数学II 第4章指数と指数関数 — 累乗と累乗根

累乗と指数法則

累乗と指数法則について

\FTEXT 数学Iで学んだように，数 $a$ の $n$ 個の積 $個 n個 a\times a\times\dots\times a^$ を $a^n$ と書き，「 $a$ の $n$ 乗」と読む．つまり

$個 a\times a\times\dots\times a=a^n n個$

である．このとき， $a$ の右上に乗っている数 $n$ のことを $a^n$ の指数（index number）という． $a¹ = a$ とし，特に， $a²$ のことを $a$ の平方（square）， $a³$ のことを $a$ の立方（cube）という．また， $，，， a，a²，a³，\dots$ を総称して $a$ の累乗（power）という．

累乗に関して

$個個 a²\times a⁴= (a\times a) 2個 \times (a\times a\times a\times a) 4個$ $=a⁶ (=a^2+4)$
$個個個個 (a²)⁴= (a\times a) 2個 (a\times a) 2個 (a\times a) 2個 (a\times a) 2個$ $=a⁸ (=a^2\times4)$
$(a\times b)⁴$ $=(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)$ $=a⁴\times b⁴$

などの例からわかるように，一般に次のような指数法則（law of exponents）が成り立つ．

定理1指数法則

$， x，y$ が自然数のとき，次の関係が成り立つ．

$a^xa^y=a^x+y$
$(a^x)^y=a^xy$
$(ab)^x=a^xb^x$

累乗根

累乗根とは何か

$2$ 乗して $3$ になる数を $3$ の平方根とよび $\pm\sqrt3$ と表していた．ここでは， $2$ 乗だけに限らず， $3$ 乗， $4$ 乗， $\dots$ の場合についても拡張して考えてみよう．

定義2 $n$ 乗根の定義

$n$ を自然数とする． $n$ 乗すると $a$ になる数，つまり

$x^n=a$

となる $x$ の値を， $a$ の $n$ 乗根（ $n$ th root）という．

たとえば， $2³ = 8$ なので， $2$ は $8$ の $3$ 乗根である．また， $2⁴ = 16$ であり $( - 2)⁴ = 16$ であるから， $- 2$ と $2$ はともに $16$ の $4$ 乗根である．

特に， $2$ 乗根を平方根（square root）， $3$ 乗根を立方根（cubic root）という．また， $2$ 乗根， $3$ 乗根， $4$ 乗根， $\dots$ を総称して， 累乗根（radical root）という．

定理3 $a$ の $n$ 乗根の表し方

$0$ でない実数 $a$ の $n$ 乗根は，次のようになる．

原点を通る曲線 y=x^n が描かれ、y軸上の正の値 a から曲線上の点を通ってx軸上の正の値 n乗根a へと点線が引かれている。

$n$ が奇数のとき

$y = x^n$ のグラフは図のようになるので（たとえば $n = 3$ として $x$ を変化させて計算してみるとよい）， $a$ の正負に関係なく， $a$ の $n$ 乗根はただ1つだけ存在し，それを $\sqrt[n]a$ （ $n$ 乗根 $a$ と読む）と表す．

$\sqrt[n]a$ の正負は $a$ の正負と同じになる．

たとえば， $2³ = 8$ であるから， $\sqrt[3]8=2$ である．
$n$ が偶数のとき

$y = x^n$ のグラフは図のようになるので（たとえば $n = 4$ として $x$ を変化させて計算してみるとよい）， $a$ が正のときに正と負の2つの $n$ 乗根が存在する．そのうち正のものを $\sqrt[n]a$ と表し，負のものを $-\sqrt[n]a$ と表す．

たとえば， $， 2⁴ = 16，( - 2)⁴ = 16$ であるから，

$， \sqrt[4]16=2，-\sqrt[4]16=-2$ である．

なお， $a$ が負のときには， $a$ の $n$ 乗根は存在しない．

$0$ は何乗しても $0$ なので， $0$ の累乗根はすべて $0$ である．つまり， $\sqrt[n]0=0$ である．

問題1累乗根の値を求める-その1-

次の値を求めよ．

$\sqrt[3]-27$
$-\sqrt[4]81$
$\sqrt[6]0.000001$
$\sqrt[3]0.125$

解答を見る

$- 27$ の $3$ 乗根，つまり $x³ = - 27$ となる $x$ は $- 3$ である．

よって

$\sqrt[3]-27=-3$
$81$ の $4$ 乗根，つまり $x⁴ = 81$ となる $x$ は $- 3$ と $3$ である． $-\sqrt[4]81$ は負の方を表すから

$-\sqrt[4]81=-3$

正の方の $\sqrt[4]81=3$ にマイナスがつき $- 3$ となると考えても良い
$0.000001$ の $6$ 乗根，つまり $x⁶ = 0.000001$ となる $x$ は $- 0.1$ と $0.1$ である． $\sqrt[6]0.000001$ は正の方を表すから

$\sqrt[6]0.000001=0.1$
$0.125$ の $3$ 乗根，つまり $x³ = 0.125$ となる $x$ は $0.5$ である．よって

$\sqrt[3]0.125=0.5$

$a$ の $n$ 乗根の表し方でもみたように，負の数 $a$ の $n$ 乗根は存在しないことがある．以下では簡単のため，特にことわりのない限り正の数 $a$ の $n$ 乗根について考えることにする．

