三角関数についての練習問題（全9問・解答つき）

1. P (1/2, -√3/2)なので

   cos5/3π=1/2

   sin5/3π=-√3/2

   tan5/3π=-√3

2. P (-√3/2, -12)なので

   cos7/6π=-√3/2

   sin7/6π=-1/2

   tan7/6π=√3/3

3. 23/3π=5/3π +3・ 2πより，5/3πの三角関数に等しい．1.より

   cos23/3π=1/2

   sin23/3π=-√3/2

   tan23/3π=-√3

4. -15/4π=1/4π +(-2)・ 2πより，1/4πの三角関数に等しい．よって

   cos(-15/4π)=√2/2

   sin(-15/4π)=√2/2

   tan(-15/4π)=1

(動点のy座標の値) =-1/2であればよいので，求めるθは，図の∠POX, ∠P’OXに等しい．

1. 0≦ θ < 2πの範囲では

   ∠POX=7/6π,

   ∠P’OX=11/6π

   となる．つまり， θ=7/6π, 11/6π．

2. 0≦ θ < 4πの範囲では

   ∠POX=7/6π, 7/6π +2π ∠P’OX=11/6π, 11/6π +2π

   となる．つまり，

   θ=7/6π, 11/6π, 19/6π, 23/6π．

3. θは任意なので，nを整数として

   ∠POX=7/6π +2nπ, ∠P’OX=11/6π +2nπ

   となる．つまり， θ=7/6π +2nπ, 11/6π +2nπ．

4. -π≦ θ < πの範囲では

   ∠POX=7/6π -2π, ∠P’OX=11/6π -2π

   となる．つまり， θ=-5/6π, -1/6π．

(動点のx座標の値)<1/2であればよい．

そのためには，動点が図の太線部分にあればよい．

1. 0≦ θ < 2πの範囲では， 1/3π<θ<5/3π．

2. 0≦ θ < 4πの範囲では， 1.の答えに加えて

   1/3π +2π <θ<5/3π +2π

   も満たすので， 1/3π <θ<5/3π, 7/3π <θ<11/3π．

3. θは任意なので，

   1/3π +2nπ <θ<5/3π +2nπ(nは整数)

   が求める答えとなる．

4. -π≦ θ < πの範囲では

   -π ≦ θ<5/3π -2π, 1/3π <θ< π

   となる．つまり， -π ≦ θ<-1/3π, 1/3π <θ<π．

1. 1.のθ'を用いると，与えられた方程式は sinθ' =√3/2となる． 1.より -π/3 ≦ θ' <11/3πなので，図より

   θ' =13π, 23π, 73π, 83πとなる．

   θ=θ'/2+π/6なので

   θ= 13π, 12π, 43π, 32π

2. 1.のθ'を用いると，与えられた不等式は sinθ' <√3/2となる． 1.より -π/3 ≦ θ' <11/3πなので

   -π/3≦ θ' <13π, 23π< θ' <73π, 83π< θ' <11/3πとなる． θ'=2θ-π/3を代入してθについて解けば

   ←たとえば

   2/3π< 2θ-π/3 <7/3π ⇔ π< 2θ<83π ⇔ π/2< θ<4/3π 0≦θ< π/3, π/2<θ<43π, 32π<θ <2π

1. sin²θ=1-cos²θ=8/9より， sinθ=±2√2/3．

   ←拡張された三角関数の相互関係

   1. 0 < θ < πより， sinθ > 0なので

      sinθ=2√2/3．また， tanθ=(2√2/3)/(1/3)=2√2．

      ←拡張された三角関数の相互関係

   2. -π/2<θ<π/2よりsinθは正負どちらでもよい． よって sinθ=±2√2/3, tanθ=(±2√2/3)/(1/3)=± 2√2．

2. 1cos²θ=1+tan²θ=5より， cosθ=±√(1/5)．

   ←拡張された三角関数の相互関係

   ここで， π<θ<2π, tanθ>0よりθは第3象限の角に対応し， cosθ < 0． よって， cosθ=-1/√5．

   また， sinθ =tanθ=2× 1/√5=-2/√5．

   ←拡張された三角関数の相互関係

1. 1. cosθ +sinθ=1/2の両辺を2乗して

   1+2cosθ=14 ⇔ cosθ=-3/8

   ←拡張された三角関数の相互関係

   また，この値を代入すれば，

   (cosθ -sinθ)² =1-2cosθ =7/4

   よって， cosθ -sinθ=±√7/2． 2. 1.より，次の連立方程式が成立する．

   cosθ +sinθ=1/2 cosθ -sinθ=±√7/2

   上の式を1，下の式を2とすると， -より 2sinθ=1∓√7/2であるが， 0 < θ < πより sinθ > 0なので， sinθ=(1+√7)/4． つまり， cosθ -sinθ=-√7/2と分かるので， +より cosθ=(1-√7)/4となる．

2. まず， cosθ ± sinθの2乗をそれぞれ考えて

   (cosθ+sinθ)² =1+2cosθ=53 (cosθ-sinθ)² =1-2cosθ=13 ⇔ cosθ+sinθ=±√15/3, cosθ-sinθ=±√3/3

   ←拡張された三角関数の相互関係

   である．ここで， -π/2<θ<π/2より cosθ > 0． cosθ > 0なので sinθ > 0と分かる．

   よって， cosθ>0, sinθ>0から cosθ + sinθ > 0．

   cosθ +sinθ=√15/3 cosθ -sinθ=±√3/3

   この連立方程式を解いて（複合同順）

   (cosθ, sinθ) =(√15±√3/6, √15∓√3/6)