三角関数についての練習問題（全9問・解答つき）

1. P (1/2, -√3/2)なので

   cos((5/3)π)=1/2

   sin((5/3)π)=-√3/2

   tan((5/3)π)=-√3

   

2. P (-√3/2, -12)なので

   cos((7/6)π)=-√3/2

   sin((7/6)π)=-1/2

   tan((7/6)π)=√3/3

   

3. (23/3)π=(5/3)π +3・ 2πより、(5/3)πの三角関数に等しい。1.より

   cos((23/3)π)=1/2

   sin((23/3)π)=-√3/2

   tan((23/3)π)=-√3

   

4. -(15/4)π=(1/4)π +(-2)・ 2πより、(1/4)πの三角関数に等しい。よって

   cos(-(15/4)π)=√2/2

   sin(-(15/4)π)=√2/2

   tan(-(15/4)π)=1

   

(動点のy座標の値) =-1/2であればよいので、求めるθは、図の∠POX, ∠P’OXに等しい。

1. 0≦ θ < 2πの範囲では

   ∠POX=(7/6)π,

   ∠P’OX=(11/6)π

   となる。つまり、 θ=(7/6)π, (11/6)π。

2. 0≦ θ < 4πの範囲では

   ∠POX=(7/6)π, (7/6)π +2π ∠P’OX=(11/6)π, (11/6)π +2π

   となる。つまり、

   θ=(7/6)π, (11/6)π, (19/6)π, (23/6)π。

3. θは任意なので、nを整数として

   ∠POX=(7/6)π +2nπ, ∠P’OX=(11/6)π +2nπ

   となる。つまり、 θ=(7/6)π +2nπ, (11/6)π +2nπ。

4. -π≦ θ < πの範囲では

   ∠POX=(7/6)π -2π, ∠P’OX=(11/6)π -2π

   となる。つまり、 θ=-(5/6)π, -(1/6)π。

(動点のx座標の値)<1/2であればよい。

そのためには、動点が図の太線部分にあればよい。

1. 0≦ θ < 2πの範囲では、 (1/3)π<θ<(5/3)π。

2. 0≦ θ < 4πの範囲では、 1.の答えに加えて

   (1/3)π +2π <θ<(5/3)π +2π

   も満たすので、 (1/3)π <θ<(5/3)π, (7/3)π <θ<(11/3)π。

3. θは任意なので、

   (1/3)π +2nπ <θ<(5/3)π +2nπ(nは整数)

   が求める答えとなる。

4. -π≦ θ < πの範囲では

   -π ≦ θ<(5/3)π -2π, (1/3)π <θ< π

   となる。つまり、 -π ≦ θ<-(1/3)π, (1/3)π <θ<π。

1. 0≦ θ <2π ⇔ 0≦ 2θ <4π ⇔ 0-π/3 ≦ 2θ-π/3 <4π-π/3

   より -π/3 ≦ θ' <(11/3)πと分かる。

   ←2倍しても、π/3を引いても大小関係は変わらない

2. 1.のθ'を用いると、与えられた方程式は sinθ' =√3/2となる。 1.より -π/3 ≦ θ' <(11/3)πなので、図より

   θ' =13π, 23π, 73π, 83πとなる。

   θ=θ'/2+π/6なので

   θ= 13π, 12π, 43π, 32π

   

3. 1.のθ'を用いると、与えられた不等式は sinθ' <√3/2となる。 1.より -π/3 ≦ θ' <(11/3)πなので

   -π/3≦ θ' <13π, 23π< θ' <73π, 83π< θ' <(11/3)πとなる。 θ'=2θ-π/3を代入してθについて解けば

   ←たとえば

   (2/3)π< 2θ-π/3 <(7/3)π ⇔ π< 2θ<83π ⇔ π/2< θ<(4/3)π 0≦θ< π/3, π/2<θ<43π, 32π<θ <2π

   

1. sin²θ=1-cos²θ=8/9より、 sinθ=±2√2/3。

   ←拡張された三角関数の相互関係

   1. 0 < θ < πより、 sinθ > 0なので

      sinθ=2√2/3。また、 tanθ=(2√2/3)/(1/3)=2√2。

      ←拡張された三角関数の相互関係

   2. -π/2<θ<π/2よりsinθは正負どちらでもよい。 よって sinθ=±2√2/3, tanθ=(±2√2/3)/(1/3)=± 2√2。

2. 1cos²θ=1+tan²θ=5より、 cosθ=±√(1/5)。

   ←拡張された三角関数の相互関係

   ここで、 π<θ<2π, tanθ>0よりθは第3象限の角に対応し、 cosθ < 0。 よって、 cosθ=-1/√5。

   また、 sinθ =tanθ=2× (-1/√5)=-2/√5。

   ←拡張された三角関数の相互関係

1. 1. cosθ +sinθ=1/2の両辺を2乗して

   1+2cosθ=14 ⇔ cosθ=-3/8

   ←拡張された三角関数の相互関係

   また、この値を代入すれば、

   (cosθ -sinθ)² =1-2cosθ =7/4

   よって、 cosθ -sinθ=±√7/2。

   sinθ -cosθは cosθ -sinθの符号を変えたものなので、 sinθ -cosθ=±√7/2。 2. 1.より、次の連立方程式が成立する。

   cosθ +sinθ=1/2 cosθ -sinθ=±√7/2

   上の式を①、下の式を②とすると、 ①-②より 2sinθ=1∓√7/2であるが、 0 < θ < πより sinθ > 0なので、 sinθ=(1+√7)/4。 つまり、 cosθ -sinθ=-√7/2と分かるので、 ①+②より cosθ=(1-√7)/4となる。

2. まず、 cosθ ± sinθの2乗をそれぞれ考えて

   (cosθ+sinθ)² =1+2cosθ=53 (cosθ-sinθ)² =1-2cosθ=13 ⇔ cosθ+sinθ=±√15/3, cosθ-sinθ=±√3/3

   ←拡張された三角関数の相互関係

   である。ここで、 -π/2<θ<π/2より cosθ > 0。また、 cosθ > 0なので sinθ > 0と分かる。

   よって、 cosθ>0, sinθ>0から cosθ + sinθ > 0。

   cosθ +sinθ=√15/3 cosθ -sinθ=±√3/3

   この連立方程式を解いて（複合同順）

   (cosθ, sinθ) =(√15±√3/6, √15∓√3/6)