一般に，累乗根について，次のことが成り立つ．

定理4累乗根の基本性質

$， a > 0，b > 0$ で， $，， m，n，l$ が自然数のとき，次の等式が成り立つ．

$(\sqrt[n]a )^n=a$
$\sqrt[n]a\sqrt[n]b=\sqrt[n]ab$
$\sqrt[n]a\sqrt[n]b=\sqrt[n]a/b$
$(\sqrt[n]a )^m=\sqrt[n]a^m$
$\sqrt[m]\sqrt[n]a=\sqrt[mn]a$
$\sqrt[n]a^m=\sqrt[nl]a^ml$

この基本法則により，たとえば $\sqrt[4]2\sqrt[4]8$ は2.と4.と1.を使い

$\sqrt[4]2\sqrt[4]8=\sqrt[4]2\times8=\sqrt[4]2⁴=(\sqrt[4]2)⁴=2$

と計算できる．

証明

$\sqrt[n]a$ の定義は， $n$ 乗して $a$ になる数であるから， $\sqrt[n]a$ を $n$ 乗すれば当然 $a$ になる．
$， \sqrt[n]a>0，\sqrt[n]b>0$ より， $\sqrt[n]a\sqrt[n]b>0$ であり，

$(\sqrt[n]a\sqrt[n]b)^n=(\sqrt[n]a)^n(\sqrt[n]b)^n$

指数法則の3.

$=ab$

指数法則の1.

であるから，左辺の $\sqrt[n]a\sqrt[n]b$ は， $ab$ の $n$ 乗根のうち正のもの，すなわち $\sqrt[n]ab$ を表す．
$， \sqrt[n]a>0，\sqrt[n]b>0$ より， $\sqrt[n]a\sqrt[n]b>0$ であり

$(\sqrt[n]a\sqrt[n]b)^n=(\sqrt[n]a)^n(\sqrt[n]b)^n$

指数法則の3.

$=a/b$

指数法則の1.

であるから，左辺の $\sqrt[n]a\sqrt[n]b$ は， $a/b$ の $n$ 乗根のうち正のもの，すなわち $\sqrt[n]a/b$ を表す．

∎

暗記1累乗根の基本性質の証明

指数法則を利用して，累乗の基本性質の4.～6.を証明せよ．

解答を見る

1. $(\sqrt[n]a)^m>0$ であり
${(√[n]a)^m}^n=(√[n]a)^mn$

指数法則2.

$={(√[n]a)^n}^m$

指数法則2.

$=a^m$

累乗根の基本性質1.

であるから，左辺の $(\sqrt[n]a)^m$ は， $a^m$ の $n$ 乗根のうち正のものを表す．これは，右辺の $\sqrt[n]a^m$ にほかならない．
1. $\sqrt[m]\sqrt[n]a>0$ であり
${√[m]√[n]a}^mn={(√[m]√[n]a)^m}^n$

指数法則2.

$=(\sqrt[n]a)^n$

累乗根の基本性質1.

$=a$

累乗根の基本性質1.

であるから，左辺の $\sqrt[m]\sqrt[n]a$ は， $a$ の $mn$ 乗根のうち正のものを表す．これは，右辺の $\sqrt[mn]a$ にほかならない．
1. $\sqrt[n]a^m>0$ であり
${√[n]a^m}^nl={(√[n]a^m)^n}^l$

指数法則2.

$=(a^m)^l$

累乗根の基本性質1.

$=a^ml$

指数法則2.

であるから，左辺の $\sqrt[n]a^m$ は， $a^ml$ の $nl$ 乗根のうち正のものを表す．これは，右辺の $\sqrt[nl]a^ml$ にほかならない．

問題2累乗根の値を求める-その2-

次の式を簡単にせよ．

$\sqrt[3]4\sqrt[3]16$
$\sqrt[5]96\sqrt[5]3$
$\sqrt[3]216$
$\sqrt[3]\sqrt729$
$\sqrt[6]8$
$\sqrt[15]27$

解答を見る

$\sqrt[3]4\sqrt[3]16=\sqrt[3]4\times16 =\sqrt[3]4³=4$

$\sqrt[5]96\sqrt[5]3=\sqrt[5]96/3 =\sqrt[5]32=\sqrt[5]2⁵=2$

$\sqrt[3]216=\sqrt[3]6³=6$

$\sqrt[3]\sqrt729=\sqrt[6]729 =\sqrt[6]3⁶=3$

$\sqrt[6]8=\sqrt[6]2³ =\sqrt2$

$\sqrt[15]27=\sqrt[15]3³ =\sqrt[5]3$

最終更新: 2026-08-10

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質問の内容

数学II 第4章 指数と指数関数 — 累乗と累乗根

累乗と指数法則

累乗と指数法則について

定理1指数法則

累乗根

累乗根とは何か

定義2n乗根の定義

定理3aのn乗根の表し方

問題1累乗根の値を求める-その1-

定理4累乗根の基本性質

暗記1累乗根の基本性質の証明

問題2累乗根の値を求める-その2-

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数学II 第4章指数と指数関数 — 累乗と累乗根

定義2 $n$ 乗根の定義

定理3 $a$ の $n$ 乗根の表し方