+π)=-cosθ tan(θ+π)=tanθ$

が成り立つ．

単位円上に角θを表す点P(x, y)と、角θ'(=π+θ)を表す原点に関して対称な点P'(-x, -y)がある。それぞれの点からx軸に垂線を下ろした直角三角形が描かれている。

$θ+π/2$ の三角関数

暗記3 $θ+π/2$ の三角関数

$sin(θ+π/2),cos(θ+π/2),tan(θ+π/2)$ を，それぞれ $sinθ,cosθ,tanθ$ で表せ．

解答を見る

図のように，単位円周上に角 $θ$ の動径 $OP$ と角 $θ+π/2$ ( $= θ'$ とする)の動径 $OP'$ をとる．

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると， $と △OPQと△OP'Q'$ は合同なので，点 $P'$ の座標は $(-y, x)$ となるから

$sinθ'=x=cosθ cosθ'=-y=-sinθ tanθ'=x/(-y)=-1/tanθ$

単位円上に動径OPが表す点P(x, y)と、それを角π/2だけ回転させた点P'(-y, x)があり、各点からx軸へ下ろした垂線による直角三角形OPQとOP'Q'が描かれている。

定理9 $θ+π/2$ の三角比

任意の角 $θ$ について

$sin(θ+π/2)=cosθ cos(θ+π/2)=-sinθ tan(θ+π/2)=-1/tanθ$

が成り立つ．

単位円上の点P(x, y)の動径OPの角をθとし、これをπ/2回転させた動径OP'上の点P'の座標が(-y, x)になることを示している。このとき、動径OP'の表す角θ'はθ+π/2である。

最終更新: 2026-08-10

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質問の内容

数学II 第3章 三角関数 — 三角関数について

三角関数の定義

三角関数の定義について

定義1三角関数の定義

定理2tanθの図形的意味

三角関数の定義域と値域

定理3三角関数の定義域と値域

三角関数の符号と動径の象限

定理4三角関数の符号と動径の象限

問題1任意の角に対する三角関数の値

問題2三角関数を含む方程式

問題3三角関数を含む不等式

問題4範囲をもつ変数の置き換え

三角関数の相互関係

三角関数の相互関係について

定理5拡張された三角関数の相互関係

問題5三角関数の相互関係の利用

問題6 sinθ±cosθとsinθの関係

三角関数の性質

θ+2nπの三角関数

定理6 π+θの三角比

-θの三角関数

暗記1-θの三角関数

定理7-θの三角比

θ+πの三角関数

暗記2 θ+πの三角関数

定理8 θ+πの三角比

θ+π/2の三角関数

暗記3 θ+π/2の三角関数

定理9 θ+π/2の三角比

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数学II 第3章三角関数 — 三角関数について

定理2 $tanθ$ の図形的意味

問題6 $sinθ\pmcosθ$ と $sinθ$ の関係

$θ+2nπ$ の三角関数

定理6 $π+θ$ の三角比

$-θ$ の三角関数

暗記1 $-θ$ の三角関数

定理7 $-θ$ の三角比

$θ+π$ の三角関数

暗記2 $θ+π$ の三角関数

定理8 $θ+π$ の三角比

$θ+π/2$ の三角関数

暗記3 $θ+π/2$ の三角関数

定理9 $θ+π/2$ の三角比